排列组合习题课（2）课件高二下学期数学人教A版选择性

排列、组合习题课（2）分组、分配问题例6

数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有

（

）

√方法一首先将12名同学平均分成四组，有

种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有

种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有(种).

方法二根据题意可知，第一组分3名同学有

种分法，第二组分3名同学有

种分法，第三组分3名同学有

种分法，第四组分3名同学有

种分法.第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法.根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有

种.

（2）将5个不同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子至少一个，有不同的放法有

种.答案：150

例7.将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，有多少种不同的方法？解：将7个相同的小球排成一排，插入3块隔板，故共有种不同的方法.=20名额分配问题变式1.某区对口支援贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调５名教师，每所学校至少抽调１人到山区５所学校支援，每校一人，则有

种支教方案.解：由题意得，所有支教方案有：=720种.720变2.方程x1+x2+x3+x4=12的正整数解的组数是多少？解：建立组合模型：将12个完全相同的球排成一行，在它们之间形成了11个空隙中任选三个插入3块隔板，把球分成四组(如图)，每一种分法所得球的数目依次为

x1，x2，x3，x4，且

x1+x2+x3+x4=12，所以球的分法对应于方程的解.故方程x1+x2+x3+x4=12的正整数解的组数是组.=165变3：思考：若上题改为方程的非负整数解，答案是多少？变式3.方程x1+x2+x3+x4=12的自然数解的组数是多少？解：

x1+x2+x3+x4=12，故方程x1+x2+x3+x4=12的自然数解的组数，即为y1+y2+y3+y4=16的正整数的组数

x1+1+x2+1+x3+1+x4+1=16，令y1=x1+1，y2=x2+1,

y3=x3+1,y4=x4+1,则y1+y2+y3+y4=16，变4.把9个相同的小球放入编号为1、2、3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，有多少种不同放法？123解：先在编号为1，2，3的箱子中依次放入0，1，2个球，变4.把9个相同的小球放入编号为1、2、3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，有多少种不同放法？解：先在编号为1，2，3的箱子中依次放入0，1，2个球，再将剩余的6个球排成一排，在其两两之间的5个空挡中任取2个放上隔板，把剩下的6个球分成了3组，如图.按从左到右的顺序放到1，2，3号箱子，将这3组球，故共有种不同放法.=10123一、分组、分配问题的求解策略小结二.解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题要先选后排.(4)相邻问题捆绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(