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16四月2024高等数学幂级数一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数

.对若常数项级数收敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其

为其发散点,

发散点的全体称为其发散域.为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数

称它例如,函数项级数它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数二、幂级数及其收敛性1.定义:形如的函数项级数称为幂级数,其中下面着重讨论例如,幂级数幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称为几何说明收敛发散发散2.收敛性:阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,正数R称为收敛半径(-R,R)称为收敛区间规定收敛发散发散(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.1)当

≠0时,2)当

＝0时,3)当

＝∞时,证:1)若

≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,即时,系数模比值法（系数模根值法）2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径例1求下列幂级数的收敛域解收敛发散(2)解发散收敛故收敛域为(0,1]解级数收敛级数发散发散发散故原级数的收敛域为解:缺项不能应用定理2可直接利用修改后的比值判别法练习

求下列幂级数的收敛域三、幂级数的运算解:例2.

求级数的和函数解:解法2:解法1:例4.

的和函数解:解:级数的收敛半径R＝+∞.例5.则的和函数.因此得设解:内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用修改后的比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习1.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为2.

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