函数的极值与最值（第二课时）高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

单调性与导数的关系：设函数y=f

(x)在区间(a,b)内的导数为f′(x).如果f′(x)>0，如果f′(x)<0，如果f′(x)=0，如果f(x)在(a,b)内为增函数，如果f(x)在(a,b)内为减函数，则f(x)在(a,b)内为单调递增；则f(x)在(a,b)内为单调递减.则f(x)在(a,b)内为常数函数；则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立；则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立.

苏轼在《题西林壁》中这样写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的就是江西庐山的高低起伏，错落有致。在数学上，这种现象如何来刻画呢？在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点函数的极大（小）值如图观察，函数y=f

(x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f

(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y=f

(x)的导数的符号有什么规律？xyOabcde如图观察，函数y=f

(x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f

(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y=f

(x)的导数的符号有什么规律？xyOabcde我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，

f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点，

f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极值点与极值的定义：极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum).极值点x0为极大值点x0为极小值点极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值条件f'(x0)=0x0附近左侧f'(x0)>0x0附近右侧f'(x0)<0x0附近左侧f'(x0)<0x0附近右侧f'(x0)>0x0附近f(x)<f(x0)x0附近f(x)>f(x0)图像极值点左右两侧的导数值异号极值定义的理解问题3：一个函数的极小值一定小于极大值吗？问题1：一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？上问题4：极值点可能是区间端点吗？不一定不一定不可能问题2：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？上述图,不一定极值反映了函数在某点附近的大小，刻画了函数的局部性质.问题5：若f'(x0)=0，则x0一定是极值点吗？不一定练习1：下图是函数y=f(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6练习2.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6例1.解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)xyO-22

如何判断f

(x0)是极大值或是极小值？f

(x)<0yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0x2

xx0左侧

x0x0右侧f′(x)

f(x)

xx0左侧

x0x0右侧f′(x)

f(x)增f′(x)>0f′(x)=0f′(x)<0极大值减f′(x)<0f′(x)=0增减极小值f′(x)>0左正右负为极大，左负右正为极小xf'(x)f(x