2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题13 幂函数-2024一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题13幂函数题型一幂函数的定义域和值域1．函数的定义域为__________．【答案】【解析】函数解析式为，则，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.2．讨论函数的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性．【答案】定义域R；偶函数；图象见解析；在区间(∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数．【解析】函数定义域为R，因为，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在单减，在[0,+∞)上单增.3．已知幂函数.(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m与m＋1中必定有一个为偶数,可知m2＋m为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;(2)由过点(2，)和m∈N*求出m的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a的范围即可.试题解析:（1）m为正整数，则：m2+m＝m（m+1）为偶数，令m2+m＝2k，则：，据此可得函数的定义域为[0，+∞），函数在定义域内单调递增．（2）由题意可得：，求解关于正整数m的方程组可得：m＝1（m＝﹣2舍去），则：，不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）脱去f符号可得：2﹣a＞a﹣1≥0，求解不等式可得实数a的取值范围是：．4．已知幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0，+∞)上单调递增，函数g(x)=2x-k.（1）求实数m的值；（2）当x∈(1，2]时，记ƒ(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围.【答案】（1）m=0；（2）[0，1].【解析】（1）依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时，f(x)=x-2在区间(0，+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.∴m=0.（2）由（1）可知f(x)=x2，当x∈(1，2]时，函数f(x)和g(x)均单调递增.∴集合A=(1，4]，B=(2-k，4-k].∵A∪B=A，∴B⊆A.∴∴0≤k≤1.∴实数k的取值范围是[0，1].5．已知幂函数在上单调递增.（1）求的值；（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.当时，在上单调递增，满足题意.当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.∴.（2）由（1）知，.∵在上单调递增，∴.∵，，∴，∴解得.故实数的取值范围为.题型二幂函数的图像问题1．函数的大致图象是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，故选：A．2．下列结论正确的是（）A．幂函数图象一定过原点B．当时，幂函数是减函数C．当时，幂函数是增函数D．函数既是二次函数，也是幂函数【答案】D【解析】由题意，函数的图象不过原点，故A不正确；函数在及上是减函数，故B不正确；函数在上是减函数，在上是增函数，故C不正确；根据幂函数的定义，可得函数是二次函数，也是幂函数，所以D正确.故选：D.3．若幂函数（且互素）的图象如下图所示，则下列说法中正确的是（）A．0< B．m是偶数，n是奇数C．m是偶数，n是奇数，且 D．m、n是偶数，且【答案】ABC【解析】图象在右侧上升但上升幅度比小，，A正确；图象关于轴对称，函数为偶函数，是偶数，是奇数，B正确；则C也正确，D错误．故选：ABC．4．函数恒过定点______．【答案】【解析】当，即时，，函数恒过定点.故答案为：.5．在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，并利用图象求不等式的解集．【答案】作图见解析；．【解析】由题意，函数与，画出图象，如图所示：根据，解得．利用图象知不等式的解集．6．已知幂函数，经过点(2，)，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．【答案】【解析】∵的图象过点，∴，∴，又，∴.即，其定义域为，且在定义域上函数为增函数，∴由得，解得.题型三幂函数的单调性及应用1．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），若0<a<b<1，则下列各式正确的是A．f（a）<f（b）<f（） B．<f（b）<f（a）C．f（a）<f（b） D．【答案】A【解析】设幂函数y=f（x）=xα，∵该幂函数的图象经过点（4，2），∴4α=2，解得，∴f（x）=，∵0<a<b<1，∴，∴f（a）<f（b）<f（）．故选A．2．幂函数为偶函数，且在上是减函数，则____．【答案】3【解析】∵幂函数为偶函数，且在上是减函数，∴，且为偶数，，且.解得，，1，2，且,只有时满足为偶数.∴.故答案为：3.3．若幂函数在上为减函数，求实数的值；【答案】【解析】因为函数为幂函数，则，得或，当时，；当时，.又函数在上为减函数，所以.4．已知()，，若定义求函数的最大值及单调区间.【答案】1，单调递增区间为，，单调递减区间为，.【解析】由题意，得根据题中图象可知函数的最大值为1，单调递增区间为，，单调递减区间为，.5．已知幂函数满足：（1）在区间上为增函数（2）对任意的，都有，求同时满足（1）（2）的幂函数的解析式，并求当时，的值域．【答案】；值域是．【解析】因为函数在上递增，所以，解得，因为，，所以，，或．又因为，所以是偶函数，所以为偶数．当时，满足题意；当时，不满足题意，所以,又因为在上递增．所以，，故函数的值域是．题型四幂函数的奇偶性及应用1．设，则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，偶函数，不符合题意；时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意.故选：C.2．已知幂函数的图象过，则下列结论正确的是（）A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数C．是偶函数 D．是奇函数【答案】B【解析】设幂函数f（x）＝xα，因为幂函数y＝f（x）的图象过点，所以，解得，所以，所以y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故A错误；B正确，因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，故选：B．3．已知幂函数为奇函数．（1）求实数m的值；（2）求函数的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵函数为幂函数，，解得或5，当时，，为奇函数，当时，，为偶函数，函数为奇函数，；（2）由（1）可知，，则，，令，则，，则，，函数为开口向下，对称轴为的抛物线，当时，函数，当，函数取得最大值为1，的值域为，故函数的值域为．4．已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当或时，；当时，；（2）存在，.【解析】（1）由