数学复习顶层设计配餐作业函数与方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精配餐作业（十一)函数与方程(时间:40分钟）一、选择题1．函数f（x)＝eq\f（2,x）＋lneq\f（1,x－1)的零点所在的大致区间是()A．（1,2) B．(2,3)C．（3，4） D．（1，2）与(2,3)解析f(x)＝eq\f(2,x)＋lneq\f（1，x－1）＝eq\f（2，x)－ln（x－1），当1〈x<2时，ln（x－1)<0，eq\f(2,x）>0，所以f（x）〉0，故函数f(x）在（1，2)上没有零点.f（2）＝1－ln1＝1〉0,f（3）＝eq\f(2，3）－ln2＝eq\f(2－3ln2,3）＝eq\f(2－ln8，3)。∵eq\r(8)＝2eq\r(2）≈2。828>e，∴8〉e2，即ln8〉2，即f(3)〈0。又f(4)＝eq\f(1,2)－ln3<0,∴f(x)在（2，3）内存在一个零点。故选B。答案B2．已知函数f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x,x>1，））则函数f(x）的零点为()A。eq\f（1,2），0 B．－2，0C。eq\f（1，2） D．0解析当x≤1时,由f（x）＝2x－1＝0，解得x＝0；当x〉1时,由f(x）＝1＋log2x＝0，解得x＝eq\f（1，2)，又因为x>1,所以此时方程无解。综上函数f（x)的零点只有0，故选D。答案D3．函数f（x）＝eq\r(x)－cosx在[0，＋∞)内（）A．没有零点 B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点解析令f（x）＝0，得eq\r(x）＝cosx,在同一坐标系内画出两个函数y＝eq\r(x）与y＝cosx的图象如图所示,由图象知,两个函数只有一个交点，从而方程eq\r（x)＝cosx只有一个解。所以函数f(x)只有一个零点。故选B。答案B4．方程｜x2－2x|＝a2＋1（a〉0）的解的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析（数形结合法）∵a>0，∴a2＋1〉1。而y＝｜x2－2x|的图象如图，∴y＝｜x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点。故选B。答案B5．已知函数f（x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是（)A．（0,1） B．（0，1］C．（－∞,1） D．（－∞，1］解析令m＝0，由f(x)＝0得x＝eq\f（1，3），满足题意,可排除选项A,B.令m＝1,由f（x）＝0得x＝1，满足题意，排除选项C.故选D.答案D6．设函数y＝f(x）满足f（x＋2)＝f(x）,且当x∈[－1，1]时，f（x)＝|x｜，则函数g(x)＝f(x）－sinx在区间［－π，π］上的零点个数为（）A．2 B．3C．4 D．5解析要求函数g（x)＝f（x)－sinx的零点，即求方程f(x)－sinx＝0的根，将其转化为f(x）＝sinx的根，进一步转化为函数y＝f（x）与函数y＝sinx的图象交点的问题.在同一坐标系下，作出两个函数的图象如图所示，可知在区间[－π，π］上有3个交点。故选B。答案B二、填空题7．已知f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤1,，－x2＋2x＋3,x〉1，))则函数g(x）＝f(x)－ex的零点个数为________。解析函数g(x)＝f（x）－ex的零点个数即为函数y＝f(x）与y＝ex的图象的交点个数。作出函数图象可知有2个交点，即函数g（x）＝f(x）－ex有2个零点.答案28．函数f（x）＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)（n∈N）内，则n＝________.解析求函数f（x)＝3x－7＋lnx的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f（2)＝－1＋ln2,由于ln2〈lne＝1，所以f（2)〈0，f（3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f（3）>0,所以函数f（x)的零点位于区间(2,3）内，故n＝2.答案29．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f(x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________。解析关于x的方程f（x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是（－1,0）.答案（－1，0）三、解答题10．已知函数f（x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，(1）求m的值；（2）求函数的零点。解析(1）因为f（x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点,即方程（2x）2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根。设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0。当Δ＝0时，即m2－4＝0，所以m＝－2时，t＝1;m＝2时,t＝－1(不合题意，舍去)。所以2x＝1，x＝0符合题意。当Δ〉0时，即m〉2或m〈－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知：当m＝－2时，f（x）有唯一零点。（2）由（1）可知,该函数的零点为0。答案(1）m＝－2(2)011．已知函数f（x）＝－x2－2x，g（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋\f（1,4x),x>0，,x＋1，x≤0.))（1）求g[f（1）]的值；（2）若方程g[f(x）］－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围。解析（1）利用解析式直接求解得g［f(1）]＝g(－3)＝－3＋1＝－2。(2)令f(x)＝t,则原方程化为g(t)＝a，易知方程f（x)＝t在t∈(－∞，1）内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g（t)（t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t）(t<1）的图象，由图象可知，当1≤a〈eq\f（5,4）时，函数y＝g(t)(t〈1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，\f（5，4))）.答案(1）－2(2)eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，\f(5，4））)（时间：20分钟)1．已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x）＝ax＋x－bA．(－2，－1) B．（－1,0）C．（0,1) D．(1,2）解析∵2a＝3,3b＝2，∴a〉1，0<b又f（x）＝ax＋x－b，∴f（－1）＝eq\f（1，a）－1－b〈0，f(0）＝1－b>0，从而由零点存在性定理可知f（x)在区间（－1,0)上存在零点.故选B。答案B2．(2016·湖南考前演练)设x0是函数f（x)＝2x－｜log2x｜－1的一个零点，若a>x0，则f(a）满足（）A．f(a）〉0 B．f（a)〈0C．f(a）≥0 D．f(a)≤0解析当x〉1时，f(x）＝2x－log2x－1，易证2x>x＋1>x.又函数y＝2x的图象与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，所以2x>x＋1>x〉log2x，从而f(x）〉0。故若a>1，有f(a)〉0；若0〈a≤1，因为当0<x≤1时，f（x)＝2x＋log2x－1,显然f（x）单调递增，又f(1)＝1〉0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)))＝eq\r(2)－2<0,所以x0是f（x）唯一的零点，且0〈x0〈1，有f(a）〉0，故选A。答案A3．（2016·安庆二模）设函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x，0≤x〈1，，\f（1，fx＋1）－1,－1<x<0，)）g（x)＝f(x）－4mx－m，其中m≠0。若函数g（x)在区间（－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是()A．m≥eq\f（1，4)或m＝－1 B．m≥eq\f(1,4)C．m≥eq\f(1,5）或m＝－1 D．m≥eq\f(1,5）解析f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x，0≤x〈1，,\f（1,x＋1）－1，－1〈x<0。)）作函数y＝f(x）的图象，如图所示.函数g(x)零点的个数⇔函数y＝f(x）的图象与直线y＝4mx＋m交点的个数。当直线y＝4mx＋m过点(1，1）时，m＝eq\f（1，5);当直线y＝4mx＋m与曲线y＝eq\f(1，x＋1)－1（－1<x〈0）相切时，可求得m＝－1。根据图象可知当m≥eq\f（1，5）或m＝－1时,函数g(x)在区间(－1，1)上有且仅有一个零点.故选C。答案C4．已知二次函数f（x）的最小值为－4,且关于x的不等式f（x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}。(1）求函数f（x)的解析式；（2)求函数g(x)＝eq\f（fx,x)－4lnx的零点个数。解析(1)∵f（x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为｛x｜－1≤x≤3，x∈R}，∴f（x）＝a（x＋1)（x－3）＝ax2－2ax－3a，且a∴f（x)min＝f（1)＝－4a＝－4，a故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.（2）∵g(x)＝eq\f（x2－2x－3，x)－4lnx＝x－eq\f（3,x）－4lnx－2（x〉0)，∴g′（x)＝1＋eq\f(3,x2)－eq\f(4，x)＝e