2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系课件

第三讲圆的方程直线与圆的位置关系知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一圆的定义及方程定点定长(a，b)r知识点二点与圆的位置关系1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2⇔点在圆上；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2⇔点在圆外；(3)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2⇔点在圆内．2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)．＝><><知识点三直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，方法位置关系几何法代数法相交d_____rΔ_____0相切d_____rΔ_____0相离d_____rΔ_____0<>＝＝><归

纳

拓

展1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．2．圆心在任一弦的垂直平分线上．3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.5．(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(

)(2)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.(

)(3)若A(2,0)，B(0，－4)，则以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5.(

)√×√(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(

)(5)已知方程x2＋y2－2mx＋4y＋5＝0表示圆，则m的取值范围是(1，＋∞)．(

)××题组二走进教材2．(选择性必修1P88T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________________________.(x－2)2＋y2＝103．(选择性必修1P98T2(1))以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(

)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9C题组三走向高考4．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________________.(x－1)2＋(y＋1)2＝55．(2020·高考全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(

)B考点突破·互动探究圆的方程——自主练透1.圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(

)A．x2＋y2－2x－3＝0

B．x2＋y2－4x＝0C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0B2．(2022·高考全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为_____________________________________________________________________________________________________.3．(2024·湖北武汉部分学校调研)圆心在直线x＋y－1＝0上且与直线2x－y－1＝0相切于点(1,1)的圆的方程是_________________________.(x＋1)2＋(y－2)2＝5名师点拨：求圆的方程的两种方法1．直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．待定系数法(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．3．常见圆的方程的设法【变式训练】(x－2)2＋y2＝92．(2023·河南安阳调研)过点(0,2)且与直线y＝x－2相切，圆心在x轴上的圆的方程为(

)A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x＋1)2＋y2＝5C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝8D直线与圆的位置关系——自主练透BC[引申1]若本例1中曲线C与直线m：kx－y－2k＝0只有一个公共点，则k的取值范围为__________________.[引申2]本例2中，若圆与直线m：x＋y＋c＝0相交，则c的取值范围为____________________；若圆上到直线m距离为1的点有2个，则c的取值范围为__________________________________；若圆上到直线m距离为1的点有4个，则c的取值范围为________________.名师点拨：判断直线与圆的位置关系的常见方法1．几何法：利用d与r的关系．2．代数法：联立方程之后利用Δ判断．3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．4．判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小．【变式训练】1．(多选题)已知直线l：mx＋(m＋1)y－5m－3＝0(m∈R)与圆O1：x2－6x＋y2－8y＋16＝0，则下列结论正确的有(

)A．直线l过定点(2,3) B．相交C．相切

D．相离AB2．(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(

)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切ABD与圆有关的最值问题——多维探究角度1斜率型最值角度2截距型最值B角度3与距离有关的最值C[引申]本例中若P(x，y)，则x2＋y2＋2x的最大值为____________.名师点拨：与圆有关的最值问题的常见解法要明确目标代数式的几何意义(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(4)圆上的点到定点(定直线)距离的最大值与最小值可转化为圆心到定点(定直线)距离与半径的和与差．C圆的切线——师生共研2．(2024·四川达州外国语学校测试)已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，则过点P(1,3)与圆C相切的直线l的方程为_______________________.x＝1或3x＋4y－15＝0[引申]本例2中过两切点的直线方程为____________________.2x＋y－4＝0名师点拨：解决直线与圆相切问题的策略【变式训练】(2024·云南昆明一中双基检测)已知圆O：x2＋y2＝2，点Q为直线l：x＋y－4＝0上的一个动点，QE，QF是圆C的两条切线，E，F是切点，当四边形OEQF面积最小时，直线EF的方程为(

)A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0A名师讲坛·素养提升对称思想在圆中的应用1.(2024·河南郑州外国语学校月考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(

)D2.已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.[引申1]本例1中入射光线所在直线的方程为___________________________________.[引申2]本例2中，若将“A(0,2)”改为“A(0，－4)”则||PA|－|PQ||的最大值为__________.4x－3y－1＝0或3x－4y－6＝0名师点拨：1.光的反射问题一般化为轴对称解决．2．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定