2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题79 等比数列及其前n项和 （原卷版）-2023一轮数学讲义+题型细分与精练

专题79等比数列及其前n项和【题型归纳目录】题型一：等比数列的基本运算题型二：等比数列的判定与证明题型三：等比数列项的性质应用题型四：等比数列前n项和的性质题型五：求数列的通项题型六：奇偶项求和问题的讨论题型七：等差数列与等比数列的综合应用题型八：等比数列的范围与最值问题题型九：等比数列的简单应用【典例例题】题型一：等比数列的基本运算例1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，，，则的公比为(

)A．1 B． C．2 D．4例2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列中，，．则的公比q为（

）A．2 B．2或 C． D．3【解析】由题意，例3．（2022·全国·高三专题练习）记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为（

）A． B． C． D．例4．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（

）A． B．2 C． D．3例5．（2022·广东江门·高三阶段练习）设等比数列满足，则___________.例6．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（

）A．420只 B．520只 C．只 D．只例8．（2022·全国·高三专题练习）已知、、成等比数列，则的值为（

）A． B． C． D．例9．（2022·全国·高三专题练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（

）A． B． C． D．10例10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．4例11．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则等于（

）A． B． C．3 D．例12．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（

）A．或 B． C． D．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．3例14．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．例15．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列中，，且，则（

）A．1024 B．960 C．768 D．512例16．（2022·全国·高三专题练习）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（

）A．14 B．34 C．41 D．86例17．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（

）A． B． C．3 D．【方法技巧与总结】等比数列基本量运算的解题策略（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：当时，；当时，．题型二：等比数列的判定与证明例18．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．(1)证明：数列是等比数列．(2)若数列的前m项和，求m的值．例19．（2022·海南海口·二模）已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．例20．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知正项数列的前项和，其中，，为常数.(1)若，证明：数列是等比数列；(2)若，，求数列的前项和.例21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求证：数列是等比数列.例22．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，其中.证明：是等比数列；例23．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列，并求的通项公式；例24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且.求证：数列是等比数列；例25．（2022·上海·模拟预测）在数列中，，其中．(1)设，证明数列是等比数列；(2)记数列的前n项和为，试比较与的大小．例26．（2022·全国·高三专题练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列的前项和为，证明：．例28．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列和满足，，，．(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和．例29．（2022·河北·模拟预测）已知数列和满足．(1)证明：是等比数列，是等差数列；(2)求的通项公式以及的前项和．例30．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知在数列中，.(1)令，证明：数列是等比数列；(2)，证明：.例31．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知数列满足，.(1)证明：是等比数列；(2)设，证明.例32．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，，为数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等比数列；（3）若恒成立，求的最小值.例33．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，且.(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式.【方法技巧与总结】等比数列的判定方法定义法若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列中项公式法若数列中，且，则是等比数列通项公式法若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列前项和公式法若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列【注意】（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择、填空题中的判定．（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．题型三：等比数列项的性质应用例34．（2022·全国·高三专题练习）等比数列中，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．9例35．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列中，为方程的两根，则的值为（

）A． B． C． D．例36．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））已知等比数列的公比为2，前n项和为，若，则（

）A． B．4 C． D．6例37．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，如果，，那么（

）A． B． C． D．例38．（2022·陕西·长安一中一模（理））正项等比数列满足：，则的最小值是A． B． C． D．例39．（2022·全国·高三专题练习）在由正数组成的等比数列中，若，的为A． B． C． D．例40．（2022·天津·一模）在等比数列中，公比是，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例41．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知为等比数列，，则_________．例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为______例43．（2022·全国·高三专题练习（理））在各项都为正数的等比数列中，已知，其前n项之积为，且，则取最小值时，n的值是___________．【方法技巧与总结】（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．题型四：等比数列前n项和的性质例44．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和，则________．例45．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为,则实数_______.例46．（2022·全国·高三专题练习）等比数列前n项和为，若，则______.例47．（2022·上海·高三专题练习）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.例48．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．例49．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为(

)A． B． C． D．例50．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前n项和为，若，，则A．144 B．81 C．45 D．63例51．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列的前项和为，若，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1例52．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．①若共有项，则；②若共有项，．（2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．题型五：求数列的通项例53．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，若，，则（

）A． B．C． D．例54．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（

）A． B． C． D．例55．（2022·安徽·高考模拟（文））已知等比数列的首项为2，前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.例56．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为，，，，…，得到数列．(1)直接写出，的值；(2)求数列的通项公式．例57．（2022·上海·高三阶段练习）治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；(2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．【方法技巧与总结】（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式： （2）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为题型六：奇偶项求和问题的讨论例58．（2022·全国·一模（理））已知数列中，，，则的前200项和_________.例59．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（

）A． B．2 C． D．例60．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．例61．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知是数列的前n项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.例62．（2022·天津·二模）已知数列中，，，令．(1)求数列的通项公式；(2)若求数列的前23项和．例63．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，(1)令，求，及的通项公式；(2)求数列的前2n项和.例64．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知数列，，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．(1)求数列和的通项公式；(2)记．（ⅰ）求；（ⅱ）求．例65．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足成等比数列．数列的前n项和为，且满足(1)求和的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．【方法技巧与总结】求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．题型七：等差数列与等比数列的综合应用例66．（2022·北京市玉渊潭中学高三阶段练习）已知为一等差数列，为一等比数列，且这6个数都为实数.则下面四个结论中正确的是（

）①与可能同时成立

②与可能同时成立③若，则

④若，则A．①③ B．②④ C．①④ D．②③例67．（2022·浙江省杭州第二中学模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（

）A． B． C． D．例68．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（

）A． B． C． D．例69．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．例70．（2022·浙江·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．(1)求的值．(2)若，求证：．例71．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．(1)求的通项公式；(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．例72．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知正项等差数列满足，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)已知正项等比数列的前n项和为，，_________，求．注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．【方法技巧与总结】（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．题型八：等比数列的范围与最值问题例73．（2022·安徽·蚌埠二中二模（理））已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例74．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（

）A． B．C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值例75．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④例76．（2022·北京房山·高三开学考试）已知等比数列中，，那么“”是“为数列的最大项”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例77．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列满足，且是数列的前n项和，则（

）A．数列单调递增 B．C． D．例78．（2022·全国·模拟预测（文））设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（

）A．数列的公比为 B．C．存在最大值，但无最小值 D．例79．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列满足，公比，且，，则（

）A． B．当时，最小C．当时，最小 D．存在，使得例80．（多选题）（2022·湖南怀化·一模）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（

）A． B． C． D．与均为的最大值例81．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型九：等比数列的简单应用例82．（2022·河南·模拟预测（理））北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（

）（参考数据，）A． B． C． D．例83．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了n个正方形，设这n个正方形的面积之和为，则（

）A． B． C． D．例84．（2022·全国·高三专题练习）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（

）A．6小时末 B．7小时末 C．8小时末 D．9小时末例85．（2022·海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________（参考数据：）例86．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知数列为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此规律类推．若其前n项和，则称k为的一个理想数．将的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当的项数时，其所有理想数的和为______．例87．（2022·江苏南通·模拟预测）雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．①

②

③

④若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．【过关测试】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（

）A． B． C． D．2．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（

）．A．7 B．8 C．9 D．104．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列的前项和为．若，，则（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（

）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要6．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））数列中，，对任意m，，，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（）A． B．C． D．8．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，，则下列选项不正确的是（

）A．是等比数列 B．C．是等比数列 D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2022·江苏南通·模拟预测）若数列是等比数列，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列10．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差和首项都