2023年高考数学试题分类解析 第五章 平面向量 附答案解析

2023年高考数学试题分类解析【第五章平面向量】

第一节平面向量的概念及线性运算

1.（2023新高考II卷13）已知向量。,6满足|a-b卜百，|a+A|=|2a—耳,则网=

【解析】解法一（向量运算）：因为|a-b|=6,所以/一2。/+〃2=3①

因为H+耳=|2”4,所以/+2。•〃+A?=4/-4ab+b2，

化简得/=2a/，代入①得〃2=3,同=6.

解法二（向量运算加减几何意义）：

如图所示，a+b=OD<2a-b=BC'所以|而

所以四边形OCDB为等腰梯形，则函=|冈=g-M=6

即例=G

第二节平面向量基本定理及坐标表示

1.（2023新高考I卷3）已知向量"=（1,1）,/>=1）.若（。+劝）+则（）

A.2+4=1B.X+"=-1C.A//=1D.44=—1

【解析】（4+4办）,（4+〃力）=42+（%+〃）。•力+=2+0+24//=2（1+44）=0,

所以;l4=T.故选D.

第三节平面向量的数量积及应用

1.（2023北京卷3）已知向量。,b满足。+力=（2,3）,=（-2,1）,则同？一时=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【解析】向量满足0+b=（2,3）,〃-6=（-2,1）,

所以lap-I6|2=（a+*）•（«-*）=2x（-2）+3xl=-l.

1

故选B.

2.(2023全国甲卷理科4)向量同=网=1,同=应且°+b+c=0,则cos(〃一c力一c)=()

A.--B.--C.-D.-

5555

【分析】作出图形，根据几何意义求解.

【解析】因为a+8+c=0,所以Q+〃=-C,

即〃2+/+2〃•〃=k,即1+1+2〃♦6=2,所以〃•/>=().

如图所示，设方=a,OB=b,OC=c,

由题知，OA=OB=l,0C=42,△0/3是等腰直角三角形，

边上的高。。=也，AD=—,所以CD=CO+Or>=JI+"=还，

2222

tanZ.ACD=,cosZ.ACD=-2=,

CD3Vio

cos(a一c,6-c)=cos4c8=cos2ZACD-2cos2ZACD_1=2x-1=g.

故选D.

3.(2023全国甲卷文科3)已知向量a=(3,l),6=(2,2),则cos〈a+"〃一b)=()

A.±B.叵C.且D.迪

171755

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得|a+6|,|a-6|,("+b>(a-b),从而利用平面向量

余弦的运算公式即可得解.

【解析】因为a=(3,1)/=(2,2),所以a+6=(5,3),a-6=(l,-l),

则+b\+3'=,|a—Z»|=Jl+1=g*,(a+b),(a-6)=5xl+3x(-1)=2,

所以cos〈a+"…六牛群空=2y/17

阴X0-17

2

故选B.

4.（2023全国乙卷理科12）已知圆O的半径为1,直线R4与圆。相切于点Z,直线尸8与圆。交于8,C

两点，。为5c的中点，若|PO|=JL则方•万的最大值为（)

1+V2

C.1+72D.2+V2

2

【解析】依题意△PZ。为等腰直角三角形，|刀|=1,

ZAPO=,因为要求苏•丽的最大值，所以P4Po一定在PO同侧，如图所示,

设ZAPD=a,0<a<；,则=|加卜POcos/OP£)=忘cos^-a

所以PZ.PD=|P/1|-|PD|COSa

当a=?时等号成立，所以刀,而的最大值为2.故选A.

82

5.（2023全国乙卷文科6）正方形/BCD的边长是2,E是N3的中点，则皮.丽=（）

A.75B.3C.275D.5

【分析】解法一：以｛而，而｝为基底向量表示左，说，再结合数量积的运算律运算求解；解法二：建

系，利用平面向量的坐标运算求解；解法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数量积的定义运算

求解.

【解析】解法一（基底法）：以｛而，而｝为基底向量，可知同=|羽=2,万.布=0,

3

则反丽+芯=1万+而,而=以+而=」而+而，

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所以无方=（；而+而）｛-；而+而卜—；存2+府=T+4=3.

解法二（建系法）：如图所示，以/为坐标原点建立平面直角坐标系，

则E（l,0）,C（2,2）,Q（0,2）,可得及=（1,2）,丽=（-1,2）,

所以瓦•丽=-1+4=3.

解法三（定义法）：由题意可得：ED=EC=®CD=2,

DE1+CE2-DC25+5-43

在△CDE中,由余弦定理可得cos/DEC=

2DECE2x75XA/55

所以皮•丽=|比||丽卜osZDEC=V^xV?x|=3.

故选B.

6.（2023天津卷14）在△/BC中，N/=60°,8c=1,点。为的中点，点E为CO的中点，若设

AB=a,AC=b＞则4E可用。力表示为若BF=gBC,则力£"•4尸的最大值为

【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为的中点进行求解；空2：用Q1表示出万，结合上

一空答案，于是荏.箫可由6表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

【解析】空1：因为E为。的中点，所以2荏=亚+就，即2方=,4+8,则方=，4+工/＞；

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_1_.___AFFCAC

空2：因为8F=-8C,则2所+尸C=0，由题意可得[1_+—=—,

3[AF+FB=AB

得到箫+斤+2（万+而）=就+2布，即3箫=2a+6，即万=ga+；力.

^^jE-7F=\-a+-h\\-a+-h\=—（2a2+5a-h+2b2Y

4

记IB=x,AC=y,

)='(2X2-t-5xycos60°+^2)=^yf必争

则而酢q.+5ab+2b2+

在△Z8C中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2Aycos600=x2+y2-xy=\,

于是记箫/（2xy+学+2）4