（课程标准卷地区专用）高考数学二轮复习 专题限时集训(二十三)A 几何证明选讲配套作业 理（解析版）

专题限时集训(二十三)A[第23讲几何证明选讲](时间：30分钟)1．如图23－1，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作AP垂直于直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.图23－12．如图23－2，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2eq\r(3)，OA＝eq\r(3)OM，求MN的长．图23－23．如图23－3，AB是⊙O的一条切线，切点为B，C为圆外一点，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，AC＝AB.(1)证明：AC2＝AD·AE；(2)证明：FG∥AC.图23－34．如图23－4，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.图23－4

专题限时集训(二十三)A1．证明：(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK.同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即eq\f(ON,OP)＝eq\f(OM,OK).又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.2．解：(1)证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.由条件，根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，所以PM2＝PA·PC.(2)∵OA＝2eq\r(3)，OA＝eq\r(3)OM，∴OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝eq\r(OB2＋OM2)＝4.延长BO交⊙O于点D，连接DN，由条件易知，△BOM∽△BND，于是eq\f(BO,BN)＝eq\f(BM,BD)，即eq\f(2\r(3),BN)＝eq\f(4,4\r(3))，得BN＝6.∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.3．证明：(1)∵AB是⊙O的一条切线，∴AB2＝AD·AE.又∵AC＝AB，∴AC2＝AD·AE，(2)∵AC2＝AD·AE，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AE,AC)，又∵∠DAC＝∠CAE，∴△CAD∽△EAC，∴∠ACD＝∠AEC.又∵四边形DEGF是⊙O的内接四边形，∴∠CFG＝∠AEC，∴∠ACD＝∠CFG，∴FG∥AC.4．证明：(1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB，①又∵PA，PB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB，②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AC，ED，设DE与AB相交于点F，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°，∴AC是⊙O2的切线．由(1)知eq\f(PA,PE)＝eq\f(P