概率论与数理统计第五章

关于概率论与数理统计第五章设非负r.v.

X的期望E(X)存在，则对于任意实数

>0,证

仅证连续型r.v.的情形

重要不等式

§5.1大数定律第2页,共65页，2024年2月25日，星期天设随机变量

X的k阶绝对原点矩E(|X|k)存在，则对于任意实数

>0,推论1设随机变量

X的方差D(X)存在，则对于任意实数

>0,推论2——切贝雪夫(chebyshev)不等式或当

2

D(X)

无实际意义,——马尔可夫(Markov)不等式第3页,共65页，2024年2月25日，星期天例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率.解

设

X

表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)第4页,共65页，2024年2月25日，星期天实际精确计算用Poisson分布近似计算取=1000第5页,共65页，2024年2月25日，星期天大数定律贝努里（Bernoulli）大数定律设

nA

是n

次独立重复试验中事件A发生的次数,p

是每次试验中A发生的概率,则有或第6页,共65页，2024年2月25日，星期天证

引入r.v.序列{Xk}设则相互独立，记由Chebyshev不等式第7页,共65页，2024年2月25日，星期天故第8页,共65页，2024年2月25日，星期天在概率的统计定义中,事件A

发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：频率与

p

有较大偏差是小概率事件,因而在n

足够大时,可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里(Bernoulli)大数定律的意义第9页,共65页，2024年2月25日，星期天定义a

是一常数，(或则称r.v.序列依概率收敛于常数a,记作故是一系列r.v.设有若第10页,共65页，2024年2月25日，星期天在Bernoulli定理的证明过程中，Yn

是相互独立的服从(0,1)分布的r.v.序列{Xk}的算术平均值,Yn

依概率收敛于其数学期望

p.

结果同样适用于服从其它分布的独立r.v.序列第11页,共65页，2024年2月25日，星期天Chebyshev大数定律相互独立，设r.v.序列(指任意给定n>1,

相互独立)且具有相同的数学期望和方差则有或第12页,共65页，2024年2月25日，星期天定理的意义当

n

足够大时,算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替可被第13页,共65页，2024年2月25日，星期天注2相互独立的条件可以去掉，代之以注1不一定有相同的数学期望与方差，可设有第14页,共65页，2024年2月25日，星期天相设r.v.序列则有互独立具有相同的分布，且记注3第15页,共65页，2024年2月25日，星期天则则连续，若第16页,共65页，2024年2月25日，星期天第二节中心极限定理一、问题的引入二、基本定理三、典型例题四、小结第17页,共65页，2024年2月25日，星期天一、问题的引入实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和,这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况.第18页,共65页，2024年2月25日，星期天二、基本定理定理四（独立同分布的中心极限定理）第19页,共65页，2024年2月25日，星期天定理四表明:第20页,共65页，2024年2月25日，星期天李雅普诺夫定理五(李雅普诺夫定理)第21页,共65页，2024年2月25日，星期天则随机变量之和的标准化变量第22页,共65页，2024年2月25日，星期天定理五表明:(如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.第23页,共65页，2024年2月25日，星期天证明根据第四章第二节例题可知德莫佛拉普拉斯定理六(德莫佛－拉普拉斯定理)第24页,共65页，2024年2月25日，星期天根据定理四得定理六表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.第25页,共65页，2024年2月25日，星期天下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.第26页,共65页，2024年2月25日，星期天三、典型例题解由定理四,随机变量Z近似服从正态分布N(0,1),例1第27页,共65页，2024年2月25日，星期天其中第28页,共65页，2024年2月25日，星期天一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于3º的概率为1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500～30500次纵摇角大于3º的概率是多少？解将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于3º的次数为X,则X是一个随机变量,例2第29页,共65页，2024年2月25日，星期天所求概率为分布律为直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理第30页,共65页，2024年2月25日，星期天第31页,共65页，2024年2月25日，星期天某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设X为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛－拉普拉斯定理知,例3第32页,共65页，2024年2月25日，星期天保险公司亏本的概率第33页,共65页，2024年2月25日，星期天对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解例4第34页,共65页，2024年2月25日，星期天根据独立同分布的中心极限定理，第35页,共65页，2024年2月25日，星期天第36页,共65页，2024年2月25日，星期天由德莫佛－拉普拉斯定理知,第37页,共65页，2024年2月25日，星期天证例5第38页,共65页，2024年2月25日，星期天根据独立同分布的中心极限定理，第39页,共65页，2024年2月25日，星期天第40页,共65页，2024年2月25日，星期天四、小结三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理德莫佛－拉普拉斯定理中心极限定理表明,在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于正态分布.

第41页,共65页，2024年2月25日，星期天李雅普诺夫资料AleksandrMikhailovichLyapunovBorn:6Jun.1857inYaroslavl,Russia

Died:3Nov.1918inOdessa,Russia第42页,共65页，2024年2月25日，星期天德莫佛资料AbrahamdeMoivreBorn:26May.1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov.1754inLondon,England第43页,共65页，2024年2月25日，星期天拉普拉斯资料Pierre-SimonLaplaceBorn:23Mar.1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5Mar.1827inParis,France第44页,共65页，2024年2月25日，星期天第五章大数定律及中心极限定理

习题课二、主要内容三、典型例题一、重点与难点第45页,共65页，2024年2月25日，星期天一、重点与难点1.重点中心极限定理及其运用.2.难点证明随机变量服从大数定律.第46页,共65页，2024年2月25日，星期天大数定律二、主要内容中心极限定理定理一定理二定理三定理一的另一种表示定理一定理二定理三第47页,共65页，2024年2月25日，星期天契比雪夫定理的特殊情况第48页,共65页，2024年2月25日，星期天定理一的另一种表示第49页,共65页，2024年2月25日，星期天伯努利大数定理第50页,共65页，2024年2月25日，星期天辛钦定理第51页,共65页，2024年2月25日，星期天独立同分布的中心极限定理第52页,共65页，2024年2月25日，星期天第53页,共65页，2024年2月25日，星期天李雅普诺夫定理第54页,共65页，2024年2月25日，星期天则随机变量之和的标准化变量第55页,共65页，2024年2月25日，星期天德莫佛－拉普拉斯定理第56页,共65页，2024年2月25日，星期天三、典型例题解例1第57页,共65页，2024年2月25日，星期天根据独立同分布的中心极限定理知的极限分布是标准正态分布.第58页,共65页，2024年2月25日，星期天第59页,共65页，2