2024经验之中有规律的教学涵义1

2024经验之中有规律的教学涵义1“经验之中有规律”的教学涵义经验之中有规律，是我们认识问题的一般过程和方法，也阐明了一个简单但很深刻的教学原理。“经验”是具体的，“规律”则是抽象的。“规律”不是从天而降的，而是从具体经验中经过不断归纳、概括才能得到的。如何才能培养学生“从经验中发现规律”的能力呢？我想，如下两点很要紧：首先，要培养学生“从一般规律的高度考察具体事例”的意识，逐步养成“透过现象看本质”的习惯。这是观念问题，是思维习惯问题，也是思想方法问题，需要一个长期的、潜移默化的过程，需要有意识地培养。其次，要让学生掌握观察事例、从经验中归纳规律、把具体事例中得到的东西概括到全体中去的基本方法，使他们逐步学会归纳、学会抽象、学会概括，进而形成“从经验中发现规律”的能力。众所周知，“具体”中蕴含的信息具有丰富性、多样性，观察也可以有不同角度，因而从同一事例中可发现不同规律；同时，表面的东西大家都能看到，“藏”在背后的才有“含金量”。所以，面对具体事例，关键是“你怎么看？”这是看问题的角度、高度以及切入点，需要知识的支撑，还需要历练。学生经常出现“不是做不到，而是想不到”的尴尬，主要是他们的阅历还不足以使自己“想得到”。这似乎是一层“窗户纸”，但捅破它却并不容易，需要有数学知识、思想方法的灵活运用能力。例如对于公式1+2+…+n=，能将右边看成n个相加的结果，进而想到是数列1，2，…，n的“等差中项”，是这n个数的“平均数”，并最终形成对等差数列求和具有一般意义的“利用平均数，将求等差数列的前n项和转化为n个相同数的求和”，这就体现了看问题的高度，需要很好的把握等差数列的性质（特别是“当m+n=p+q时，am+an=ap+aq”）。把简单的事情搞清楚，并能从中发现规律，这是需要高层次思维和高水平能力的。再看“二项式定理”的例子。从乘法公式的角度，通过整式运算，学生在初中就知道(a+b)2=a2+2ab+b2和(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。如何升华这些经验，使之能用于“归纳规律，获得猜想”呢？这里需要一个新的观察角度，要用排列组合的观点分析原始运算过程：对于(a+b)2=a2+2ab+b2，还原到(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2，分析展开式（从什么角度？），看项数、每一项的次数和系数。因为目标是要得到(a+b)n的展开式，因此要有“从特殊性中寻找一般性”的思想：n=2时，项数3，次数2，每一项的形式是a2-kbk（k=0，1，2）（这是“一般化”的观点，需要归纳，需要教师引导）。接下来的关键是要用组合知识对“如何获得展开式的某一项”作出解释。当k=0时，=a2，是由2个（a+b）都不选b得到的，相当于从2个（a+b）中取0个b（即都取a）的组合数；当k=1时，=ab，是由一个（a+b）选a，另一个（a+b）选b得到的，由于b选定后，a的选法就唯一确定，因此，ab出现的次数相当于从2个（a+b）中取1个b的组合数，即ab共有个；当k=2时，=b2，是由2个（a+b）都选b得到的，相当于从2个（a+b）中取2个b的组合数。最终有：。显然，学生具备上述分析过程中用到的所有知识，但他们缺“看问题的高度”，不会“从新角度看旧问题”。因此，为了有利于学生找到“规律”，需要进一步提供经验支持，即让学生仿照上述过程独立完成对，的展开式的探究。顺便提及，代数中的公式和定理，绝大部分都是用归纳法由低次到高次，由一元、二元到多元逐步归纳而发现，然后再用归纳论证去确立其正确性。因此，代数教学中，一定要强调让学生积累“归纳地去探索、发现，再归纳地定义、归纳地论证”的经验。1．已知当，不等式恒成立，则的取值范围是．解法一：结合的图象分类讨论：当，即时，，解得当，即时，，解得当，即时，，解得综上可知：或解法二：当时显然成立当时，有或进而有：或所以或综上：或2．设实数使得不等式对任意实数恒成立，则满足条件组成的集合是。解法一：设当时，所以所以，解得当时，所以所以，解得综上，解法二：由齐次化思想，令，则原不等式为转化为对任意恒成立易得所以，解得2015年浙江第18题3.设函数，记为在上的最大值（1）设，求证：（2）若，请求出的最值。证明：（1）因为对称轴或证法一：规划视角故，又结合，可以从规划视角来解题，以为横坐标，为横坐标建系，画出可行域如图1所示，目标函数视为可行域内的点到直线的距离的倍，显然当取点时同理，可行域如图2所示，目标函数视为可行域内的点到直线的距离的倍，显然当取点时综上，证法二：绝对值不等式解法三：令，则在同一个坐标系中画出和的图象，两者取其大，则显然当时，故（2）解法一：规划视角显然又是一个规划问题了。以为横坐标，为横坐标建系，画出可行域如图中的蓝色部分。这里画图时注意到上下两条抛物线恰与两条直线相切（这里命题人命题时可能又是两边夹的应用）目标函数，（当然这个目标函数也可以理解为一个正方形逐渐变大）显然当在第一象限（含坐标轴）时，目标函数当在第二象限时，目标函数当在第三象限时，目标函数当在第四象限时，目标函数综上，的最大值为3，最小值为0。解法二：显然，而时，，，所以可以取到，所以又由（1）的逆否命题可知当时，必有，且（i）若，则（ii）若，则，所以，从而当且仅当时，，，综上，的最大值为3，最小值为0。解法三：显然，而时，，，所以可以取到，所以由故故或又，故4.（2015重庆理科第16题）若函数的最小值为5，则________．解法一：按照两类分类讨论，画出的折线图，图象最低点的纵坐标为5，求得或解法二：由题意得，从而设的图象是以为顶点的开口向上的“V”形图。的图象是以为顶点的开口向下（开口比的图象开口大）的“V”形图，且与轴交点的坐标为。当或时，，所以若函数的最小值为5，则或5.已知，对任意满足的实数，都有成立，则的最大值是．解法一：显然于是问题转化为求的最大值当时，容易得到，由图可知直线在上的值域为的子集，于是斜率必然在内，故从而当时，原式取到最大值为40解法二：绝对值不等式因为故，同解法一练习：若对任意满足的实数，都有成立，则的取值范围是．如图，易得点评：本题就是将一次函数转变为二次函数，异曲同工。6.（2012杭州一模）设对任意实数，．若不等式恒成立，则实数的最小值为．解法一：令，则令，则故的最小值为解法二：待定系数法与题中所给不等式相比对，待定系数可得解得，故故的最小值为7.已知函数，且。对恒成立，则的最小值为。解法一：齐次化思想根据条件有，则因此令，则解法二：由题意可知，即此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除则当且仅当及时，即时取得。解法三：根据条件有，则故令得当且仅当及时取得最小值，即时取得。解法四：令，得，代入得解法五：待定系数法假设，化简为又故比对系数得，得因为，所以因为，所以均值不等式兄弟四个同根生，老大名叫幂平均；老二算术平均数，老三几何求平均，调和平均小弟弟，两两结合六出戏，一正二定三相等，最值证明要注意。解释：对于两个正数，我们称为的幂平均数，为的算术平均数，为的几何平均数，为的调和平均数。它们的大小关系是，这四个平均数类似同胞兄弟，即“兄弟四个同根生，老大名叫幂平均；老二算术平均数，老三几何求平均，调和平均小弟弟”。这四个平均数两两结合可以产生六个均值不等式，即“两两结合六出戏”。利用这些均值不等式求最值或证明不等式的时候，需要考虑每个变量是正数；如果求和的最小值时，需要考虑积是否是常数，如果求积的最大值时，需要考