【清华大学】机械振动

第二篇机械振动与机械波第二篇第六章第六章vibrationmechanicalchapter6第六章机械振动本章内容本章内容Contentschapter6简谐运动的描述简谐运动的动力学特征简谐运动的合成第一节describitionofsimpleharmonicmotion简谐运动的描述6-1ss机械振动机械振动：物体在它的平衡位置附近作往复运动条件：回复力始终指向平衡位置物体具有惯性机械振动与简谐运动例如：用轻弹簧连接小球钢时，小球的振动；各种声源的振动；单摆的摆动等等。动画一个复杂的振动，可以由一些简单形式的振动来合成动画用图掌握简单形式振动的基本规律，是研究复杂振动的基础打印图一个复杂的振动，可以由一些简单形式的振动来合成掌握简单形式振动的运动学和动力学规律，是研究复杂振动的重要基础打印用图简谐运动简谐运动：最简单的调和振动形式又称简谐振动或谐振动,是分析和研究其它振动形式的基础简谐运动的运动学规律可以用调和函数来描述。在数学上，sincos或称为调和函数在物理上，是弹簧振子（又称谐振子）:简谐运动最典型的物理模型弹簧振子xOOkm一、简谐运动的运动学方程1.弹簧振子及其运动分析弹簧m忽略质量振子(小球)惯性质量弹簧振子k(劲度)水平面光滑轴原点O振子平衡点(弹簧无形变位置)x振子在轴上点两侧往复运动xOv0AxAxx0vvv0xxxxxAA((B((A((C((D((E2.弹簧振子的运动方程小球相对平衡点的位移随时间按xOtsincos或函数规律变化((A((E示意一周期,弹簧振子的运动方程习惯上用函数表示为:cosxcos()wtOj+AAwOj振幅取决于弹簧振子的物理性质取决于振子的初始运动状态xx00o动画OxAA某一时刻，振子所处的状态，必须用振子的位置坐标运动方向同时描述缺一不可例OxAA例如A2A2状态在距平衡点正侧处朝轴反方向运动A2x描述x=v0A2状态在距平衡点负侧处朝轴正方向运动A2x描述x=-v0A2运动方程二、简谐运动的速度和加速度简谐运动的运动方程xcos()wtOj+A由可得简谐运动的速度vdtdxsin(wt+)wAOjwA:速度振幅a简谐运动的加速度dtdvcos()wt+2wAOj2wA:加速度振幅0AAv最大a0a最大v0a最大v0xxAxA2wx加速度始终与相对平衡点的位移成正比但方向相反。此结论通常于判别物体是否作简谐运动的依据之一。特征参量三、描述简谐运动的特征量xcos()wtOj+A三个特征量:振幅角频率(圆频率)初相的物理意义振幅A物体相对于平衡点位移最大值的绝对值角频率wcos()wtOj+中wtOj的单位都应是角度或弧度和振子往复运动一次所需时间为一个周期T余弦函数的一个周期为2p,即wT2pw2pT或设振子单位时间振动的次数称为频率为n,则n1Tw2p得w2pn角频率即在秒内振动的次数或w2pT一秒钟内变化多少弧度2prads1((1.2.振幅、角频率振子质量越大(越笨)则振动频率越低,弹簧劲度系数越大(弹性恢复力度强)则频率越高.mkkm弹簧振子的角频率,也取决于其自身的物理因素w其周期nT2pwkm2p频率w2pkm2p1xcos()wtOj+Acos()tOj+A2pncos()tOj+A2pT简谐运动可使用w、nT或参量表达三、描述简谐运动的特征量xcos()wtOj+A三个特征量:振幅角频率(圆频率)初相的物理意义振幅A物体相对于平衡点位移最大值的绝对值1.2.角频率wcos()wtOj+中wtOj的单位都应是角度或弧度和众所周知,单摆的周期T2plgl摆长越长则频率越低,当地重力加速度越大频率越高g或频率n2plg1初相三、描述简谐运动的特征量xcos()wtOj+A三个特征量:振幅角频率(圆频率)初相的物理意义振幅A物体相对于平衡点位移最大值的绝对值1.2.角频率wcos()wtOj+中wtOj的单位都应是角度或弧度和km弹簧振子的角频率,也取决于其自身的物理因素wxcos()wtOj+Acos()tOj+A2pncos()tOj+A2pT初相Oj描述开始观测时()振子t0的物理量.运动状态3.0xv0x00xv0x00xv0x00xv0x000000000相位1.相位xcos()wtOj+AOj初相已述时的相位t0即相位t是决定简谐运动物体某时刻的运动状态的物理量j或Ft某时刻简谐运动物体的运动状态:xcos()wtOj+Avsin(wt+)wAOj0x0v0v+2p对应vsinwA0状态2p2p对应vsinwA0状态2p)(0xcos()wtOj+0()wtOj+,,+2p例如某时刻振子通过原点t四、相位相位差四、相位1.相位xxcos()wtOj+AOj初相已述时的相位t0即相位t是决定简谐运动物体某时刻的运动状态的物理量j或F2.相位差AAxx1xx2coscos1(wt)Oj+12(wt+)Oj2其相位差rj(wt+)Oj2(wt)+Oj1Oj2Oj1取决于初相差rj0或整数倍2pxx2与xx1同相rj或的奇数倍ppxx2与xx1反相若用rj0p作相对比较rj0xx2超前xx1称rj的相位rj0xx2超前xx1称rj的相位w相同的两个简谐运动之间,相位的相对差异在同一时刻t计算方法五、振幅和初相的决定由初始条件求振幅vx00AOj和初相t0+v0w(2(x022A2sinOj2cosOj2AA2x02+v0w22Oj消去sinwAOjOjcosAvx00得Ax02+v0w22sinwAOjOjcosAvx00A若消去得Ojtanv0x0wv0x0wsinOjOjcosOjtanv0x0warc求还有别的方法Oj振动曲线六、振动曲线xcos()wtOj+Avsin(wt+)wAOjacos()wt+2wAOj2wx画出Oj0最简单情况下的振动曲线xcoswtAacoswt2wA2wxvsinwtwAsina(+cosap2(cosa(+cosap(三角函数性质tttvaOOO2wwAAxAOj0TTT234TT4a超前或落后xp相位比a与x反相,jxjvp2超前x相位比vp2((因例问AAoxt=0初相位Oj=?经过一周期又回到原状态此时的相位j?32p32p+2p72pxcos()wtOj+A初相位相位oxt=0Oj=0AAj例振动方程xcos()wtOj+A2pwn2pTTw2p3p2p6svdtdxsin(wt+)wAOj3p×0.2×sin3p(×23p)0.181ms12秒时((x=0.2cos3pt3p已知T？v？求

旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.旋转矢量七、旋转矢量表示法OOAAXXOM(0)A初相wOjOj矢量端点在X轴上的投影对应振子的位置坐标M(

t

)twM(

t

)twtwM(

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)Tw周期

TxOM(0)初相M(

t

)twAwOjOjOjt时刻的振动相位(wt﹢

)F旋转矢量A以匀角速w逆时针转动Ojx=A

cos(wt﹢

)简谐运动方程OO循环往复位移-时间曲线旋转矢量表示法的优点:直观,方便.可快捷准确地判断初相,相位差和合相位.旋转矢量图与曲线xxtwxot0tx12345678o12345678wtOjxxcos()wtOj+AA例2xxAOOj3pAOA2xx4Oj5pOOx0tAAOOjpAxxxxOAA2Ojp3OOx0tAAOOx0tAAOOx0tAA例xcos()wtOj+Avdtdxsin(wt+)wAOjadtdv2wAcos()wt+Oj简谐运动方程已知0.05x0v00m求amax1.58ms2,2nHz,xcos()t+0.14p3p2amax2wAAamax2w1581.580.1m,2pnradw4ps1解法提要20At0xOj3p2例垂直弹簧振子的平衡位置，是静止时振子所在位置。m取向下为正方向，平衡位置为原点。其振动方程为xcos()wtOj+AkxO0t平衡位置mAAs已知0.24mAT4.00t时v00x00.12m,运动学方程求1((2((由x0.12m运动到x0.12m所需的最短时间0t0x2A+Oj3p1解法提要0.24mA1((wp2Tp2Oj3pxcos()t+0.242p3p2((0t0x2A+2At6Tt6Tmin6432s例看初始条件画旋转矢量图已知xAw试画出旋转矢量图,,t02x0A时沿正向运动02At0xAwOj3p21例看旋转矢量图写方程0t0xAw4pttpt+4p已知Acm2由图可判断wprads1j04pcos()x+t4p0.02pm例xt0ox43pj0t0aawbbccdd已知cos()x+tAw43p试画出图线xt看方程画图线xt例ot(s)x(cm)121128T1sT32swp2T34p得xcos()t+232p34pcmxow3j2pt00看图线写方程xt例xxovoxo已知ao，求简谐运动动方程0.4m10rad/swaovo3A2aow2aovow3联立解得运动方程xcos()t0.432p10mA2xo，vom/s23aom/s202，解法提要woxA2t032pj34po或aow2xow2A23voAw2wsinjAo例xxo已知ATs24cmxo2cmt0时求第二次通过的时刻tx2cm234s3Ttt3p4Tp2得xxA2第一次第二次t0ttwwt3p4Tp2rqt例xxoxo已知mAn0.25Hz24cm12cmt23svAsinw(wtj+)a2wx0.29m/s20.326m/s3((w2pn2prad/s运动方程：x0.24mcos()t3p2p解法提要1((求av，到达时的2A1((3((运动方程mint2Axo2((所需2((A2A2tmin3pw3p2p23stmin3pwt03pwoxA2jottminA2第二节简谐运动的动力学特征6-2sssimpleharmonicmotionkineticcharacteristicof动力学方程一、简谐运动的动力学方程一、简谐运动的动力学方程FFmam2ddt2xkx简谐运动的动力学方程因aw2x则mw2xkx得wmkxxddt22+x0w2xxcosA()wtj+0这一微分方程通解的三角函数形式为简谐运动的动力学微分方程准弹性力二、准弹性力自身不是弹性力,但在某种场合中却起着弹性力作用的力,称为准弹性力。AAmgmgftTft例如单摆分子振动浮动振动能量三、简谐运动的能量振动系统：如水平弹簧振子km振子质量弹簧劲度wmk振动角频率E+EkEp12mw2A212kA2机械能系统的（以x=0处为零势点）12Ekmv212msinw()wt+22212212()wt+22Epkxxkcos系统的动能势能系统的AOjAOjxxcos()wt+vsinw()wt+OjAAOj简谐运动方程振子运动速度特点EkEp均随时间而变且能量相互转换EkEpEpEk变到最大时变到最大时变为零变为零E系统的机械能守恒。E8w2A2及EkEpEEk+Ep0tEtxx0AA系统的122kxx12mv2Ep势能Ek动能E+EkEp机械能12mw22A12k2A12msinw()wt+222AOj12()wt+22kcosAOjxxcos()wtOj+A简谐运动方程能量表达式例E+EkEp12mw2A212kA2机械能系统的若,m4mA2AEE则wmk注意到124m22A（（k4m（（EE41224mAw2E12k22A（（4E方法一：方法二：例E+EkEp12kA2机械能系统的Ep12k2xxA2若E则,Ek14EkEEpEE12k2A2))E34ExEkEpE+0AEp122kxxA2A2AEkEp能量例Ep12k2xE212k2A2得22A+xxEkEpE+12E0A22AEp122kxxA22AEpEk能量E+EkEp12kA2机械能系统的Ep12k2xxA若则EkEp例时22A+x已知EkEpT对应于一个振动周期中的哪些时刻?xO22A22AAAAATt18Tt38Tt58Tt78w第三节第三节简谐运动的合成6-3ssCompositionofsimpleharmonicmotion

xx12,wj102j0j0Dtxx12,同相ootxx12反相xxj102j0jD2j0j10wwoop12xx12wj102j0txx超前oj102j0o21t2t12xx12wtxx超前oj201j0j102j0o21t2t1211一、两个同频率振动的相位差xx1cosA1cosA2xx2()wt+j10()wt+2j0w相同j102j0jD()wt+j10()wt+2j0jDp在范围内比较超前或落后在旋转矢量图中可直接比较初相.在曲线中,谁先达到某一特征值(如零,极值)者谁超前.xxt振动合成同向同频合成1Aj1w0xx22yxx1y1yxxOxA2w2j200jwAjj00wxx1cos()wt+A1cos()wt+A2xx2j102j0同在轴x且相同xx1xx2xx+合成振动用旋转矢量法可求得合成振动方程xxcos()wtj+A0)AA12+A222A1A2cos(+j102j0arctanA1cossin+A2sinA1+A2cos2j02j0j10j1012arctanyxarctany+yx1+x2j0简谐运动的合成同频率同方向二、两个A合成初相与计时起始时刻有关分振动初相差与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用jj102j00合成振幅xx1cos()wt+A1cos()wt+A2xx2合振动分振动；xxAcos()wt+j其中，合振幅AA12+A222A1+j102j00cos)(A22j0j10若2p+k0()21,k,,...AA12+A222A1A2++A2为合振幅可能达到的最大值A1若A1A2则AA12,2j0j10则cos()12j0j10若0()21,k,,...则cos()1AA12+A222A1A2值为合振幅可能达到的最小若A1A2则A2p+k(+1)A2A10,2j0j102j0j10若为其它值，则处于AA2A1A2A1+与之间2j0j10例已知A则合振幅相位差Dj合振动方程xx4p94pxxxowxx1cos()t+5p4pcmcos()t+xx25p4p9cmDj4p94p2p0A5cm+510xx10cos()t+p4p例3已知xx1cos()t+2p4pcmcmsin()t+xx23pj则j时，合振幅最大。j时，合振幅最小。AAsin()t+xx23pj(t+3pcos)j2p)j2p)34pxk2p时，合振幅最大。j得xk2p34p+2p+xk2p54p+)j2p)34p时，合振幅最小。xk2p+1))j得34p+2p+54p+xk2p+1))xk2p+1))例wxxxo3p3p2AA1A2已知xx1cos()+0.43pcos()xx23p2mtp20.3mtp2A则合振动的振幅j合振动方程xx初相0Dj3p2p2()3p3p43ppA0.40.30.1mj03pxx0.1cos(tp2+3p)m同向异频合成简谐运动的合成不同频率同方向三、两个此合振动不是简谐振动，一般比较复杂，只介绍一种常见现象：为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。xx1Acoswt1coswt2Axx22pnAcost12pnAcost2+合振动xx1xx2xx+2pnAcost12pnAcost2A2t2pcosn1+n222pcosn1n22tn1n22+n1n22频率为的简谐运动频率为的简谐运动tttn1385Hzn2383Hz听到的音频n384Hz强度节拍性变化n2Hz若n2n1与相差不大，n1n2n1+n2xxA2t2pcosn1+n222pcos2n1n2t可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相对较高的简谐振动n1+n221秒tA2ttAA9Hzn1n28Hz合振动振幅（包络线）变化的频率称为两分振动的频率nn1n21Hz“

拍频

”合振动频率n8.5Hz()()()()例如：合成图线同频垂直同频率简谐运动的合成四、两个相互垂直p31j02j0cos()wt+A2yy设p3012345678910112j02j0A2A1012357891011xxy64xx01234567891011设0xxcos(wt+A1)1j01j0合成图例A1YA2XOA1A2XOY2jj102j0j102jj1p直线直线两个同频率相互垂直简谐运动合成图线举例：A1A2XOYXOYA2A1正椭圆正椭圆2jj1p22jp2j10p232jj102jj1pp23或21A1YA2XOA1A2XOY2jj1p32jj1p23斜椭圆斜椭圆2jp3j102jp32j102jpj10000000000000000000000000垂直异频合成w1w2211332p2pp234p4p5例如0j2j10xxcos()t+A1cos()t+A2yw2w1其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。但当为两个简单的整数之比时w2w1可以得到稳定轨迹图形，称为李萨如图形不同频率简谐运动的合成五、两个相互垂直0j2j10完第六章完选讲选讲例1解法提要2p0.1T1((ws先求2((x0AcosOjcosOjx0A0.0120.0222Oj,+Oj4psinwAOjv0用判断Oj4p0v0,舍去Oj,取4p4xcos()wtOj+A0.02cos(20ptp)v00沿X轴正向运动依题意,,3((st0.025x0.02cos(p)p420.014mvwAsin(wt+)Oj20p0.02sinp40.89ms1a2wx220p)(0.01456ms2例弹簧振子沿X轴振动已知A0.02mws1rad20px00.012m0沿X轴正向运动t求周期1((T2((简谐运动表达式3((st0.025时质点的vx,,a4((从x0.012m处沿X轴负向运动,第一次回到平衡点所需的时间23((st0.025xx0.02cos(p)p420.014mvwAsin(wt+)Oj0.89ms1a2wx220p)(0.01456ms24((从xx10.012m第一次回到xx02因这是变加速运动,用线量求解不够方便.然而w是常量,可通过rtwrjj2j1求xx0xx1xx020.012mr？tv10v20例弹簧振子沿X轴振动已知A0.02mws1rad20pxx00.012m0沿X轴正向运动t求周期1((T2((简谐运动表达式3((st0.025时质点的vxx,,a4((从xx0.012m处沿X轴负向运动,第一次回到平衡点所需的时间Oj4pxxcos()wtOj+A0.02cos(20ptp)4解法提要2p0.1T1((ws2((33((st0.025xx0.02cos(p)p420.014mvwAsin(wt+)Oj0.89ms1a2wx220p)(0.01456ms24((从xx10.012m第一次回到xx02因这是变加速运动,用线量求解不够方便.然而w是常量,可通过rtwrjj2j1求xx0xx1xx020.012mr？tv10v20例弹簧振子沿X轴振动已知A0.02mws1rad20pxx00.012m0沿X轴正向运动t求周期1((T2((简谐运动表达式3((st0.025时质点的vxx,,a4((从xx0.012m处沿X轴负向运动,第一次回到平衡点所需的时间Oj4pxxcos()wtOj+A0.02cos(20ptp)4解法提要2p0.1T1((ws2((4例弹簧振子沿X轴振动已知A0.02mws1rad20pxx00.012m0沿X轴正向运动t求周期1((T2((简谐运动表达式3((st0.025时质点的vxx,,a4((从xx0.012m处沿X轴负向运动,第一次回到平衡点所需的时间3((st0.025xx0.02cos(p)p420.014mvwAsin(wt+)Oj0.89ms1a2wx220p)(0.01456ms24((xx0xx1xx020.012mr？tv10v20Oj4pxxcos()wtOj+A0.02cos(20ptp)4解法提要1((2p0.1Tws2((xx1cos0.02j10.012题意0v1sinwAj12cosj12j134p+应取j134p+0v2sinwAj2xx2cos0.02j2cosj2j12p+00应取j22p2p3题意rjj2j134prtrjw34p20p0.038s((((则得5例物体沿X轴作简谐运动已知A1.5cmws1rad100txx0沿X轴负向运动0.75cm求1((2((初速v0初相Oj解法提要1((Axx02+v0w22由得v0wAxx022由于题设0t时v0物体沿X负向运动,即0要将上式改写为v0wAxx022101.520.7527.53s1cm也可用xx00.75Ojcos1.5Ojp3p35或0.75Ojcos1.50.5sinwAOjv0因0应取p3Oj02((Ojtanv0xx0w由7.53100.753因OjcosAxx00应取p3OjOjp3p35或v06例例已知xOOkmkgN1.6kmm0.4简谐运动方程求下述两种情况下的1((2((从平衡位置右移到xx0.1m处释放;从平衡位置右移到xx0.1m处后给物体以向左速度v0.2ms解法提要1((s1rad2wkm1.60.4Axx02+v0w22v00xx00.1m由OjcosAxx00Ojcosxx0A0.10.11Oj,xxcos()wtOj+A0.1mcos2t2((xx0v00t,0.1m,0.2msAxx02+v0w220.1m2+0.22220.12由OjcosAxx0Ojcosxx0A0.10.1222题意要求0v0sinwAOj,+p4Oj应取4pOjxxcos()wtOj+A0.1mcos2t(+4p)27初相求1((2((3((Oj角频率w简谐运动方程解法提要1((A2cmOjcosAxx00t1cmOjcosAxx0由,Ojcos12sinwAOjv0Ojp3+图示此时质点向X负向运动0应取3p+Oj02((由图示可判断t2s从到占128T32T32T即2sT周期3s,得w2pT2p3s1rad3((xxcos()wtOj+A0.02mcos(2p3t+3p)例已知stxocm2128解法提要例两个弹簧振子的振动周期相等T0.4s振子1:从平衡位置开始向负方向运动振子2:在1开始0.2秒后,从向正方向的端点开始运动求两个振子的相位差此时振子1的相位j1wT2+Oj1p23振子2开始运动时的相位j2Oj2相位差j1j2p23Oj1p2xO振子1开始的位置A1振子1开始0.2秒=T/2后的位置wT2pA振子2开始的位置Oj209ywycos()wt+Ayo?t0t6j5pOo6j5p10关键仍然是先求出运动方程w2pn2prad/s运动方程x0.24mcos()t3p2pt03pwoxA2joxxoxo已知mAn10g0.25Hz24cm12cm求xFt0.5sav，mint2Axo到时2A11t0.5sx0.24cos(m)3p2p0.50.06振动方程x0.24mcos()t3p2pmaFmw2x1.48103N沿轴正向xxA2A2tmin3pwtmin3p2p23st23svAsinw(wtj+)a2wx0.29m/s20.326m/sxxoxo已知mAn10g0.25Hz24cm12cm求xFt0.5sav，mint2Axo到时2A12例已知弹簧振子x0

=0t=0时v0=0.4m·s-1m=5×10-3

kgk=2×10-4

N·m

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完成下述简谐运动方程cos()x+tcos()x+t20.2p23(SI)wmk0.2(rad·s–1)A+x02v02w22(m)解法提要v00x0

=0,已知OXwM(0(p23相应的旋转矢量图为v00Oj13静止释放例垂直悬挂弹簧,系一质量为的小球时伸长量为mC。手托振子到弹簧原长位置,静止释放。以平衡位置为坐标原点,列小球运动到x任意坐标时的动力学方程平衡位置力平衡解法提要C0mgkkmgC得这是简谐运动的微分方程标准形式FC+x((mgkm2ddt2xkmgC将代入整理得m2ddt2xgCxm即x2ddt2x+0gCxxO0t其通解为xxcosA()wt+j0wmkgC由初始条件0txx0C,v0,0其中ACj0可判定,p得运动方程xxcos()Ct+gCp平衡位置Cm证明小球作简谐运动,并写出运动方程动力方程一、简谐运动的动力学方程kxOOFFmFF正X向反X向xxxx00FFkx物体在任一位置受的弹性力平衡位置FFmakxm2ddt2x简谐运动的动力学方程特征:物体在与其对平衡位置的位移成反比而反向的合外力作用下,其运动为简谐运动。上述连等式的含义:1kxm2ddt2x2简谐运动的动力学微分方程表达式为FFmaFFkx是统一的;与微分形式例如,前面讲过,弹簧振子的角频率取决于其自身的物理性质,wmkkxm2ddt2x简谐运动的动力学微分方程可写成kxm2ddt2xxxcosA()wtj+0xxddt22+x0w2即2ddt2xkxm+0亦即用高等数学可以证明(略)这一微分方程通解的三角函数形式为这就是大家已经知道的简谐运动的运动学方程。准弹力二、准弹性力单摆的微小振动自身不是弹性力,但在某种场合中却起着弹性力作用的力,称为准弹性力。AAOOLmgmgq0q0ftqTqft重力在摆球运动弧线的切向分力起着回复力的作用ftq5,~sinq~q(rad)有mgsinqftmgqft1((对切向应用牛顿第二定律ftmatmLbmL2ddt2q2((1((2((联立得2ddt2qLgq+0这是一个以角量表达的简谐振动微分方程,其通解为qq0cos()wtOj+q0Oj摆幅角和初相由初始条件确定,wLg角频率周期2pTw2pLg14求1((2((3((4((周期总能EkEp时的x值xA2时的EkEp比值ET例弹簧振子已知m0.1kgA0.01mmax0.04m/sa2解法提要1((a2wxamax2wA,wamaxA2srad2pT3.14wps2((E12mw22A12k2A2105J3((Ep12k2xE212k2A2得22A+x+7.07103mxEkEpE+12E0A22A能量Ep122kxxA22AEpEk4((xEkEpE+0A能量Ep122kxxA2A2AEkEpxA2Ep12k2x18k2AEpEkE12k2A18k2A38k2A得EkEp315求合振动方程例已知两振动周期相同T8s振幅相等2A0.02m相位差Dj4p其中一个初相为零1A)AA12+A222A1A2cos(+j102j02+2cos4p0.020.037m1A2AAxoOj1设0Oj24pOj解法提要w2pT4ps1radOjarctanA1cossin+A2sinA1+A2cos2j02j0j10j10arctansin0+sin4pcos0+cos4p8pradxcos()wtOj+A0.037cos(4pt+8p)m16解法提要直接判断T2spw2pTs1rad1A2Am0.080.04m应用旋转矢量图判断初相Oj12p亦即2p3Oj22pDjpA1A2A0.04mOjOj12pxcos()wtOj+A0.04cos(pt4p)mxx0mts0.080.041x2x12例求下图所示两振动1x2x的合振动方程,xx01A2AAOj2Oj117例已知1A6pxcos()wt+1xcos()wt+21A36p4求合振动的A1((振幅Oj2((初相3((运动方程解法提要应用旋转矢量图判断xoOj1Oj2A1A1A3Oj6p