2022年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷

第1页（共1页）2022年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）下列四个实数中，最大的数是A． B． C． D．42．（4分）2月4日的北京冬奥会开幕式精彩纷呈，展示了中国人民的文化自信．据估计有约5亿观众收看了北京冬奥会开幕式，在收视率方面超过了往届任何冬奥会．用科学记数法可以把5亿表示成A． B． C． D．3．（4分）小竹将正方体小冰块摆成了如图所示的样子．如果小竹从左侧看这堆小冰块，他会看到A． B． C． D．4．（4分）点关于轴对称的点的坐标为A． B． C． D．5．（4分）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为A． B． C． D．16．（4分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽元，则可列方程为A． B． C． D．7．（4分）如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积是24，且点是的中点，则的值为A． B．16 C．8 D．8．（4分）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是A．1 B．2 C．3 D．49．（4分）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是A． B．4 C． D．310．（4分）如图，已知中，，，平分交于，是边上的点，且，，连结交于，连结，则面积是A．4 B． C． D．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：．12．（5分）一组数据1，2，5，，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为．13．（5分）若是方程组的解，则一次函数的图象不经过第象限．14．（5分）如图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连接，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为．15．（5分）如图，正方形和，，，连接，，在绕点旋转过程中，当最大时，．16．（5分）如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，已知，，且，设，，则关于的函数关系式是．三、解答题（本题有8小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）计算：；（2）解不等式组：．18．（8分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中的值为；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为；（3）若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为人；（4）若从校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．19．（8分）如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．（1）的周长为；（2）如图，点、分别是与竖格线和横格线的交点，画出点关于过点竖格线的对称点；（3）请在图中画出的角平分线．20．（10分）已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点在该二次函数上．①当时，求的值；②当时，的最小值为，求的取值范围．21．（8分）如图，为测量山高，一架无人机在山脚处）的正上方处），测得山顶处）的俯角为，若保持飞行高度不变继续行驶到达处，此时测得，两处的俯角为，．（1）求无人机的飞行高度；（2）求山高．22．（12分）今年以来，东钱湖旅游市场迎来复苏，接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩东钱湖景区的游客人数一月份为30万人次，三月份为43.2万人次．（1）求二月和三月这两个月中，东钱湖景区游客人数平均每月的增长率；（2）位于东钱湖的福泉山、陶公岛景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：方式1：只购买陶公岛景点，30元人；方式2：只购买福泉山景点，50元人；方式3：陶公岛和福泉山联票，76元人．预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万，为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买陶公岛门票的400人和原计划只购买福泉山门票的600人改为购买联票．①联票价格下降5元，请通过计算预测四月份的门票总收入；②请问：当联票价格下降多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？23．（12分）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是（填序号）；①矩形②菱形③正方形（2）如图，四边形内接于圆，为圆内一点，，且，求证：四边形为“婆氏四边形”；（3）在（2）的条件下，，且．①当时，求的长度；②当的长度最小时，请直接写出的值．24．（14分）等腰三角形中，且内接于圆，、为边上两点在、之间），分别延长、交圆于、两点（如图，记，．（1）求的大小（用，表示）；（2）连接，交于（如图．若，且．求证：；（3）在（2）的条件下，取中点，连接、（如图，若，①求证：，；②请直接写出的值．

2022年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）下列四个实数中，最大的数是A． B． C． D．4【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．【解答】解：，最大的数是4，故选：．【点评】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．2．（4分）2月4日的北京冬奥会开幕式精彩纷呈，展示了中国人民的文化自信．据估计有约5亿观众收看了北京冬奥会开幕式，在收视率方面超过了往届任何冬奥会．用科学记数法可以把5亿表示成A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．【解答】解：5亿．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．3．（4分）小竹将正方体小冰块摆成了如图所示的样子．如果小竹从左侧看这堆小冰块，他会看到A． B． C． D．【分析】根据左视图是从左面看到的图形进行判断即可．【解答】解：从左边看，共有两列，每列的小正方形的个数分别为2，故选：．【点评】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．4．（4分）点关于轴对称的点的坐标为A． B． C． D．【分析】根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为．故选：．【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5．（4分）从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为A． B． C． D．1【分析】由四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，再根据概率公式求解即可．【解答】解：四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为，故选：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意：概率所求情况数与总情况数之比．6．（4分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽元，则可列方程为A． B． C． D．【分析】设每个肉粽元，则每个素粽元，根据总价单价数量，结合购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设每个肉粽元，则每个素粽元，依题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．（4分）如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积是24，且点是的中点，则的值为A． B．16 C．8 D．【分析】先根据是的中点，表示出的面积，再利用的几何意义表示出和的面积，即可得出和的面积，易证，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出的值．【解答】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：是的中点，，根据的几何意义，，，，，，，是的中点，相似比为，面积的比为，即，，解得．故选：．【点评】本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键．8．（4分）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线开口向上，则，故正确；②由图象可知：抛物线与轴无交点，即△△，故错误；③由图象可知：抛物线过点，，即当时，，当时，，，即，，故错误；④点，在直线上，由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，的解集为，故正确；故选：．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．9．（4分）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是A． B．4 C． D．3【分析】由折叠的性质可得，，，，由“”可证，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求解．【解答】解：如图，延长交于点，过点作于，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，，，，，在和中，，，，，，，四边形是矩形，又，四边形是正方形，，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．（4分）如图，已知中，，，平分交于，是边上的点，且，，连结交于，连结，则面积是A．4 B． C． D．【分析】过点作于点，过点作，交于点，则，，列比例式，结合已知条件可求解，，再利用角平分线的定义可求解的长，根据当时，最大，即的面积最大，结合三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：过点作于点，过点作，交于点，，，，，，，，，，，，，如图，过点作于点，于点．平分，，，，，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，的面积的面积．故选：．【点评】本题主要考查角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，确定的位置是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：．【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：．故答案为：．【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．12．（5分）一组数据1，2，5，，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为4．【分析】先根据众数的概念得出的值，再将数据重新排列，从而根据中位数的概念可得答案．【解答】解：数据1，2，5，，3，6的众数为5，，则数据为1，2，3，5，5，6，这组数据的中位数为，故答案为：4．【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而错误，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．13．（5分）若是方程组的解，则一次函数的图象不经过第二象限．【分析】先解方程组，得出一次函数的解析式再判定图象不经过的象限．【解答】解：由方程组，解得，若是方程组的解，，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查了解二元一次方程组和、与直线的位置关系，熟练掌握解二元一次方程组和、与直线的位置关系是解决此题的关键．14．（5分）如图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连接，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为3或．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当与直线相切时；如图2中当与直线相切时．设切点为，连接，则，四边形是矩形；【解答】解：如图1中，当与直线相切时，设．在中，，，，，．如图2中当与直线相切时．设切点为，连接，则，四边形是矩形．，，，在中，．综上所述，的长为3或．【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．15．（5分）如图，正方形和，，，连接，，在绕点旋转过程中，当最大时，24．【分析】由题意可得点在以为圆心，6为半径的圆上，则当为此圆的切线时，最大，即，由“”可证，可得，即可求解．【解答】解：如图，作于，在绕点旋转过程中，点在以为圆心，6为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，即，，，，，在和中，，，，，故答案为：24．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．16．（5分）如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，已知，，且，设，，则关于的函数关系式是．【分析】延长与的延长线交于点，证明，由其相似比用表示，再证，便可得出结果．【解答】解：延长与的延长线交于点，如下图，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键在于构造相似三角形．三、解答题（本题有8小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）计算：；（2）解不等式组：．【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂及乘方运算，再相加；（2）解出每个不等式，再找公共解集即可．【解答】解：（1）原式；（2），由①得：，由②得：，，不等式组的解集是．【点评】本题考查实数计算及解一元一次不等式组，解题的关键是掌握零指数幂、负整数指数幂及乘方运算的法则，会求不等式的公共解集．18．（8分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有60人，条形统计图中的值为；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为；（3）若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为人；（4）若从校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他了解的人数，求出不了解的人数；（2）用乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；（3）用总人数1500乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有（人，不了解的人数有：（人，故答案为：60，10；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为；故答案为：；（3）根据题意得：（人，答：估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为850人；故答案为：850；（4）由题意列树状图：由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．19．（8分）如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．（1）的周长为；（2）如图，点、分别是与竖格线和横格线的交点，画出点关于过点竖格线的对称点；（3）请在图中画出的角平分线．【分析】（1）利用勾股定理求出，，可得结论；（2）根据对称性作出图形即可；（3）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．【解答】解：（1）由题意，，，的周长，故答案为：；（2）如图，点即为所求；（3）如图，线段即为所求．【点评】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．20．（10分）已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点在该二次函数上．①当时，求的值；②当时，的最小值为，求的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）①把代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为，所以，即．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为，把点代入得，解得，，该二次函数的解析式为；（2）①当时，则，解得，；故的值为1或5；②，当时，函数有最小值，当时，即时，有最小值，故的取值范围是．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．（8分）如图，为测量山高，一架无人机在山脚处）的正上方处），测得山顶处）的俯角为，若保持飞行高度不变继续行驶到达处，此时测得，两处的俯角为，．（1）求无人机的飞行高度；（2）求山高．【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）延长，，交于点，根据题意可得，，设，然后分别在和中，表示出，的长，列出关于的方程进行计算即可求出，从而求出．【解答】解：（1）在中，，，，无人机的飞行高度为；（2）延长，，交于点，则，，设，在中，，，在中，，，，，，，，山高为．【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．22．（12分）今年以来，东钱湖旅游市场迎来复苏，接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩东钱湖景区的游客人数一月份为30万人次，三月份为43.2万人次．（1）求二月和三月这两个月中，东钱湖景区游客人数平均每月的增长率；（2）位于东钱湖的福泉山、陶公岛景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：方式1：只购买陶公岛景点，30元人；方式2：只购买福泉山景点，50元人；方式3：陶公岛和福泉山联票，76元人．预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万，为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买陶公岛门票的400人和原计划只购买福泉山门票的600人改为购买联票．①联票价格下降5元，请通过计算预测四月份的门票总收入；②请问：当联票价格下降多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？【分析】（1）设每月的增长率为，，解方程可得答案；（2）①分别计算出三种方式的收入，相加即可；②按①的思路，设联票价格下降元，四月份的门票总收入为万元，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）设每月的增长率为，由题意得，，解得，（舍去），答：每月的增长率为；（2）①当联票价格下降5元，方式1的收入为（万元），方式2的收入为（万元），方式3的收入为（万元），所以四月份的门票总收入为（万元）；②设联票价格下降元，四月份的门票总收入为万元，由题意得，．，当时，最大为200.4，答：当联票价格下降12元时，四月份的门票总收入最大，最大值是200.4万元．【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据等量关系列方程并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．23．（12分）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是③（填序号）；①矩形②菱形③正方形（2）如图，四边形内接于圆，为圆内一点，，且，求证：四边形为“婆氏四边形”；（3）在（2）的条件下，，且．①当时，求的长度；②当的长度最小时，请直接写出的值．【分析】（1）利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“婆氏四边形”的定义和正方形的判定定理解得即可；（2）连接，交于点，交