特色题型专练01 尺规作图-2024年中考数学考试易错题

边上任意一点，连接CD，过点A的射线AE交BC于点E，交CD于点F，当7BAE=7ACD时，则必有BD=CE．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作7BAE=7ACD，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填(1)用直尺和圆规在图的基础上作7BAE=7ACD，AE交BC于点E，交CD于点F不:AC=AB=BC，①(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E，再连接BD（保(2)在（1）题的基础上，求证：CD=DE3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC的延长线上，连接AD.点A，且与BC相切.要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明.与点A不重合若在Rt△ABC的直角边上存在不同的点分别和点A、D构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的AD的长的取值范围.5．已知，矩形ABCD.①作线段AB的垂直平分线，交线段BC于点D，连接AD.②以点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段AB的垂直平分线于另一点E.③连接AE，BE．请作出四边形ADBE.菱形，并画出菱形BDEF（要求：不写作法，保留作图痕迹）点Q是CD边上的一点，且满足△PCQ∽△ABP.理由.9．在ΘO中，AB=AC，连接BC.(1)尺规作图：过点A作ADⅡBC，交BO的延长线于点D（不写作法，保留作图痕(2)求证：AD为ΘO的切线；10．如图，BC是ΘO的直径，点A在ΘO上.(1)请在图1中的ΘO上作一点D（异于点B长线于点M，过A作BC的垂线交BM于点G作图使用没有刻度的真尺和圆规，不(1)已知点O在边BC上，请用圆规和直尺作出12．已知，正方形ABCD，边长为4，点F是边AB、BC上一动点，以DF为直径作(1)点F在边AB上时（如图1）①求证：点O在边AD的垂直平分线上；@如图3，点F从A运动到点B的过程中，若H始终是的中点，写出H点运动的(2)当点F在边BC上时（如图4若H始终是的中点，连接CH，连接）；(2)在（1）的条件下，点D在ΘO上且与点C位于AB异侧，连接BD并延长交AB的垂①求证：ED=EF；@若求的值.小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明.【作图应用】（2）如图@，AB是ΘO的弦，在优弧AB上作出点P，使得.@保留作图的痕迹.求BC.15．如图，△ABC中，AB=BC，D、E分别为边AB、AC的点，DEⅡBC，AD=2BD.(1)用圆规和没有刻度的直尺在线段DE上求作一点F，使S△ADF=S△CEF（两种工具分别(2)在（1）的条件下，过点F作FGⅡAC交AB于G，AC=9，求FG的值.16．如图，在菱形ABCD中，DP丄AB于P.(1)尺规作图：求作ΘO，使得AB、CD分别切ΘO于点P、D要求：保留作图痕迹，(2)在（1）的条件下，设ΘO分别交AD、BD于点E、F，连接EF．求证：DE.DA=DF.DB.(1)请用尺规作图，找到货轮距离小岛A最近时的位置点P（不写过程，需保留作图痕成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部.数.时门的位置OB.中心O处.(1)若OA的长为50cm，求△ABC的边长.(2)如图2，已知树根部O及木撑的落脚点A确定，试只用圆规确定另两个落脚点B、201）如图①,射线OM与直线AN垂直相交，交点为O，且OM=3，ON=4，请你在直线AN和射线OM上找出一点P，使得△PMN为等腰三角形，请用尺规作图，在图中作出所有满足条件的点P(用P1，P2，…表示)；(（2）如图②,平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得21．已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图像如图所示.①求y与x的函数表达式；22．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数x的图像为直线l，已知两点(2)直接写出点C的坐标为______；(3)若点P在直线l上，点P关于x轴的对称点为Q，且PQ=3，则点P的坐标是 .23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(6,0)，B是y轴上一点.(1)B上求作点M，使得△AMO-△AOB(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)在（1）的条件下，AB=4AM，OC是△AOB的中线，过点M的直线交OC于点D，交x轴于点F，当MO=MF时，求点D的坐标.24．如图，直线y=x+m（m＞0）与x轴交于A，与y轴交于B，AC平分∠BAO.）；求证：AD=BD+AO； B(-1,m)两点.(2)点P(n,0)为x轴上一动点，请用无刻度的直尺和圆规，过图中所标的P点作x轴的26．如图，反比例函数的图象与正比例函数x的图象交于点A(2,m)，过点A作AC丄x轴，垂足为C，B为y轴上一点，点B的坐标为(0,4)，连接AB.(1)求反比例函数的解析式.(2)请用无刻度的直尺和圆规在图中找出AB的中点D（保(3)在（2）的条件下，连接CD，求△ACD的面积.，点P为该图象上一动点，连接OP.(2)在图中请你利用无刻度的直尺和圆规作线段OP的垂直平分线MN，交x轴于点轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6).(2)点P在抛物线上，若使得S△APC=a的点P恰好只有三个，求a的值；(3)请使用圆规和无刻度直尺，在x轴下方的抛物线上确定一点D，使得DA=2DO，并性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数y=x2-2x（自x…-4-3-2-101234…y…830m0-10n8…②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画①方程x2-2|x|=0的解是；②如果y=x2-2x的图象与直线y=k有4个交点，则k的取值范围是；将函数y=x2-2x的图象经过怎样的平移可得到y1=(x+1)2-2|x+1|-2的图象？请写出平移过程.31．对函数y=x2-4x-3的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整.【作图】①列表x…-2-10123456…y…92-30m0-329…其中，m=.②描点并连线：请根据上述数据，在如图所示的平面直角的图象.【应用】①平行于x轴的一条直线y=k与y=x2-4x-3的图象有两个交点，则k的取值范围为 .②已知函数y=x-3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程x2-4x-3=x-3的解为.性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数y＝x2﹣3|x|（自变x…43101234…y…40-2m0-2-2n4…mn=;②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画：；②如果y＝x2﹣3|x|的图象与直线y＝k有4个交点，则k的取值范围是；(2)等边三角形的性质，AC=AB，AD=BE，BC-BE.掌握全等三角形的性质是解题的关键.:AD=BE，又∵AB=BC，:AB-AD=BC-BE，:BD=CE，故答案为：等边三角形的性质，AC=AB，AD=BE，BC-BE.线段垂直平分线的性质是解题关键.又∵DE垂直平分AB:AD=DB:7DBA=7A=30o:7CBD=7DBA=30o:CD=DE掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.（1）在AC右侧作7ACT=7D，CT交AD于点P，点P即为所求；由作图可得：7ACT=7D，:7D+7CPD+7PCD=180O，7ACP+7ACB+7PCD=180O，:7ACB=7CPD，:AB=AC，:7ACB=7B，:7CPD=7B；（2）解：:CAP=7CAD，7ACP=7D，:△CAP∽△DAC，,:AB=AC=5，AD=8，:AP=.41）图见解析（2）见解析（2）当以AD为直径的圆与BC相切时，求出此时圆的半径，分四种情况进行讨论求解即可.【详解】解1）作<BAC的角平分线，交BC于点M，过点M作OMTBC，交AB于点（2）当以AD为直径的圆与BC相切时：如图:AB=2，当存在1个点时，此时BC与ΘO相离，0>AD>或B、D两点重合，AD=2，当存在2个点时，此时BC与ΘO相切，AD=，【点睛】本题考查复杂作图—作圆，含30度角的直角三角形的性质，切线的判定和性质，想进行求解，是解题的关键.（1）以点B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；勾股定理可得结论.【详解】（1）解：如图，以点B为圆心，BC长为半在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE2+AB2=BE262F，在Rt△AEF中，求出EF=AE=3,求出BF=AF=4，DF=EFAB=AF+BF=8，在Rt△ABC和Rt△ACD中，由勾股定理得到AC2=AB2BC2=AD2CD2，则822=52CD2，解得CD=即可得到答案.（2）解：∵DE垂直平分AB，:AE=BE,AD=BD，:四边形ADBE是菱形，设AB与DE的交点为F，:AB丄DE，DF=EF,AF=BF，在Rt△AEF中，AE=5，sin上EAB=:AB=AF+BF=8，在Rt△ABC和Rt△ACD中，由勾股定理得到，AC2=AB2BC2=AD2CD2，等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键.【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的性质与判定，角平分线，线段的垂直平分线以及相似三角形的判定与性质等知识.（1）作<ABC的角平分线交AC于点E，作线段BE的垂直平分线交AB于点F，交BC于点D，连接EF，ED，四边形BDEF即为所求.关数据可得结论.:BF=EF，EFⅡBD，:△AFE∽△ABC，:（1）中所作菱形BDEF的边长为6.(3)CQ存在最大值为:当BP=时，CQ存在最大值为.数的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键.为半径画弧，以C为圆心AB长为半径画弧交于点P，连接AP，延长BO交AP于点（2）连接AO并延长交BC于点M，证明AM是线段BC的垂直平分线即可3）证明（2）如图连接AO并延长交BC于点M，:AM是线段BC的垂直平分线；:AM丄BC；:AD为ΘO的切线.∵ADⅡBC；【分析】本题考查了弧与弦的关系，垂线的作图，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，（1）以点A为圆心，AB为半径画弧，得到AD=AB即得再根据垂线的基本作过点A作AH丄BD于点H，根据得到AD=AB，利用等腰三角形的三线合BH=ABcos上ABD=ABcos上BCA=AB×=，得求得AG的长..∵BC是ΘO的直径，AG丄BC，（3）过点A作AH丄BD于点H，（1）作<CAB的平分线与BC的交点即为圆心O，然后以点O为圆心，以OC的长为半径∴劣弧DE与线段BD、BE所围成的图形的面积为 意数形结合思想的应用.（1）①证明OA=OD即可证明点O在边AD的垂直平分线上；②作AD的垂直平分线，作切点与A所连线段的垂直平分线，即可找到圆心；③由由△FHD是等腰直角可求解.:点A在圆上，连接AO，:AO=DO，:点O在AD的垂直平分线上；②设ΘO与边BC相切于点E，则OA=OD=2+22=x2，解得③连接FH，HD；:H始终是FD的中点，:△FHD是等腰直角三角形，当点F与A点重合，H点与M点重合，当点F与B点重合，H点与C点重合，:H点运动的轨迹为线段MC，MC=2（2）①由EO是AB的垂直平分线，可证Rt△BEO≌Rt△AEO，得上BEO=上AEO，再结合出MD=DE，可设EF=15x，则DE=15x，ME=30x，证明EF∥AM，通过平行线分线段成比例得，再设BF=4y，在Rt△BEF中，通过勾股定理可求出y=5x，则BF=20x，BE=25x，再通过线段加减关系求出BC=4x，BD=10x，由△BEF≌△AED得AD=BF=20x，再利用勾股定理依次求出AB=10x，AC=22x，（2）①连接AE，AD，:AB是ΘO的直径，:EO是AB的垂直平分线，:EO=EO，:Rt△BEO≌Rt△AEO(HL)，:上BEO=上AEO，:EF丄CB，:AE=BE，:△BEF≌△AED(AAS)，:ED=EF.:△BEF≌△AED，:上EBF=上DAE，AD=BF，:上EBF=上CAD，:△MDA≌△EDA(ASA)，:MD=DE，:ME=2DE，:CF=24x，:EFⅡAM，设BF=4y，则BE=5y， :y=5x， 141）证明见解析2）见解析3）21（3）利用相似三角形△BDA∽△BAC，利用相似三角形的性质，即可求;（2）解：①作弦AB的垂直平分线，交弦AB于点D，交ΘO点E，②再作线段BD的垂直平分线，交弦AB于点C，③连接EC并延长交ΘO点P，:PC平分<APB，（3）如图所示，作<BAC的平分线交BC于点D，:△BDA∽△BAC，:AB2=BD.BC:BC2=21，图形.三角形的判定与性质，平行线的性质.（1）以点B为圆心，BD为半径画弧交BC于点M，连接AM交DE于一点,该点即为F点；（2）由（1）可证明△BDM∽△BAC，得到AC∥DM，推出DM=再证明 :△BDM∽△BAC，:AC∥DM，:DM=AE，上AEF=上MDF，上EAF=上DMF，:△DFM∽△EFA，:AC=9，:DEⅡBC，又:FGⅡAC，:FG∥DM，:△AFG∽△AMD，:FG=2.据切线的判定方法可得到AB、CD分别切ΘO于点P、D；△DEF∽△DBA，然后利用相似三角形的性质可得到结论.（2）证明：连接PF:7DEF=7DPF，:DP为ΘO直径，:7DFP=90O，:7DPF=90O7BDP，由作图得，AB是ΘO的切线，DP为ΘO的直径:7DPB=90O，:7DBA=90O7BDP，:7DPF=7DBA=7DEF，又:7EDF=7BDA，:△DEF∽△DBA，,:DE.DA=DF.DB.(2)货轮航行到P点位置时，距离小岛A19.57nmile，货轮没有参数构建方程解决问题.设PC=xnmile，则AP=nmile，根据t:19.57>10，:货轮航行到P点位置时，距离小岛A19.57nmile，货轮没有触礁危险.(3)0.75（2）以点O为圆心、ON的长为半径画弧，与以点F为圆心、FN的长为半径的弧交于点N1,N2，连接ON1,ON2,得出门OB的位置；（3）如图2，连接NM，过点O作OHTNM，交NM的延长线于点H.∵在门的开合过程中，7ONM在不断变化，:当7ONM最大时，sin7ONM的值最大.由图2可知，当OH与OM重合时，OH取得最大值，此时7ONM最大，:sin7ONM的最大值为=0.75.故答案为：0.75关键.求.:O是等边三角形的中心，:OA=OB，:OE丄AB，:AB=2AE=50(cm)；意，灵活运用所学知识解决问题.201）见解析（2）铁塔CD的高度约为68.5m答：铁塔CD的高度约为68.5m.是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质.（2）直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点B、C，在y轴的负半轴上截取OA=2OB，在x轴的负半轴上截取OD=2OC，则直线AD:y与x的函数表达式为y=2x+2；②当x=-1时，y=0；当x=1时，y=2+2=4，:当1≤x≤1时，y的取值范围是0≤y≤4；故答案为：0≤y≤4；（2）如图，在y轴的负半轴上截取OA=2OB，在x轴的负半轴上截取OD=2OC，(2)(4,2)（2）由线段垂直平分线的定义得点D是线段AB的中点，则D(0,2)，CD∥x轴，将y=2设P根据题意可知，结合PQ=3可得=3，求得a的值，即可获得答案.:CA=CB，:LCAB＝LCBA；（2）∵CD是线段AB的垂直平分线，:点D是线段AB的中点，CD∥x轴，:D(0,2)，可得x，解得x=4，设P，∵点Q为点P关于x轴的对称点，,又∵PQ=3，:a=±3，当a=3时，点P坐标为，当a=3时，点P坐标为，所以，点P的坐标是或并运用数形结合的思想分析问题.（2）:△AMO-△AOB，:AO：AB=AM：AO，:OA2=AM.AB，:OA=6，:AB=4AM，:AM×4AM=36，:AM=3，AB=12，:AC=BC，， :直线OC的解析式为y=·3x，:OM丄AB，:MO=MF，直线MF的解析式为，【点睛】本题考查作图-相似变换，一次函数的数确定交点坐标. （2）根据角平分线的性质得出OC=GC，证明Rt△AOC≌Rt△AGC，利用一次函数图象的:LAGC=LAOC=90O，:OC=GC，∵AC=AC，:Rt△AOC≌Rt△AGC(HL)，:AO=AG，:LBAO=60O，:LABO=LBCD=30O，:BD=CD，:LAMH=LAMO=90O，LHAM=LOAM，:AM=AM，:△AMH≌△AMO(ASA)，:OM=HM，AO=AH，:AM垂直平分OH，:HE=EO，:OF=2，OH=4，:OE+EF的最小值为2.是解题的关键.函数解析式的方法和步骤.（1）先将点代入y=求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后将点A（2）以点C为圆心，任意长为半径画弧，交y轴于两点，再分别以两交点为圆心，大于两（3）根据A(4,-1)，B(-1,4)，结合C，D两点的位置，数形结合即可求解.解：把A代入y=得；:k=-4，:反比例函数的解析式为.∴B(-1,4)，把A(4,-1)，B(-1,4)代入y=k1x+b得：∴一次函数的解析式为：y=-x+3；（2）解：如图所示，直线CD即为所求作的直线.（3）解：∵A(4,-1)，B(-1,4)，∴n的取值范围为：n>4或-1<n<0.(3)△ACD的面积为.【分析】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，还考查了待定系数法求函数解析式，线段垂直平分线作图，数形结合思想是解题的关键.把A代入y=x求得m，再把点A的坐标代入反比例函数解析式得到k的值，面积公式即可得到答案.解：把A代入y=得到×2=1，∴点A(2,1)，;（2）分别以O、P为圆心，以大于OP为半径作弧，两个弧交于点M、N，连接MN，则MN为OP的中垂线；，由AO=AP，即可求解.)代入反比例函数解析式得：k=1×s3=v3，（2）解：分别以O、P为圆心，以大于为半径作弧，两个弧交于点M、N，连接MN，则MN为OP的中垂线，如图；（3）解：过点P作PH丄x轴于点H，，则AO=AP，【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，待定系数法、一次函数与坐标轴的交点特征，解直角三角形等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数的相关知识是解题关键.（2）由勾股定理求出AB长，由轴对称的性质可以推出四边形ABCD是菱形，推出（2）解：:B、D关于直线AC对称，:AD=AB，CD=BC，:A(0,4)，B(-3,0)，C(2,0)，:AB=BC，:四边形ABCD是菱形，:ADⅡBC，:AO丄BC，:AD丄AO，D的坐标是(5,4)，:反比例函数的图象过点D，:k=20，:反比例函数的解析式是；（3）解：:OA=4，OC=2，7AOC=90。， :ADⅡBC，和性质，基本作图，关键是证明四边形ABCD是菱形，由菱形的性质得到D的坐标；由29．x2（2）若使得S△APC=a的点P恰好只有三个，则点P在AB下方时，只有一个P点，进而求PNⅡAC，联立①②并整理得：x2+2x-2t=0，过点N作NH丄AC交于点H，即AH=2HD，设m非常接近2，令AH=m2、HD=，则点D为所求点.强，难度适中.(3)将函数y=x2-2x的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到y12-2x+1-2的图象【分析】（1）①把x=-1与x=3代入进行计算即可得到答案（2）①根据函数图象与x轴交点的横坐标即可得到答案；②根【详解】（1）解：①当x=-1时，m=x2-2x=1-2=-1；当x=3时，n=x2-2x=9-6=3；答案为：-1；3；（2）①由函数图象可得方程x2-2|x|=0的解是x=-2或x=0或x=2；②根据y=x2-2x的图象与直线y=k有4个交点，则k的取值范围是-1<k<0；答案为：①x=-2或x=0或x=2；②-1<k<0；将函数y=x2-2x的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到(x+1)2-2x+1-2的图象；二次函数图象的平移，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.（应用）①k=-3或k