2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）期末难点特训（二）与圆综合有关的压轴题含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训二（与圆综合有关的压轴题）1．与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线．如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则这条公切线叫做这两个圆的内公切线．(1)如图①，⊙P、⊙Q只有一个公共点，⊙P与⊙Q的公切线的条数是．(2)如图②，A和B分别是⊙P和⊙Q上的点，PA∥QB．连接AB并反向延长，交射线QP于点C，CD与⊙P相切，切点为D．求证：CD是⊙P与⊙Q的外公切线．(3)如图③，⊙P在⊙Q外，用直尺和圆规作图：（在①和②中任选一题完成）①作⊙P和⊙Q的一条外公切线；②作⊙P和⊙Q的一条内公切线．（保留作图痕迹，不写作法．）(4)如图④，⊙P在⊙Q外，直线AB是两圆的外公切线，切点分别为A、B，直线CD是两圆的内公切线，切点分别为C、D．已知⊙P、⊙Q的半径分别为1和2，若线段AB、CD的长分别为a和b，直接写出a与b之间的相等关系．2．【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．【构造模型】（1）如图①，已知△ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得∠ADB＝∠ACB．（不写作法，保留作图痕迹）【应用模型】已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为r，△ABC的周长为c．（2）如图②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范围．（3）如图③，已知线段MN，AB是⊙O一条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得c＝MN．（不写作法，保留作图痕迹）3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．(1)对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是，⊙C的半径是；②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；(2)若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为．4．数学概念若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.理解概念（1）若点是的等角点，且，则的度数是.（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，②如图②，深入思考（3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有.（填序号）5．在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．（1）某时刻海面上出现一渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离．（）（2）若渔船A由（1）中位置向正西方向航行，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．6．如图，A、B两点的坐标分别为（0，4），（0，2），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（1，0）运动到点（2，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．7．如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其三个顶点的坐标分别为A(2，0)，B(8，0)，C(8，3)，将直线l：以每秒3个单位的速度向右运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝时，直线l经过点A（直接填写答案）；（2）设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，试求S＞0时S与t的函数关系式；（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的⊙M，在直线l出发的同时，⊙M以每秒2个单位的速度向右运动，如图2，则当t为何值时，直线l与⊙M相切？8．定义：如图①，的半径为r，若点在射线上，且，则称点是点P关于的“反演点”．（1）如图①，设射线与交于点A，若点是点P关于的“反演点”，且，求证：点为线段的一个黄金分割点；（2）如图②，若点是点P关于的“反演点”，过点作，交于点B，连接，求证：为的切线；（3）如图③，在中，，以为直径作，若点P为边上一动点，点是点P关于的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段长度的取值范围是_____________．9．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．(1)如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；(2)如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；(3)在(2)的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．10．如图1，直线l：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F．求直线l的函数表达式和的值；如图2，连结CE，当时，求证：∽；求点E的坐标；当点C在线段OA上运动时，求的最大值．11．如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿CA方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t（s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与直线AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P同时停止移动，在移动过程中：（1）连接ME，当ME∥AC时，t=________s；

（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；

（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．12．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．13．如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.14．如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；(3)若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标．15．如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=x+8分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度．点P为直线y=x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；（2）求点P的坐标；（3）如图乙，若直线y=x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．16．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．17．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．(1)求证：CD＝ED；(2)连接AD与OC、BC分别交于点F、H．①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．18．如图1，已知矩形ABCD中，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O（1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线（2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD（3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由．期末难点特训二（与圆综合有关的压轴题）1．与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线．如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则这条公切线叫做这两个圆的内公切线．(1)如图①，⊙P、⊙Q只有一个公共点，⊙P与⊙Q的公切线的条数是．(2)如图②，A和B分别是⊙P和⊙Q上的点，PA∥QB．连接AB并反向延长，交射线QP于点C，CD与⊙P相切，切点为D．求证：CD是⊙P与⊙Q的外公切线．(3)如图③，⊙P在⊙Q外，用直尺和圆规作图：（在①和②中任选一题完成）①作⊙P和⊙Q的一条外公切线；②作⊙P和⊙Q的一条内公切线．（保留作图痕迹，不写作法．）(4)如图④，⊙P在⊙Q外，直线AB是两圆的外公切线，切点分别为A、B，直线CD是两圆的内公切线，切点分别为C、D．已知⊙P、⊙Q的半径分别为1和2，若线段AB、CD的长分别为a和b，直接写出a与b之间的相等关系．【答案】(1)3；(2)证明见详解；(3)见详解；(4)a2－b2＝8【分析】（1）理解题意，根据题意找到复合的圆的切线即可；（2）连接PD，过点Q作QE⊥CD，应用圆的性质，证明△DCP∽△ECQ即可求证；（3）根据题意作图即可；（4）连接AP、CP、PE、DQ、EQ、BQ，根据切线的性质证明，进而证即可求解；(1)如图，有3条故答案是：3；(2)如图①，连接PD，过点Q作QE⊥CD，垂足为E．∵PA∥QB，∴△ACP∽△BCQ．∴＝．∵CD与⊙P相切，切点为D，∴CD⊥DP．∵QE⊥CD，∴∠CDP＝∠CEQ＝90°．∴DP∥EQ．∴△DCP∽△ECQ．∴＝．∴＝．∵AP＝DP，∴EQ＝BQ，∴CD与⊙Q相切，即CD是⊙P与⊙Q的外公切线．(3)如图②，直线l即为两圆的外公切线；如图③，直线m即为两圆的内公切线．(4)如图，连接AP、CP、PE、DQ、EQ、BQ则有易证∴∵∴∴∴∵∴∴∵即∴a2－b2＝8．【点睛】本题主要考查了圆的性质、三角形的全等、三角形的相似，此题以圆为基础，引申出以圆的性质相关的新概念，解本题的关键在于掌握圆的相关知识，结合三角形的全等、相似进行求解．2．【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．【构造模型】（1）如图①，已知△ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得∠ADB＝∠ACB．（不写作法，保留作图痕迹）【应用模型】已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为r，△ABC的周长为c．（2）如图②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范围．（3）如图③，已知线段MN，AB是⊙O一条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得c＝MN．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）见解析；（2）16＜c≤8＋8；（3）见解析【分析】（1）可找到两个这样的点：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；两种情况均可利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质证明；（2）考虑最极端的情况：当C与A或B重合时，则，可得此时，根据题意可得，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质可得点D的运动轨迹为一个圆，点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，根据垂径定理及勾股定理可得，当AD为直径时，c最大即可得；（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；方法二：第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得；第2步：作的外接圆；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．【详解】（1）如图所示：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；证明：①∵，∴，∴；同理可证明；（2）当C与A或B重合时，则，∴，∵，∴，如图，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，∴，∵同弧所对的圆周角相等，∴为定角，∴为定角，∴点D的运动轨迹为一个圆，当点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，由垂径定理可得：CE垂直平分AB，∴，在中，，∴，∴，∴AD为直径时最长，∴最长，∴的周长最长．∴c最长为，∴c的取值范围为：；（3）方法一：第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；方法二：第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得；第2步：作的外接圆；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，勾股定理，垂径定理，角的作法等，理解题意，综合运用各个知识点作图是解题关键．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．(1)对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是，⊙C的半径是；②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；(2)若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为．【答案】(1)①(4,3)或C(4，−3)，，②，(2)【分析】（1）①在x轴的上方，作以AB为斜边的等腰直角三角形△ACB，易知A，B，P三点在⊙C上，圆心C的坐标为(4,3)，半径为3，根据对称性可知点C(4，−3)也满足条件；②当圆心为C（4，3）时，过点C作CD⊥y轴于D，则D（0，3），CD=4，根据⊙C的半径得⊙C与y轴相交，设交点为，，此时，在y轴的正半轴上，连接、、CA，则==CA=r=3，得，即可得；（2）如果点P在y轴的负半轴上，设此时圆心为E，则E在第四象限，在y轴的负半轴上任取一点M(不与点P重合)，连接MA，MB，PA，PB，设MB交于⊙E于点N，连接NA，则∠APB=∠ANB，∠ANB是△MAN的外角，∠ANB>∠AMB，即∠APB>∠AMB，过点E作EF⊥x轴于F，连接EA，EP，则AF=AB=3，OF=4，四边形OPEF是矩形，OP=EF，PE=OF=4，得，则，即可得．(1)①如图1中，在x轴的上方，作以AB为斜边的等腰直角三角形△ACB，易知A，B，P三点在⊙C上，圆心C的坐标为(4,3)，半径为3，根据对称性可知点C(4,−3)也满足条件，故答案是：(4,3)或C(4，−3)，，②y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点”。如图2所示，当圆心为C（4，3）时，过点C作CD⊥y轴于D，则D（0，3），CD=4，∵⊙C的半径，∴⊙C与y轴相交，设交点为，，此时，在y轴的正半轴上，连接、、CA，则==CA=r=3，∵CD⊥y轴，CD=4，，∴，∴，；当圆心为C（4，-3）时，点P在y轴的负半轴上，不符合题意；故答案为：，(2)当过点A，B的圆与y轴负半轴相切于点P时，∠APB最大，理由如下：如果点P在y轴的负半轴上，设此时圆心为E，则E在第四象限，如图3所示，在y轴的负半轴上任取一点M(不与点P重合)，连接MA，MB，PA，PB，设MB交于⊙E于点N，连接NA，∵点P，点N在⊙E上，∴∠APB=∠ANB，∵∠ANB是△MAN的外角，∴∠ANB>∠AMB，即∠APB>∠AMB，此时，过点E作EF⊥x轴于F，连接EA，EP，则AF=AB=3，OF=4，∵⊙E与y轴相切于点P，则EP⊥y轴，∴四边形OPEF是矩形，OP=EF，PE=OF=4，∴⊙E的半径为4，即EA=4，∴在Rt△AEF中，，∴，即．故答案为：【点睛】本题考查了圆与三角形，勾股定理，三角形的外角，矩形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．4．数学概念若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.理解概念（1）若点是的等角点，且，则的度数是.（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，②如图②，深入思考（3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有.（填序号）【答案】（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．【详解】（1）（i）若=时，∴==100°（ii）若时，∴（360°－）=130°；（iii）若=时，360°－－=160°，综上所述：=100°、130°或160°故答案为：100、130或160．（2）选择①：连接∵∴∴∵，∴∴是的等角点．选择②连接∵∴∴∵四边形是圆的内接四边形，∴∵∴∴是的等角点（3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD，根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC∴△BCD为等边三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分线交MN于点O以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如图③，点即为所求．（4）③⑤．①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心假设∠BAC=60°，∠ACB=30°∵点O是△ABC的内心∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°显然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①错误；②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误；③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；④由（3）可知，点Q为△ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QB≠QC，故④错误；⑤由（3）可知，当的三个内角都小于时，必存在强等角点．如图④，在三个内角都小于的内任取一点，连接、、，将绕点逆时针旋转到，连接，∵由旋转得，，∴是等边三角形．∴∴∵、是定点，∴当、、、四点共线时，最小，即最小．而当为的强等角点时，，此时便能保证、、、四点共线，进而使最小．故答案为：③⑤．【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．5．在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．（1）某时刻海面上出现一渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离．（）（2）若渔船A由（1）中位置向正西方向航行，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．【答案】（1）16.2；（2）不会【分析】（1）过点A作AD⊥轴于点D，依题意，得∠BAD=30°．在Rt△ABD中，设BD=，则AB=2，由勾股定理得：AD=，根据图形得到OD=OB+BD=6+x，故AB=2x=6()≈16.2（2）过点A作AG⊥y轴于点G．过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．由垂径定理得，OE=BE=3．在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4．所以O′F=5+3>5.【详解】（1）过点A作AD⊥轴于点D，依题意，得∠BAD=30°．在Rt△ABD中，设BD=，则AB=2，由勾股定理得：AD=，由题意知：OD=OB+BD=6+．在Rt△AOD中，OD=AD，6+=∴=3（+1），∴AB=2=6（+1）≈16.2即：观测点B到A船的距离为16.2．（2）连接CB，CO，则CB∥y轴，∴∠CBO=90°，设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心．则OC为⊙O′的直径．由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=∴半径OO′=5过点A作AG⊥y轴于点G．过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．由垂径定理得：OE=BE=3，∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得：O′E=4∵四边形FEDA为矩形，∴EF=DA，而AD==9+3∴O′F=9+3-4=5+3∵5+3＞5，即O′F＞r∴直线AG与⊙O′相离，A船不会进入海洋生物保护区．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，点与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的应用，点与圆的位置关系.6．如图，A、B两点的坐标分别为（0，4），（0，2），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（1，0）运动到点（2，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】（1）见解析；（2）（2，6）；（3）.【详解】试题分析：（1）连接AM、BM，由△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点，可得AM＝BM＝PM=QM，从而问题得证；(2)作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，由已知求得MC＝OG＝3，确定出在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为3，从而确定点Q的纵坐标始终为6，当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，由△BOP∽△QHB，根据相似三角形的性质即可得；（3）由相似可得：当点P在P1（1，0）时，Q1（8，6）则M1（，3），当点P在P2（2，0）时，Q2（4，6），则M2（3，3），根据线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1，根据梯形的面积公式进行计算即可得.试题解析：（1）连接AM、BM，∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点，∴AM＝BM＝PM=QM=PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；(2)作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，∵AM＝BM，∴G是AB的中点，由A（0，4），B（0，2）可得MC＝OG＝3，∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为3，则点Q到x轴的距离始终为6，即点Q的纵坐标始终为6，当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，HB＝6－2＝4，设OP＝HQ＝x，由△BOP∽△QHB，得x2＝2×4＝8，x＝2，∴点Q的坐标为（2，6）；（3）由相似可得：当点P在P1（1，0）时，Q1（8，6），则M1（，3），当点P在P2（2，0）时，Q2（4，6），则M2（3，3），∴M1M2＝－3＝，Q1Q2＝8－4＝4，线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1，其面积为：×(＋4)×3＝.【点睛】本题考查了圆的综合题、涉及到四点共圆、相似三角形的判定与性质、切线的性质等知识，根据题意正确画出图形，添加辅助线是解决问题的关键.7．如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其三个顶点的坐标分别为A(2，0)，B(8，0)，C(8，3)，将直线l：以每秒3个单位的速度向右运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝时，直线l经过点A（直接填写答案）；（2）设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，试求S＞0时S与t的函数关系式；（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的⊙M，在直线l出发的同时，⊙M以每秒2个单位的速度向右运动，如图2，则当t为何值时，直线l与⊙M相切？【答案】（1）1;（2）当1＜t≤时,S＝;当＜t≤3时,S＝9t－;当3＜t≤时,S＝－(3t－10)2＋18;当t＞时,S＝18;（3）t＝5－或t＝5＋．【详解】试题分析:（1）y＝－3x－3与x轴交点坐标是（-1,0）,直线l经过点A（2,0）,故向右平移3个单位长度,直线l:y＝－3x－3以每秒3个单位的速度向右运动,所以t=1;（2）求出直线l:y=﹣3x+9t﹣3,再分情况讨论;（3）分两种情况讨论,借助三角形相似即可．试题解析:(1)y＝－3x－3与x轴交点坐标是（-1,0）,直线l经过点A（2,0）,故向右平移3个单位长度,直线l:y＝－3x－3以每秒3个单位的速度向右运动,所以t=1;（2）由题意,可知矩形ABCD顶点D的坐标为(2,3)．由一次函数的性质可知,当t由小到大变化时,直线l:y=﹣3(x﹣3t)-3=﹣3x+9t﹣3向右平移,依次扫过矩形ABCD的不同部分．可得当直线经过A(2,0)时,t=1;当直线经过D(2,3)时,t=;当直线经过B(8,0)时,t=3;当直线经过C(8,3)时,t=．①当1＜t≤时,如图所示．设直线l:y=-3x+9t﹣3与x轴交于点P,与AD交于点Q．令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3;令x=2,可得y=9t﹣9,∴AQ=9t﹣9．∴S=S△APQ=AP•AQ=(3t﹣3)(9t﹣9)=;②当＜t≤3时,如图所示．设直线l:y=-3x+9t﹣3与x轴交于点P,与CD交于点Q．令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3;令y=3,可得x=3t﹣2,∴DQ=3t﹣4．S=S梯形APQD=(DQ+AP)•AD=9t－;③当3＜t≤时,如图所示．设直线l:y=-3x+9t﹣3与BC交于点P,与CD交于点Q．令x=8,可得y=9t﹣27,∴BP=9t﹣27,CP=30﹣9t;令y=3,可得x=3t﹣2,∴DQ=3t﹣4,CQ=10﹣3t．S=S矩形ABCD﹣S△PQC=18﹣CP•CQ=－(3t－10)2＋18;④当t＞时,S=S矩形ABCD=18．综上所述,S与t的函数关系式为:;(3)若直线l:y=﹣3x+9t﹣3与⊙M相切,如图所示,应有两条符合条件的切线．设直线与x轴、y轴交于A、B点,则A(3t﹣1,0)、B(0,9t﹣3),∴OB=3OA．由题意,可知⊙M与x轴相切,设切点为D,连接MD;设直线与⊙M的一个切点为P,连接MP并延长交x轴于点G;过P点作PN⊥MD于点N,PH⊥x轴于点H．易证△PMN∽△BAO,∴PN:MN=OB:OA=3,∴PN=3MN．在Rt△PMN中,由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得:MN=,PN=,∴PH=ND=MD﹣MN=3﹣,OH=OD﹣HD=OD﹣PN=2t+3﹣,∴P(2t+3﹣,3﹣),代入直线解析式求得:t=5﹣;同理,当切线位于另外一侧时,可求得:t=5+．考点:动点问题．8．定义：如图①，的半径为r，若点在射线上，且，则称点是点P关于的“反演点”．（1）如图①，设射线与交于点A，若点是点P关于的“反演点”，且，求证：点为线段的一个黄金分割点；（2）如图②，若点是点P关于的“反演点”，过点作，交于点B，连接，求证：为的切线；（3）如图③，在中，，以为直径作，若点P为边上一动点，点是点P关于的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段长度的取值范围是_____________．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）先证明PP'＝r，再根据“反演点”的定义可知：OP•OP'＝r2，化成比例式可得结论；（2）先证明，得∠OBP＝∠OP'B＝90°，根据切线的判定可得结论；（3）过点O作OH⊥CD于H，连接OD，根据“反演点”的定义确定OP和OP'的关系：OP'＝，根据三角函数和勾股定理计算OH和OD的长，根据OH≤OP≤OD，列不等式组可得结论．【详解】（1）证明：∵OP'＝PA，∴PP'＝PA+AP'＝OP'+P'A＝r，由已知得OP•OP'＝r2，∴OP•OP'＝P'P2，即∴点P'为线段OP的一个黄金分割点；（2）证明：∵P'B⊥OP，∴∠OP'B＝90°，∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴PB⊥OB，∴PB为⊙O的切线；（3）解：如图③，过点O作OH⊥CD于H，连接OD，∵CE＝6，∴⊙O的半径为3，即r＝3，∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”，∴OP•OP'＝32＝9，∴OP'＝，∵∠CEB＝90°，CE＝6，DE＝8，∴CD＝=10，sin∠C＝，sin∠C＝∴OH＝OC＝，由勾股定理得：OD＝，∵OP'＝，OH≤OP≤OD，∴．故答案为：．【点睛】本题是圆的综合题，考查了新定义：反演点，圆的切线的判定，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义等知识，第一问的求解，是在理解新定义的基础上直接引用，根据黄金分割的定义解决问题；第二问根据切线的判定解决问题；第三问有难度，正确作出辅助线是本题的关键．9．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．(1)如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；(2)如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；(3)在(2)的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）.【分析】由BD为的直径，得到，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换即可得到结论；如图2，连接OC，根据平行线的判定和性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，，根据射影定理得到，根据相交弦定理即可得到结论．【详解】为的直径，，，是的切线，，，，，，，；如图2，连接OC，，，，，，，即，，，∽，，；由知，∽，，，的半径为10，，，，在与中，，≌，，，，，，，，，，BC交于E，，．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键．10．如图1，直线l：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F．求直线l的函数表达式和的值；如图2，连结CE，当时，求证：∽；求点E的坐标；当点C在线段OA上运动时，求的最大值．【答案】（1）直线l的函数表达式，；证明见解析；E；最大值为．【分析】利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；先判断出，进而得出，即可得出结论；设出，，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【详解】（1）直线l：与x轴交于点，，，直线l的函数表达式，，，，在中，；如图2，连接DF，，，，，，四边形CEFD是的圆内接四边形，，，，∽，过点于M，由知，，设，则，，，，，，由知，∽，，，，，，舍或，，，；如图，设的半径为r，过点O作于G，，，，，，，，，，连接FH，是直径，，，，∽，，，时，最大值为．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，运用数理结合思想，正确添加辅助线进行图形构建是解本题的关键．11．如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿CA方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t（s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与直线AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P同时停止移动，在移动过程中：（1）连接ME，当ME∥AC时，t=________s；

（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；

（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【答案】【详解】试题分析：（1）作，垂足为，作垂足为．首先可求得的正弦和余弦值，在中可求得的长，然后再求得的长，接下来，再求得的长，最后依据列方程求解即可；（2）连结NF交DE与点G，则G为DE的中点．先证明从而可证明然后再证明是直角三角形，然后利用锐角三角函数的定义可求得AF的长，然后依据列方程求解即可；（3）如图3所示：过点P作，垂足为H，当与EF相切时，且点为G，连结PG．先证明，然后可得到然后依据列方程求解即可；如图4所示：连接GP，过点P作垂足为H．先证明，然后可得到然后依据列方程求解即可．试题解析：(1)如图1所示：作MH⊥AC，垂足为H，作OG⊥AC，垂足为G.∵在Rt△ABC中，AC=60，BC=45，∴AB=75cm.∴AM=5t−3t=2t.当MEAC时,MH=EF,即解得故答案为(2)如图2所示：连结NF交DE与点G，则G为DE的中点,∵AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm，又∴△EDF∽△ABC.∴∠A=∠E.∵E是DE的中点，∴∠DFD=∠GDF.又∵FC=4t，∴10t+4t=60,解得(3)如图3所示：过点P作PH⊥AC，垂足为H，当⊙P与EF相切时，且点为G，连结PG.∵EF是⊙P的切线，∴四边形PGFH为矩形,∴PG=HF.∵⊙P的半径为3t,∴PH=3t.∴⊙P与AC相切,∵EF为⊙P的切线，∴PG⊥EF.∴HF=PG=3t.∵AH=45AP=4t，FC=4t，∴4t+3t+4t=60,解得如图4所示：连接GP，过点P作PH⊥AC，垂足为H.由题意得可知：AH=4t，CF=4t.∵EF是⊙P的切线，∴四边形PGFH为矩形,∴PG=HF.∵GP=FH，∴FH=3t.∴4t+4t−3t=60，解得：t=12.综上所述,当t的值为或12时，⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切.12．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．【答案】（1）菱形的周长为8；（2）t=，∠MAC=105°；（3）当t=1﹣或t=1+时，圆M与AC相切．【详解】试题分析：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由点A和点B的坐标可知：BE=，AE=1，依据勾股定理可求得AB的长，从而可求得菱形的周长；（2）记M与x轴的切线为F，AD的中点为E．先求得EF的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为M与AD的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明△AFM是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF的度数，故此可求得∠MAC的度数；（3）如图4所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE的长，然后依据3t+2t=5-AE可求得t的值；如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=，最后依据3t+2t=5+AE．列方程求解即可．试题解析：（）如图1所示：过点作，垂足为，∵，，∴，，∴，∵四边形为菱形，∴，∴菱形的周长．（）如图2所示，⊙与轴的切线为，中点为，∵，∴，∵，且为中点，∴，，∴，解得．平移的图形如图3所示：过点作，垂足为，连接，为⊙与切点，∵由（）可知，，，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∵为切线，∴，∵为的中点，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．（）如图4所示：连接，过点作，垂足为，作，垂足为，∵四边形为菱形，，∴．∵、是圆的切线∴，∵．∴，∴，∴．如图5所示：连接，过点作，垂足为，作，垂足为，∵四边形为菱形，，∴，∴，∵、是圆的切线，∴，∵，∴，∴，∴．综上所述，当或时，圆与相切．点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研究点、直线和圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思路清楚，过程简捷.13．如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.【答案】(1)

(2)；或

（3）可以取到的最小值为．当取得最小值时，线段的长为【分析】（1）已知点B的坐标，可求出OB的长；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通过解直角三角形即可求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；（2）过E作EG⊥x轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；过O作AE的垂线，设垂足为K，易证得△AOK∽△AEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在Rt△OMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在Rt△AOK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长；（3）由于点P到△ABO三顶点的距离和最短，那么点P是△ABO的费马点，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易证得△OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作△OBE的外接圆（设此圆为⊙Q），那么⊙Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设⊙Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于⊙Q来说，AE、AH都是⊙Q的割线，根据割线定理（或用三角形的相似）即可求得AP的长．【详解】（1）过E作EG⊥OD于G∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，∴△BOD∽△EGD，∵点B（0，2），∠ODB=30°，可得OB=2，OD＝2；∵E为BD中点，∴=∴EG=1，GD＝∴OG＝∴点E的坐标为(，1)∵抛物线经过、两点，∴.可得.∴抛物线的解析式为.（2）∵抛物线与轴相交于、，在的左侧，∴点的坐标为.过E作EG⊥x轴于G∴,∴在△AGE中，,.过点作⊥于，可得△∽△．∴．∴．∴∴.∵△是等边三角形,∴．∴．∴,或

（3）如图；以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形；连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，∴△AOE≌△B′OB；∴∠B′BO=∠AEO；∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，∴∠POP'=60°，∴△POP′为等边三角形，∴OP=PP′，∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；即m最小=AE=如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；即B、P、O、E四点共圆；易求得Q（，1），则H（，0）；∴AH=；由割线定理得：AP•AE=OA•AH，即：AP=OA•AH÷AE=×÷=故：可以取到的最小值为．当取得最小值时，线段的长为【点睛】此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及费马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大．14．如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；(3)若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标．【答案】(1)(2)(3)、【分析】（1）将点A（-1，0）、B（3，0）代入二次函数解析式进行求解即可．（2）连接，利用两点间距离公式以及勾股定理证明为直角三角形，得到，通过∠DCP=∠BCQ得到，求出直线解析式，利用斜率乘积为以及点坐标，求出直线解析式，最后联立直线解析式与二次函数解析式求出点坐标即可．（3）设直线切⊙与点，连接、，作于点，利用圆与相切的性质得到，，利用边与角的关系，证明是等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，设，分别用点坐标表示出和的长，最后即可得到关于的方程，然后求解方程，得到答案．(1)解：由题意可知：点A（-1，0）、B（3，0）在抛物线y=-x2+bx+c上，，解得：，抛物线的函数解析式为：．(2)解：连接，如下图所示：由可知：对称轴为：直线，（0,3），（1,4），由两点间距离公式可得：，，在中，，为直角三角形，且，，且，，即，设直线解析式为：，直线解析式为：，，解得：，直线解析式为：，，，即，直线解析式为：，将代入得：，故直线解析式为：，联立与有：解得：或，点P的坐标为．(3)解：设直线切⊙与点，连接、，作于点，如下图所示：由题意可知：，，由可知：对称轴为：直线，（0,3），（1,4），，，即，是等腰直角三角形，，，，为等腰直角三角形，设，故，在中，，由勾股定理可知：，，解得：，、．【点睛】本题主要是考查了二次函数的几何综合问题，熟练掌握圆的性质以及垂直与直线斜率之间的关系，是求解该问题的关键．15．如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=x+8分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度．点P为直线y=x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；（2）求点P的坐标；（3）如图乙，若直线y=x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．【答案】（1）四边形OCPD为正方形；（2）求点P的坐标为（2，6）或（6，2）；（3）b的值为；（4）m的取值范围为．（直接写出答案）【详解】试题分析：（1）根据切线长的性质定理可以得出PC=PD，PC⊥OC,PC⊥OD,再由PC⊥PD可以的证.（2）设出直线y=x+8的点P（m，-m+8），根据切线长的性质和正方形的性质，有勾股定理的出m的值.（3）分两种情形，直线y=-x+b将圆周分成两段弧长之比为1：3，可知被割得的弦所对的圆心角为90°，又直线y=-x+b与坐标轴的夹角为45°，如图乙可知，分两种情况，可求得结果.（4）当圆运动到PO等于半径且在直线的左面时，则圆和直线有一个交点；当圆运动到直线的右面时与直线相切的点也有一个，从而能知道他们之间的都可以.试题解析：（1）四边形OCPD是正方形．证明过程如下：如图甲，连接OC、OD．∵PC、PD是⊙O的两条切线，∴∠PCO=∠PDO=90°．又∵PC⊥PD，∴四边形OCPD是矩形．又∵OC=OD，∴四边形OCPD是正方形；（2）如图甲，过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OP．∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，∴OD=PD=2，OP=2∵P在直线y=-x+8上，设P（m，-m+8），则OF=m，PF=-m+8，∵∠PFO=90°，OF2+PF2=PO2，∴m2+（-m+8）2=（2）2，解得m=2或6，∴P的坐标为（2，6）或（6，2）；（3）分两种情形，直线y=-x+b将圆周分成两段弧长之比为1：3，可知被割得的弦所对的圆心角为90°，又直线y=-x+b与坐标轴的夹角为45°，如图乙可知，分两种情况，所以，b的值为2或-2．故答案是：2或-2．（4）8-2≤m≤8+2考点：正方形，圆的切线的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，等腰直角三角形16．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）存在，理由见解析；D(－4,)或（2，）；（3）最大值；最小值【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式计算即可得到；（2）点D应在x轴的上方或下方，在下方时通过计算得△ABD的面积是△ABC面积的倍，判断点D应在x轴的上方，设设D(m,n)，根据面积关系求出m、n的值即可得到点D的坐标；（3）设E(x,y)，由点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点,用两点间的距离公式得到点E的坐标为E,再根据点F是AE中点表示出点F的坐标，再设设F(m,n),再利用m、n、与x的关系得到n=，通过计算整理得出，由此得出F点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，再计算最大值与最小值即可.【详解】解：（1）将点A(－3,0)、B(1,0)代入y＝ax2＋bx－2中，得，解得，∴（2）若D在x轴的下方，当D为抛物线顶点（－1，）时，，△ABD的面积是△ABC面积的倍，，所以D点一定在x轴上方．设D(m,n),△ABD的面积是△ABC面积的倍，n＝＝m＝－4或m＝2D(－4,)或（2，）（3）设E(x,y),∵点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，∴,∴y=,∴E,∵F是AE的中点,∴F的坐标,设F(m,n),∴m=,n=,∴x=2m+3,∴n=,∴2n+2=,∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,∴4(n+1)2+4()2=1,∴,∴F点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，∴最大值：，最小值：最大值；最小值【点睛】此题是二次函数的综合题，考察待定系数法解函数关系式，图像中利用三角形面积求点的坐标，注意应分x轴上下两种情况，（3）还考查了两点间的中点坐标的求法，两点间的距离的确定方法：两点间的距离的平方=横坐标差的平方+纵坐标差的平方.17．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．(1)求证：CD＝ED；(2)连接AD与OC、BC分别交于点F、H．①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）如图1中，连接BC．想办法证明∠E=∠DCE即可；（2）①如图2中，根据等腰三角形的性质得到∠CFH=∠CHF，根据三角形外角的性质得到∠ACO=∠OBC，求得∠OCB=∠OBC，得到∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，推出AC=BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②连接OD交BC于G．设OG=x，则DG=2-x．利用勾股定理构建方程求解即可．（1）解：证明：如图1中，连接BC．∵点D是弧BC的中点．∴，∴∠DCB=∠DBC，∵AB是直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∴∠E+∠DBC=90°，∠ECD+∠DCB=90°，∴∠E=∠DCE，∴CD=ED；（2）①证明：如图2中，∵CF=CH，∴∠CFH=∠CHF，∵∠CFH=∠CAF+∠ACF，∠CHA=∠BAH+∠ABH，∵∠CAD=∠BAH，∴∠ACO=∠OBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴AC=BC，∵∠ACH=∠BCE=90°，∠CAH=∠CBE，∴△ACH≌△BCE（ASA），∴CH=CE；②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG=x，则DG=2-x．∵，∴∠COD=∠BOD，∵OC=OB，∴OD⊥BC，CG=BG，在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22-x2=12-（2-x）2，∴x=，即OG=，∵OA=OB，∴OG是△ABC的中位线，∴OG=AC，∴AC=．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．18．如图1，已知矩形ABCD中，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O（1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线（2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD（3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，．【分析】（1）过点O作，且OM的反向延长线交CD于点N．根据题意结合图形易证线段ON为中位线，即可求出长，从而求出与长，最后在中利用勾股定理即可求出DE的长，即⊙O的直径，即可判断OD=DE=OM，从而证明AB为⊙O的切线．（2）设⊙O与AD交于点G，连接CG、EG、DF、FG，利用圆周角定理以及三角形中线的性质易证，即证明CF=CD．（3）取AD中点H，连接CH、FH、FD．根据（2）中三角形中线的结论可知，再在中，利用勾股定理可求出．最后利用三角形三边的关系即可求出CF的最小值．【详解】（1）如图，过点O作，且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形，∴MN=AD=3，∵O为圆心，即O为DE中点，∴N为DC中点，即线段ON为中位线，又∵，∴，∴OM=MN-ON=3-1=2．在中，．∴OD=DE=OM=2．即AB为⊙O的切线．（2）设⊙O与AD交于点G，连接CG、EG、DF、FG，∵DE为直径，∴．∴，∴CG为直径．∴，∵E为BC中点，∴G为AD中点，在中，FG为中线，∴AG=DG=FG，在和中，，∴．∴CF=CD．（3）如图，取AD中点H，连接CH、FH、FD．由（2）可知，在中，，∵．∴当F点在CH上时CF长有最小值，最小值为．【点睛】本题考查圆的综合．主要知识点有切线的判定，圆周角定理，三角形中线与中位线的性质，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，三角形三边的关系以及勾股定理等知识，综合性较强，较难．作出合理的辅助线是解答本题的关键．期末难点特训三(选填压轴50道)1．平面直角坐标系内，已知点，，．当时，若最大，则t的值为（

） A． B． C． D．2．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4．则当∠A最大时，AC的长为（

）A．2 B．2 C．2 D．103．如图，在Rt△ABC中，，，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为；③BP存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④4．已知圆O的半径为3，AB、AC是圆O的两条弦，AB=3，AC=3，则∠BAC的度数是（

）A．75°或105° B．15°或105° C．15°或75° D．30°或90°5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB⊥x轴，A（﹣2，0），C（﹣4，1），二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点B．将△ABC沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，使点A平移到点A′，然后绕点A'顺时针旋转90°，若此时点C的对应点C′恰好落在抛物线上，则m的值为（）A．+1 B．+3 C．+2 D．2+16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再将△ADC沿AD翻折，得到△ADE，连接BE，则tan∠EBC的值为（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系xOy中，以P（0，﹣1）为圆心，PO为半径作圆，M为⊙P上一点，若点N的坐标为（3a，4a+4），则线段NM的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．28．如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠CAB=60°，点E是对角线AC上的一个动点，连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得∠DEF=60°，且点F和点A位于DE的两侧，当点E从点A运动到点C时，动点F的运动路径长是（

）A．4 B．4 C．8 D．89．如图，，，，……是分别以，，，……为直角项点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，……，均在反比例函数的图象上，则的值为（

）A． B． C． D．10．如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为（

）A． B． C． D．11．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的结论个数是

A．1 B． C．3 D．12．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点，点是函数图像上的两点，则y1＞y2；④；⑤c－3a＞0，其中正确结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13．如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③，是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程关于的方程的两根为-1，3，其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．15．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图像如图2，则下列结论错误的是（

）A．当时， B．C．当时， D．当时，17．若二次函数y=-x2+mx在-2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（）A．或6 B．或6 C．或6 D．或第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题18．如图，在中，P是斜边边上一点，且，分别过点A、B作、平行于，若，则与之间的最大距离为_______．19．如图，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一点，CD＝5，则AD的长为______．20．中，，，点I是的内心，点O是的外心，则______．21．如图，在正方形ABCD中，E为AB上一点，F为BC上一点，BE＝BF＝2，BP⊥EC于点P．若BP＝，则＝_______．22．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，直线，相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为__________．23．已知⊙O的半径为5，弦AB⊥CD，且AB＝CD＝8，则阴影部分的面积为_____．24．将点绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点，当点恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为________．25．如图，二次函数y＝x2﹣1的图象与x轴交于A、B两点．以点C（0，4）为圆心，以1为半径作⊙C，点D为⊙C上的动点，E为线段AD的中点，连接OE、BD．线段OE的最小值是____．26．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1)、（0，5)，点C在x轴正半轴上，且∠ACB=30°，则点C的坐标是________．27．如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．28．如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号）①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=．29．如图，半径为4的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在上时，CD＝_____．30．如图，以面积为20cm2的Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若，则AC＋BC＝_____．31．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点M（1，2），交边BC于点N，若点B关于直线MN的对称点B′恰好在x轴上，则OC的长为_____．32．如图，⊙的半径为3，点是圆上的一个动点，轴，轴，垂足分别为、，是的中点，若点在圆上运动一周，则点运动过的路程长为______．33．已知抛物线与轴相交于，两点.若线段的长不小于2，则代数式的最小值为_______．34．如图，已知等边的边长为4，以AB为直径的圆交BC于点F，以C为圆心，CF为半径作圆，D是⊙C上一动点，E是BD的中点，当AE最大时，BD的长为______．35．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为_____．36．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为__．37．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为__________．38．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．39．如图（1），△ABC和是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝．点、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将在直线l上自左向右平移，开始时，点与点B重合，当点移动到与点C重合时停止．设△移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是____．40．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O、A1；将C1绕A1能转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3.此进行下去，直至得到C2021，若顶点P（m，n）在第2021段抛物线C2021上，则m＝___．41．已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，若点在轴上，且满足，则点的坐标为___________．42．如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______．43．如图，在BDE中，∠BDE=90°，BD=，点D的坐标是(7，0)，∠BDO=15°，将BDE旋转到ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为_____．44．如图，矩形OABC中，O为坐标原点，点A、点C分别落在x轴、y轴上，点B坐标为（4，6），点D为AB边中点，点E为射线BC上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B＇，连接OB＇，当OB＇长度最小时点B＇的坐标为____．45．二次函数y=x2+bx的图像如图所示，对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1＜x＜6的范围内无解，则的取值范围是___.46．在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝3，设BC边上的高为h，则h的取值范围是__________．47．如图，△ABC在第一象限，其面积为16．点P从点A出发，沿△ABC的边从A﹣B﹣C﹣A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边三角形PQM，点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的面积为___