2023届北京市门头沟区高三年级下册4月综合练习一数学试题

门头沟区2023年高三年级综合练习（一）

高三数学答案2023.4

1.本试卷答案共12页，共3道大题，21个小题.满分150分.考试时间120分钟.

考

2.在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将考试编号填写（或条形码粘贴）在答题

生卡相应位置处.

须3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.选择题、作图题用2B铅

知笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.

4.考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项.）

（1）已知集合4={工一3,-2,-1,0,1,2,3,4},B={x||x|>2},则AB=

(A){-4,-3,3,4}(B)(-oo,-2)U(2,+oo)

(C){-2,-1,0,1,2)(D)[-2,2J

(2)复数z=(—l+i)(2+i),则|z|=

(A)V5(B)M

(C)2(D)3

⑶双曲线土*叱叱。）的离心率为2,则其渐近线方程为

(A)y=±&x(B)y=±V3x

(C)y=±—x(D)y=±2x

3

（4）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样

一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织

布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布

（A）9尺（B）3尺

3131

（C）”尺（D）2尺

1616

(5)若点M是圆CW+y?-4x=0上的任一点，直线/:x+y+2=0与x轴、y轴分别相交

于4、8两点，则NM48的最小值为

(A)K(B)71

T24

(C)71(D)兀

36

(6)在平面直角坐标系中，角a与£的顶点在原点，始边与

X轴正半轴重合，终边构成一条直线，且sina=且，则

3

cos(a+/?)=

(A)1(B)-

3

(C)--(D)-1

3

(7)在声学中，音量被定义为：4=201g且，其中4是音量(单位为四)，p。是基准声

P。

压为2x10-5p“，p是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表

明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240法对应的听觉

下限阈值为20dB,1000法对应的听觉下限阈值为048,则下列结论正确的是

频率/Hz

(A)音量同为2048的声音，30100法的低频比100010000也的高频更容易被人们听到.

(B)听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.

(C)240也的听觉下限阈值的实际声压为0.002&.

(D)240/的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍.

(8)已知非零向量“涉，则””与匕共线”是“|"方向”|一闻的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)即不充分也不必要条件

(9)已知函数f(x)=e',若存在玄e[-l⑵使得/(。=%+,(而)一恒成立,贝1=/(%)-

的取值范围

1

(A)[0,-+1](B)[-+l,e29-2]

ee

(C)[1,-+1](D)[l,e2-2]

e

12

(10)已知数列｛。〃｝满足%=1,册+1=%5%.

①数列｛an｝每一项an都满足0<a”W1(〃eN*)

②数列｛册｝的前〃项和Sn<2,

③数列｛册｝每一项册都满足W上2成立；

④数列｛叫每一项册都满足a„>(；)"T("eN*)

其中，所有正确结论的序号是

(A)①③(B)②④

(C)①③④(D)①②④

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分.)

(11)在(2/-1)6的展开式中，/的系数为.(用数字作答)

(12)在边长为4的正八45。中，点P是边8c上的中点，则=.

(13)同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为

0.95、0.90、0.80,甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5,将三家产品混合在一起.从中

任取一件，求此产品为正品的概率.

TT

(14)设函数/(x)=sin(5+])(&>0).

①给出一个。的值，使得f(x)的图像向右平移2后得到的函数g(x)的图像关于原点对称，

②若f(x)在区间(0,兀)上有且仅有两个零点，则。的取值范围是

(15)在正方体ABCD-A4GA中，棱长为1,已知点P,。分别是线段AR,AG上的动

点(不含端点入其中所有正确结论的序号是,

①PQ与8(垂直；

②直线尸0与直线8不可能平行；

③二面角P-AC-Q不可能为定值；

④则|PQ|+|QC|的最小值是；

其中所有正确结论的序号是

三、解答题(本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明.)

(16)(本小题满分12分)

已知在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且岛cosA—asinB=0.£)是的

中点，AC=2,CD=2拒.

(I)求NA的大小；

(11)求。的值.

(17)(本小题满分13分)

周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，

共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情

况，得到如下统计表：

父亲母亲弟弟

比赛的次数506040

李梦获胜的次数103032

以上表中的频率作为概率，求解下列问题.

(I)如果按照第一场与与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比

赛.

(i)求李梦连胜三场的概率；

(ii)如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X,求X的分布列与期望；

(II)记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p,此概率。与父亲、

母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序此概率p最大(不必计算)？

如果无关，请给出简要说明.

(18)(本小题满分15分)如图，在三棱锥尸-MC中，AB=BC=2,PA=PB=PC=2,

。为AC的中点.

(I)证明：PBVAC

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求二面角8-PC-A的余弦值

及点A到平面BPC的距离.

①AC=20

②P01BC

(19)(本小题满分15分)

1°

已知-]n(x+l)+ox(«GR).

(I)当a=2时;求函数/(幻在(0,0)处的切线方程；

(II)求证：—X2+x2ln(x+l)；

2

(III)若/(x)》0在xw[0,+oo)恒成立,求。的取值范围.

21.(本题满分15分)

已知集合M={±1,±2,±3,士”}(〃23).若对于集合A7的任意女元子集A,A中必有4

个元素的和为T,则称这样的正整数々为“好数”，所有好数的最小值记作g(M).

(I)当〃=3,即集合M={-3,-2,-1,1,2,3}.

(i)写出M的一个子集5,且8中存在4个元素的和为-1;

(ii)写出M的一个5元子集C,使得C中任意4个元素的和大于-1；

(II)证明：g(M)>〃+2；

(III)证明：g(M)=〃+3.

门头沟区2023年高三年级综合练习（一）

高三数学答案2023.4

1.本试卷答案共12页，共3道大题，21个小题.满分150分.考试时间120分钟.

考

2.在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将考试编号填写（或条形码粘贴）在答题

生卡相应位置处.

须3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.选择题、作图题用2B铅

知笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.

4.考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项.）

（1）已知集合A={T,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},8={x||x|>2},则AB=

(A){-4,-3,3,4}(B)(-oo,-2)U(2,+oo)

(C){-2,-1,0,1,2)(D)[-2,2J

(2)复数z=(—l+i)(2+i),则|z|=

(A)V5(B)M

(C)2(D)3

⑶双曲线土*3。6。）的离心率为2,则其渐近线方程为

(A)y=±&x(B)y=±V3x

(C)y=±—x(D)y=±2x

3

（4）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样

一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织

布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布

（A）a尺⑴）3尺

3131

（C）”尺（D）2尺

1616

(5)若点M是圆。:/+丫2-4》=0上的任一点,直线/:x+y+2=0与x轴、y轴分别相交

于4、8两点，则NM48的最小值为

(A)—(B)-

124

(C)-(D)-

36

(6)在平面直角坐标系中，角a与尸的顶点在原点，始边与

x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且sina=3,则

3

cos(a+/?)=

(A)1(B)-

3

(C)--(D)-1

3

(7)在声学中，音量被定义为：4=201g且，其中4是音量(单位为四)，p。是基准声

P。

压为2x10-5p“，p是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表

明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240法对应的听觉

下限阈值为20dB,1000法对应的听觉下限阈值为048,则下列结论正确的是

频率/Hz

(A)音量同为2048的声音，30100法的低频比100010000也的高频更容易被人们听到.

(B)听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.

(C)240出的听觉下限阈值的实际声压为0.002&.

(D)240/的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍.

(8)已知非零向量a,b,则“。与6共线”是"W||a|-W|”的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)即不充分也不必要条件

(9)已知函数/(x)=e”,若存在玄使得/«)=%+f(而)-f恒成立,则b=/(%)T

的取值范围

1|,

(A)[0,-+1](B)[-+l,e2-2]

ee

1

(C)[1,-+1](D)[l,e29-2]

e

(10)已知数列｛〃"｝满足q=1,a〃+|=a”一;4.

①数列｛%｝每一项。“都满足0<%W1(〃eN*)

②数列｛%｝的前〃项和S“<2.

③数列｛册｝每一项册都满足/W上2成立；

n+\

④数列｛%｝每一项4都满足an>(；)"T(〃eN*)

其中，所有正确结论的序号是

(A)①③(B)②④

(C)①③④(D)①②④

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分.)

(11)在(2d-1)6的展开式中，/的系数为.(用数字作答)

答案：-12；

(12)在边长为4的正ZWBC中，点P是边BC上的中点，则A3・AP=

答案：ABAP=3x4=U

(13)同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为

0.95、0.90、0.80,甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5,将三家产品混合在一起.从中

任取一件，求此产品为正品的概率.

0.95x2〃+0.9x3〃+0.8x5”

答案：P(A)==0.86

10”

TT

(15)设函数/(x)=sin(<"+§)(0>0).

①给出一个。的值，使得f(x)的图像向右平移0后得到的函数g(x)的图像关于原点对称,

6

o)=；

②若/(X)在区间(0,兀)上有且仅有两个零点，则(O的取值范围是

注：第一空为2分，第二空为3分

答案：<1>=2：——a)+—=kn^>a)=2—k；(―>—］；

6333

cn、58/581

33333

(15)在正方体ABC。-AgGA中，棱长为1，已知点P，。分别是线段A4,4G上的动

点(不含端点).其中所有正确结论的序号是.

①PQ与BQ垂直；

②直线PQ与直线8不可能平行；

③二面角P-AC-Q不可能为定值；

④则|PQ|+|QC|的最小值是g.

其中所有正确结论的序号是.

答案：①④

三、解答题(本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明.)

(16)(本小题满分12分)

已知在^ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且屏cosA-qsinB=0.O是AS的

中点，AC=2,CD=2+.

(I)求NA的大小；

(H)求。的值.

解：(I)由V5/7cosA-asinB=0得：Gsin8cosA+sinAsinB=0=>GcosA-sin4=0

tanA=G=A=巴

3

(II)由余弦定理得：z________、

AD

12=4+A》_2ADx2cos-=>AD2-2AD-8=0

3

解得：AD=4,则AB=8,由余弦定理得：8c2=4+64-2x2x8cos生=52=8C=2"3

3

(17)(本小题满分13分)

周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，

共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情

况，得到如下统计表：

父亲母亲弟弟

比赛的次数506040

李梦获胜的次数103032

以上表中的频率作为概率，求解下列问题.

(I)如果按照第一场与与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比

赛.

(i)求李梦连胜三场的概率；

(ii)如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X,求X的分布列与期望；

(II)记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为P,此概率P与父亲、

母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序此概率〃最大(不必计算)？

如果无关，请给出简要说明.

解：(I)设李梦连胜三场这一事件为A,则/⑷=0.2x0.5x0.8=0.08

(H)X可取0,1,2,3,则：P(X=0)=0.8x0.5x0.2=0.08

F(X=l)=(l-0.2)x(l-0.5)x0.8+(l-0.2)x0.5x(l-0.8)+0.2x(l-0.5)x(l-0.8)=0.42

P(X=2)=(1-0.2)x0.5x0.8+0.2x(l-0.5)x0.8+0.2x0.5x(1-0.8)=0.42

p(X=3)=0.2x0.5x0.8=0.08

期望：=0x0.08+1x0.42+2x0.42+3x0.08=1.5

(III)有关；李梦第二场与弟弟比赛的概率〃最大。计算如下：

①设父亲在第二场为A,李梦赢的概率为P{A)=0.210.5x(1-0.8)+(1-0.5)x0.8J=0.25；

②设母亲在第二场为B,李梦赢的概率为P(B)=0.5[0.2x(l—0.8)+(l-0.2)x0.8]=0.34；

③设弟弟在第二场为C,李梦赢的概率为P(O=0.8[(1-0.2)X0.5+0.2X(1-0.5)]=0.4；

弟弟在第二场比赛.

(18)(本小题满分15分)如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=2,PA=PB=PC=2,

。为AC的中点.

(I)证明：PB1AC

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角B-PC-A的余弦值

及点A到平面BPC的距离.P

①AC=2&//

②PO1BC//

解：(I)连结尸O,OB

AB=BC=>OBA.AC；同理得：PO1.AC'

POOB=O；ACJL平面PO3

得：ACYPB

(II)选择①

由题意得：回2+8。2=472=48,6。,同理得：融_1_尸。，P

贝|JOP=O8=0,PCT+OB2=PB2/；\

B

得：POLOB,由(I)可得:POJ_AC

OB-AC=O,PO_L平面ABC

所以，OB,OC,OP两两垂直，建立如图所示坐标系

则B(立0,0),C(0,A/2,0),P(0,0,应)，=(72,0-^/2)

PC=0,母,-母),设平面PBC的法向量为凡=(x,y,z)

fPBn=0

则｛1=>/z,=(1,1,1),

PC”=0

平面B4C的法向量%二(1,0,0),可得：cos<«,,?!,>=-^=—

白3

A(0,-V2,0)nPA=(0,-V2,-V2),点A到平面BPC的距离d==—

H.3

(ID选择②

由(I)得：POrAC,POlBC,可得：尸O_L平面ABC,由题意E4=PB=PC

则BO=AO=CO,可得AABC为直角三角形，AB=BC=2n0B=0C=0A=6

08,OC,OP两两垂直，建立如图所示坐标系

则8(夜,0,0),C(0,V2,0),尸(0,0,应),PB=(72,0-72)

PC=(0,72,-72),设平面PBC的法向量为々=(x,y,z)

PBn,=0

则<1=〃，=(1,1,1),

PCn,=0

平面E4C的法向量&=(1,0,0),可得:

4(0,-72,0)nPA=(0,-72,-72),点A到平面BPC的距离d==巫.

W3

（19）（本小题满分15分）

1

已知/(X)=-x20-ln(x4-1)+ax(«eR).

(I)当a=2时，求函数/(%)在(0,0)处的切线方程；

(II)求证:gx?+x21n(x+l)；

(III)若/(x)20在x£［0,+oo)恒成立,求a的取值范围.

解：(I)当a=2时，f'M=x—匚+2=/(0)=1,7(0)=0切线方程为：y=x

X+1

(II)^(%)=-%2+x-ln(x+l)=g，(x)=x+l---—=M"±2),

2x+1x+1

X(-1,0)0（0,内）

g/(x)-0+

g(x)单调递减极小值g(0)=0单调递增

g(x)在(-1,0)上减,在(0,+00)上增,g(c)1nin=g(0)=0，所以g(%)Ng(O)=O.

(III)①当aO时

方法一：由(H)得了32；/一§工2+幻+奴=3_］)工20

方法二：由(II)得/(x)2；/一［n(l+x)+x20

方法三：f\x)=x-----Ftz=>/7(0)=6?-1>0,设

x+1

tn(x)=f1(x)=x--!—+〃=>加'(x)=l+——5-->0,可得：/lx)在［0,+oo)上增，

x+l(x+1)

则/。)>/(0)=0，则/。)在(O,4W)上增，/(x)>/(0)=0；

②当a<\时，/z(0)=6T-1<0,加(x)=/'(%)="(x)=l+——-7>0，/(x)在［0,+co)上增,

(%+1)2

方法，f1(x)=\+(a+l)H=0得再=一("+l)+Jm+l)24(“l),则r(X)在［0,百)

x+12

上r(x)<0,得/(X)在[0,为)上减，/(%)</(0)=0,/(》)20在工€[0,+00)不恒成立，不合

题意。

方法二：f'(\-a)=\-a———+<?=—>0,由零点存在定理得：3/,/(f)=0,

2—。2—a

则r(x)在[01)上/(x)<0,得/(X)在上减，,f(x)</(0)=0,.f(x)20在xe[0,+oo)不

恒成立，不合题意。

综上所述，当/■(》)20在%€[0,+00)恒成立.

(20)(本小题满分15分)

J-221

已知椭圆C：=+4v=1(〃>%>())的离心率为L,长轴的左端点为4(-2,0).

矿b-2

(I)求C的方程；

(II)过椭圆C的右焦点的任一直线/与椭圆C分别相交于两点，且A/,AN与直线

x=4,分别相交于E两点，求证：以上为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.

122

解：(I)-=«=2,得b=6,C的方程：上+匕=1

a243

(II)

x=my+1

22

方法一：设N(x29y2)<xv=>(3〃5+4)y'+6/Hy-9=0,

*■—+—=1

43

6W

由韦达定理得：M+%=,.,yty2=A/

3m~+43m+4

AM:y=-^-(x+2)nO(4,-^-),同理得：AN:y=-^—(x+2)nE(4,-^-)

%1+24-2x2+2X2+2

设X轴上一点PQ,0),则P£>=(47,刍L),同理得:PE=(4—t,叵-)

西+2^2+2

贝ljPDPE=(4T,=(4一f)2+―—

为+2X2+2(g+2)(马+2)

(西+2)(当+2)=(my+3)(加为+3)

由韦达定理代入得:

皿*(4—]C+3)=(I)2+_9〃J；：：工；〃入36=(1)2-9=。

得：f-4=±3=f=l或/=7,二定点分别为P(l,0),2(7,0)

方法二：①当直线MN的斜率不存在时，直线MN的直线方程：x=l,

x=1

37j

联立得：/27V(l,--)«AM：y=—(x+2)n0(4,3),同理得：£(4,-3)

——+—=1222

43

以为直径的圆过x轴上定点(1,0)(7,0)

②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的直线方程：y=&(x-l),

8k2

y=k(x-l)X]+々=T

■3+4产

联立得：-x2y2=>(3+4/》2_弘2》+4%2_12=0,由得：,

---F--=14廿-12

43X]•巧=T-

■3+4/

则直线AA/:y="^(x+2)nO(4,£j),同理得：£(4,-^-),

%)+2%+2电+2

设X轴上一点P(r,0),则P£>=(4T,包-),同理得:PE=(4-f,3-)

玉+2乙+2

贝I」PDPE=(4-t,-^-)-(4-r,-^-)=(4-r)2+———

%+2超+2(百+2)(X2+2)

--Gb2

%为=/[(西一1)(々-DI=，由韦达定理代入得：

3+4公

..-9严

球,36x------

PDPE=(4-t)2+―——=(4-/)2+——3土;小二=(4-/)2-9=0

(玉+2)(巧+2)36比2

3+4M

得：/-4=±3=/=1或/=7,二定点分别为尸(1,0),Q(7,0)

以。E为直径的圆过x轴上定点(1,0)(7,0)

方法三：

①当直线MN的斜率不存在时，直线的直线方程：x=\,

X—\

a31

联立得：K2v2nM(l,—),N(l,),AM:y=—(x+2)nE>(4,3),同理得：E(4,-3)

—+2-=i22_2

43

以£)E为直径的圆过x轴上定点(1,0)(7,0)

②当直线MV的斜率存在时，设直线MN的直线方程：y=k(x-l),

弘2

y=&(x-l)+x

23+4严

联立得:■*2y2=(3+4/)--8%2》+442-12=0,由得:

---1----14kz-\2

43

-3+4/

则直线AM:y="一(x+2)nZ)(4,3-),同理得：以4,1&-),

X)+2X)+2々+2

由①可得P(1,O)或尸(7,0)

若尸(1,0)时，则PO=(3,上江•)，同理得:尸£=(3,3-)

X]+2x2+2

PDPE=(3,6y')(3,6为-)=9+