数学复习分类汇编函数函数的基本性质（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二节函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性题型15函数的奇偶性1.（2013浙江理4）已知函数，则“是函数"是的（）A.充分不必要条件B。必要不充分条件C。充分必要条件D。既不充分也不必要条件2.（2013山东理3）已知函数为奇函数，且当时，,则(）。A.B。C.D。3．(2013广东理2）定义域为的四个函数,，,中，奇函数的个数是（）.A．B．C．D．4。（2014新课标1理3）设函数，的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是(）.A.是偶函数B。是奇函数C.是奇函数D。是奇函数5。（2015安徽理2）下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()。A。B。C.D.5。解析对于选项A，是偶函数,且由得，，故A正确；对于选项B，是奇函数,故B错误；对于选项C，的定义域为，故不具备奇偶性,故C错误；对于选项D，是偶函数,但在实数范围内无解，即不存在零点，故D错误．故选A．6。（2015福建理2）下列函数为奇函数的是(）.A．B．C．D．6。解析函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数．故选D．7.（2015广东理3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）。A．B．C．D．7.解析令,则,，即，,所以既不是奇函数也不是偶函数，而A，B，C依次是偶函数、奇函数、偶函数．故选D．8。（2015全国I理13)若函数为偶函数，则。8。解析由题意可知函数是奇函数，所以，即，解得．9。（2016全国丙理15）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______________.9.解析解法一:先求函数在上的解析式，再求切线方程.设，则，又，所以，，所以在点处的切线方程为，即.解法二：由函数性质来求切线方程.因为为偶函数，所以若在点处的切线方程为，则在点处的切线方程为。因此，先求出在点处的切线方程。又，得，所以在点处的切线方程为，所以在点处的切线方程为，即。题型16函数的单调性1.(2014天津理4）函数的单调递增区间是(）.A.B。C.D.2。(2014北京理2）下列函数中，在区间上为增函数的是（）。A。B.C.D.3.（2014陕西理7）下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）。A。B。C。 D.4.（2014大纲理22）（本小题满分12分）函数.（1）讨论的单调性；(2)设，求证：。5。(2015湖南理5）设函数，则是（）。A.奇函数，且在上是增函数B.奇函数，且在上是减函数C.偶函数,且在上是增函数D。偶函数,且在上是减函数5。解析由已知的定义域为,关于原点对称.又因为,所以为奇函数。,当时，，即在上为增函数。故选A。6.(2015四川理9）如果函数在区间上单调递减,那么的最大值为（）。A.B。C.D.6.解析当时，抛物线的对称轴为；当时，，即.因为,所以。由且，得；当时，抛物线开口向下，根据题意可得，，即。因为，所以.由且,得，故应舍去。要使得取得最大值，应有。所以.所以最大值为.故选B.A。B。C。D.7。（2015北京理5)已知，且，则(）.A.B。C。 D.7。C解析选项A错误:因为；选项B错误：三角函数在上不是单调的，所以不一定有。举反例如，当时，；选项C正确：由指数函数是减函数,可得；选项D错误:举一个反例如，,。满足,但。故选C.8。（2016上海理22）已知,函数。（1）当时,解不等式；(2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3)设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过,求的取值范围。8.解析（1）由题意，即，整理得，即，故不等式的解为;（2）依题意，所以， ①整理得，即，②当时,方程②的解为，代入①式,成立；当时,方程②的解为，代入①式，成立；当且时，方程②的解为或，若为方程①的解,则，即,若为方程①的解，则，即.要使得方程①有且仅有一个解，则或,即.综上，若原方程的解集有且只有一个元素,则的取值范围为或或。(3）当时,,，所以在上单调递减。因此在上单调递减.故只需满足,即，所以，即，设，则,。当时，；当时，,又函数在递减,所以。故。故的取值范围为。评注第（3）问还可从二次函数的角度考查，由整理得对任意成立。因为，函数的对称轴,故函数在区间上单调递增.所以当时,有最小值，由，得.故的取值范围为.9。(2017山东理15）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增,则称函数具有性质。下列函数中所有具有性质的函数的序号为。 ① ② ③ ④9。解析=1\＊GB3①在上单调递增，故具有性质；=2\＊GB3②在上单调递减，故不具有性质；=3\＊GB3③，令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增,故不具有性质；=4\＊GB3④。令，则,所以在上单调递增，故具有性质．综上所述,具有性质的函数的序号为①④.题型17函数的奇偶性和单调性的综合1.（2014新课标2理15）已知偶函数在单调递减，。若，则的取值范围是。2。（2014北京理18）（本小题13分)已知函数，求证：；若在上恒成立，求的最大值与的最小值。3。（2014广东理21）设函数，其中.（1）求函数的定义域；（用区间表示）;（2）讨论在区间上的单调性。4.（2014福建理7）已知函数则下列结论正确的是（）。A.是偶函数B.是增函数C。是周期函数D。的值域为5.（2014湖北理10）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若，则实数的取值范围为（）。A。B.C.D。6。（2014湖南理3）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则（）。A.B.C。D.7。（2014湖南理10）已知函数与图像上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）.A。B.C。D。8。（17江苏11）已知函数,其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是．8.解析易知的定义域为.因为，所以是奇函数．又，且不恒成立，所以在上单调递增．因为,所以，于是,即，解得．故填．9。（2017天津理6）已知奇函数在R上是增函数，。若,，,则a,b，c的大小关系为（）。A. B。 C. D。9。解析因为奇函数在上增函数,所以当时，,从而是上的偶函数,且在上是增函数。，，又，则,所以，于是，即。故选C.10。(2017北京理5)已知函数，则（).A.是奇函数，且在上是增函数 B.是偶函数，且在上是增函数C.是奇函数，且在上是减函数 D.是偶函数,且在上是减函数10.解析由题知，，所以为奇函数.又因为是增函数，也是增函数，所以在上是增函数.故选A。11。（2017全国1理5）函数在单调递减,且为奇函数．若，则满足的的取值范围是()。A． B． C． D．11。解析因为为奇函数，所以，于是等价于,又在单调递减，所以，所以.故选D.题型18函数的周期性1.（2014安徽理6）设函数满足。当时，，则（）。A。B.C。D。2。（2014四川理12）设是定义在上的周期为的函数，当时，，则。3.（2016浙江理5）设函数，则的最小正周期(）.A。与有关，且与有关B.与有关，但与无关C。与无关，且与无关D.与无关，但与有关3。B解析由，的最小正周期为,的最小正周期为.当时，，此时的最小正周期是；当时，此时的最小正周期为,所以影响的最小正周期,而为常数项不影响的最小正周期.故选B。4。（2016江苏11)设是定义在上且周期为的函数,在区间上，其中，若，则的值是。4.解析由题意得，。由,可得,则.5.（2017江苏14）设是定义在且周期为的函数,在区间上，．其中集合，则方程的解的个数是．5。解析由题意，所以只需要研究内的根的情况．在此范围内,且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质。从而，则,此时左边为整数,右边为非整数，矛盾,因此,于是不可能与内的部分对应相等，所以只需要考虑与每个周期内部分的交点。如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除外，其它交点均为的部分．且当时，，所以在附近只有一个交点，因而方程解的个数为个．故填．题型18函数性质的综合1．(2013四川理10）设函数（，为自然对数的底数）．若曲线上存在使得，则的取值范围是（）A.B.C。D。2。（2014四川理15）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数,存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当,时，，.现有如下命题:①设函数的定义域为,则“"的充要条件是“，，”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且，，则；④若函数有最大值，则。其中的真命题有。(写出所有真命题的序号）3。（2014湖北理6）若函数满足，则称为区间上的一组正交函数,给出三组函数：①；②；③，其中为区间的正交函数的组数是（）.A。B.C.D。4．（2014四川理9）已知,。现有下列命题：①；②；③。其中的所有正确命题的序号是（）。A．①②③B．②③C．①③D．①②5.(2014山东理15）已知函数,对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意,两个点关于点对称，若是关于的“对称函数"，且恒成立，则实数的取值范围是.6.（2015湖北理6)已知符号函数是上的增函数，，则（）．A． B．C． D．6。解析是上的增函数，当时,若;若,则,从而;若，则，从而。故选B。7。（2016山东理9）已知函数的定义域为.当时，;当时，；当时，，则().A.B.C.D。7。D解析由知,当时,的周期为，所以.又当时，，所以.于是。故选D。8。（2016全国乙理12）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（)。A。B.C。D.8.B