天津库伦第二中学2023-2024学年高三数学文名校联考含解析

天津库伦第二中学2023年高三数学文名校联考含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知.=色一3）,a-L3）,逆=琼，则点0的坐标是（）

A.(11,-3)B.(9,-3)C.(9,3)D.(4,0)

参考答案：

B

2.十七世纪英国著名数学家、物理学家牛顿创立的求方程近似解的牛顿迭代法，相较于二

分法更具优势，如图给出的是利用牛顿迭代法求方程X2=6的正的近似解的程序框图，若

输入a=2,?=0.02,则输出的结果为（）

A.3B.2.5C.2.45D.2.4495

参考答案:

C

【考点】程序框图.

【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的b,a,z的值，即可得

出跳出循环时输出a的值.

【解答】解：模拟程序的运行，可得

a-2,7-0.02,

”1

执行循环体，b=2,a=2,z=4,

_549

不满足条件把?，执行循环体，b=I,a=20,z=50,

49

满足条件把?，退出循环，输出a的值为丽=2.45.

故选：C.

3.关于函数八x)=NHg-egcasx的四个结论：

Pi：最大值为：，‘，；P：最小正周期为兀；P：

23单调递增区间为

.x.3.

kn—,ke

88

(―^+―,-1),Ae

P4：图象的对称中心为28z。其中正确的有

A.1个B.2个C.3

个D.4个

参考答案：

C

略

4.函数f(x)=ex+x-4的零点所在的区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

参考答案：

C

【考点】函数零点的判定定理.

【分析】利用函数零点的判定定理、函数的单调性即可判断出结论.

【解答】解：Vf(1)=e-3<0,f(2)=e2-2>0,Af(1)f(2)<0,

.••有一个零点x°e(1,2).

又函数f(x)单调递增，因此只有一个零点.

故选：c.

5.四棱锥尸-覆⑵的底面为正方形，侧面射为等边三角形，且侧面月4。，底

面3CD,点M在底面正方形3c。内（含边界）运动，且满足MP=MC,则点

M在正方形内的轨迹一定

是

A.B.C.

D.

参考答案:

B

6.已知数列&«）的前#项和为则|。】|+|与|+|生|+…+|%|=

A.64B.56C.40D.32

参考答案：

D

7.下列命题正确的个数是（）

①“在三角形<3。中，若sinA3,则B”的逆命题是真命题；

②命题P]*2或3*3,命题0则尸是，的必要不充分条件；

③aVX€R,x'-Xs+1<0,,的否定是“YXE尺金+1>0”；

④若随机变量X~即0,则醺;门=2

A.1B.2C.3

D.4

参考答案：

C

略

8.已知函数22若gg）=/5）成立，则n-w的最小值为（）

A.l-ln2B.In2。2小一3D.

4-3

参考答案：

B

9.已知等比数列（，）中，％=2，q=8,则〜4一（）

A.2B.4C.6D.8

参考答案：

A

、q2=々=、E

•.•数列｛4｝是等比数列，.•」一、：上。2g（与4同号），Ja,、’，

a2018-a2016

q4=（翻=2

从而a2012

10.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各

面直角三角形的个数是（）

参考答案:

C

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P-ABCD,侧面PAD,底面ABCD,PALAD,底

面ABCD是正方形.即可得出.

【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P-ABCD,侧面PAD,底面ABCD,

PAXAD,底面ABCD是正方形.

则此图中含有4个直角三角形（除了底面正方形）.

故选：C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.方程1x-2lgx-3=0的解集是

参考答案：

<100,

12."''?'的展开式中/的系数为

（用数字作答）.

参考答案:

20

【知识点】二项式定理与性质

通项公式为:"C畤'=3臼令人⑹「3.

解:

所以系数为：C«=20

故答案为：20

13.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是.

至

IKOJ^O]

参考答案:

15

2-x，x>0

'-1x<0

14.(5分)函数f(x)=x，若f(m)=h则m=

参考答案：

0或-1

考点：函数的值.

专题：函数的性质及应用.

分析：利用分段函数的性质求解.

’2『x>0

,-1,x<0

解答：解：•函数f(x)=x,f(m)=1,

.,.当m20时,f(m)=2'"=1,解得m=0；

f(m)__

当m<0时，n=L解得m=-l.

故答案为：0或-1.

点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运

用.

15.设平面向量a=(l,2),b=(-2,y),若a//b,则y=.

参考答案：

-4

略

16.直线被圆/+9-2)2=4截得弦长为。

参考答案：

将题目所给的直线和圆图形画出得到如图所示的情况，半弦长2,圆心到直线的距

离d,以及圆半径r构成了一个直角三角形。因为/'=2,夹角45。，因此

17.抛物线0-=2y的焦点为F,过C上一点尸(1/。：’的切线/与尸轴交于A,则

网=一

参考答案：

15.1

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.设｛〃“｝是等比数列的公比大于0,其前“项和为出,｛小｝是等差数列，已知■二】，

.=.'20s=4.队

(1)求｛诙｝，｛儿｝的通项公式

__%____

(2)设(4+1)(—+1),数列｛金｝的前"项和为乙，求T.；

(3)设,其中*WN•求仁

参考答案：

⑴％=-L⑵岩；⑶(4「可门2口2

【分析】

（1）设等比数列14）的公比为g,则g>°,设等差数列｛2的公差为」，利用等比数

列的通项公式可求得q的值，利用等差数列的通项公式建立有关4和」的方程组，解出这

两个未知数，再利用等比数列和等差数列的通项公式可求得这两个数列的通项公式；

尸]上

（2）由,（人叫（2“1）尸♦】人1,利用裂项相消法可求得4；

itn#!1丁r■■

人=«•.24=2>-工2'+20+1）片

（3）求得I/吟A+1X。=丁,可得H*4MM,通过分组

求和以及错位相减法即可得出结果.

【详解】（1）设等比数列｛%）的公比为q,则q>°,设等差数列的公差为d,

X=l,由，=，*2,得?=g+2,r>0,解得g=2,则4==

4+6</=8

由.=%.可，勺=4.4得34']"=16,解得q=d=i,则

&"I（n1）</=it

（2"+1）-（2^+1）

⑵C*^+1）（^+1）（2^+1）（2"+1）-（2^+1）（2'+1）

二M磊志卜岛-舟，…♦（备■焉十六;

（3）由b.g应f»=2",其中£wM

,（it.»#2*

4=<t

可得iRog?R+n»»=2ienr

其中步当1尹=管""

设*-221+32'+42'+...+»I*4+(»+1)2',

则况=22，+32'+42*+一一+*1r+Gi+D2川

-S；=4+22+2,+.„+2B-(»+52B**=2+^-^J-(«+I)2"*1

两式相减得1-2

整理得％="尸

则|=1

.-宜4=2占+2*,(2~*-2)+«2**=(4n-3)2川♦A"♦2

【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法与错位相减

法求和，考查计算能力，是一道难度较大的题目.

19.函数y=f(x)对任意实数x、y满足f(x)+f(y-x)=f(y),且当x>0时，f

(x)<0.

(1)求证：y=f(x)是奇函数；

(2)判断y=f(x)的单调性，并证明；

(3)对任意te[l,2],f(tx2-2x)<f(t+2)恒成立，求x的范围.

参考答案：

【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；抽象函数及其

应用.

【专题】综合题.

【分析】(1)对x,y分别进行赋值，结合f(x)+f(y-x)=f(y),利用奇函数的定

义可证明；

(2)利用单调性的定义，结合当x>0时，f(x)<0,取y>x,则y-x>0,所以f(y

-x)<0,利用当x>0时，f(x)<0,即可证得；

(3)利用(2)的结论，将抽象不等式化为具体不等式，变换主元，构建一次函数，即可

解决.

(1)证明：令x=y=0,代入f(x)+f(y-x)=f(y),那么f(0)+f(0)=f(0),所

以f(0)=0再令y=0,那么f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),

所以函数y=f(x)是奇函数；

(2)解：函数尸f(x)在整个R上是减函数

证明：令y>x,则y-x>0,

Vf(x)+f(y-x)=f(y),

.*.f(y)-f(x)=f(y-x),

因为当x>0,f(x)<0,而y-x>0,所以f(y-x)<0所以f(y)-f(x)<0,

即y>x,f(y)<f(x),

所以函数尸f(x)在整个R上是减函数；

(3)解：对任意te[l,2],f(tx2-2x)<f(t+2)恒成立

J对任意te[l,2],tx?-2x>t+2恒成立

・'.对任意t£[l,2],(x2-1)t-2x-2>0恒成立,

令函数h(t)=(x2-1)t-2x-2

分三种情况：i、当x?-1=0时，x=l或-1,代入发现不符合(x?-1)t-2x-2>0

ii、当x?-1>0,即x>l或x<-1时，函数h(t)=(x2-1)t-2x-2是增函数，所以

最小值为h(1)=x2-2x-3=(x+1)(x-3)>0,

所以x>3或x<-1

所以最后符合的解是：x>3或xV-1

iii、当x?-1V0,即-1<X<1时，函数h(t)=(x2-l)t-2x-2是减函数，所以最

小值是h(2)=2x2-2x-4=2(x+1)(x-2)>0,

所以x>2或xV-1,与-IVxVl矛盾

综上知x的范围是：x>3或xV-1

【点评】本题以函数的性质为载体，考查赋值法的运用，考查函数单调性的判断与证明，

同时考查变换主元思想的运用，解题时合理运用函数的性质是关键.

£

JF=——X

20.在平面直角坐标系尤Oy中，直线/：3,以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为

极轴建立极坐标系，曲线

(I)求曲线C被直线/截得的弦长;

（II）与直线/垂直的直线EF与曲线C相切于点Q,求点。的直角坐标.

参考答案：

（I）首先把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线

的距离公式和勾股定理的应用求出弦长.

（II）利用直线垂直的充要条件求出圆的切线方程，进一步利用直线和曲线的位置关系求

出切点的直角坐标.

P=2（XM

【详解】解：（I）曲线I2/转换为直角坐标方程为

（上-1）"=1

w

直线-3转换为工-括v=o,

的距离网（可2,

所以圆心（L0）到直线工-岳二。

所以曲线c被直线/截得的弦长为

（II）与直线/垂直的直线设为：.

由于直线与曲线C相切，

d=

）的距离”+（行），

所以圆心（L°）到直线，=Yz

解得或万

所以直线E尸的方程为尸-7K.力-2或,=7^r+6+2.

所以设切点Q（“）,

(x-l)J+/=l

故(产=_点<+遣_2解得

Al♦遮

(x-1)2+/=12

或1产=_岳+5*2,解得

2

【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知

p=X”

XLPCOS0

识，考查了在极坐标系下直线与圆的交点问题，解题的关键是正确使用y=2这一

转化公式，还要能结合图形求解问题.

21.已知函数/（X）tn--x-x：nx（aGR）

（1）若a=0,讲座函数的单调性

（2）函数/（X）满足/。）=2,且在定义域内/（X）之机二+2»恒成立，求实数的取值

范围；

1.y1+lnV

—<X<V<1-------

（3）当《时，试比较x与1In、的大小。

参考答案:

(I)a-0,/(x)-x-rtor,/(x)--lnx,/(x)-O,r-l.....1分

XG(Oil),/'(x)>O,/(x)^(0.1)卜是增函数

X€(1.-'XX/(X)<0,(1,-bx)上是M函数....4分

令e（x）-『，可得8（x）在（0,1］上递减，在卜，+«）上递增

g(x)-,mo7分

即》<08分

g(X)1------------

(III)由(II)知X在(0,1)上单调递减

-<r<v<I

'时，«)>绅)

-1-+--l-n-xV-1-+--l-n-v-

即*y.................io分

-<x<v<I,..八

而《*时1<InX<o,.-.1IInK>0.................11分

.y1+lnv

x1-Inx................12分

略

22.为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级100名

学生(其中走读生450名，住宿生550名)中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问

卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下

区间分为八组

①[0,30),②[30,60)③[60,90)④[90,120)⑤[120,150)@[150,180)

⑦[180,210)⑧[210,240),得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学

习时间少于60分钟的人数为5人.

(1)求n的值并补全下列频率分布直方图；

(2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n

名学生，完成下列2X2列联表：

利用时间充分利用时间不充分合计

走读生301545

住校生451055

合计7525100

据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关?

(3)若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第

①组第②组各有1人的概率.

参考答案:

考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

专题：概率与统计.

分析：(1)由分层抽样及频率分布直方图的特点即可求得结果；

(2)由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可；

(3)先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可.

解答：解：(1)设第i组的频率为P(i=l,2,8),

1213

由图可知：p,=i500X30=mX3O=

P2=IOOOIOO,

5

学习时间少于60分钟的频率为Pi+P2=I^,

5

由题意：nX100=5

An=100,

J-X30