2021-2022学年福建省三明市四地四校高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年福建省三明市四地四校高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．已知复数满足则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据共轭复数的定义得到，再根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以；故选：B2．已知平面向量，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由可得，解出即可【详解】解：因为，且，所以，得故选：A.3．中，角A、B、C所对的边为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为已知三角形的三边长，所以利用余弦定理可求出角B的值.【详解】解：因为，所以由余弦定理得，，因为，所以，故选：C.4．如图，扇形中，，，将扇形绕所在直线旋转一周所得几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，旋转体为一个半球，利用球的表面积公式和圆的面积公式，求解即可【详解】由题意，将扇形绕所在直线旋转一周所得几何体为一个以为半径的半球表面积故选：D5．如图，在平行四边形中，顶点，，在复平面内分别表示0，，，则点对应的复数为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平行四边形法则，求得，利用复数的运算法则求得结果.【详解】，所以对应的复数为，即点对应的复数为，故选：A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数在复平面内对应点的坐标的求解，属于基础题目.6．已知是不同的平面，是两条不重合的直线，下列说法正确的是（

）A．若则 B．若，则C．若则 D．若，则【答案】D【分析】根据条件作出图示可判断A，由题可得可能可判断B，由线面平行及面面的位置关系可判断C，利用面面垂直的性质及判定定理可判断D.【详解】如图显然与平面不垂直，故A错误；若，则可能，故B错误；若则平面与平面可能相交，如图，故C错误；若，在平面内作平面与平面的交线的垂线，则，由，可得，进而可得，故D正确.故选：D.7．已知为的外心，若AB=1，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设的中点为，连接，则，利用向量的线性运算可得，再根据向量的数量积运算求解即可.【详解】因为点为的外心，设的中点为，连接，则，如图所以.故选：B.8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=csinB，则tanA的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理得，可得，进而，利用基本不等式可得，化简可得，则可求出最值.【详解】在中，由及正弦定理得：.，即，两边除以可得，，即，当且仅当等号成立，则，则当时，取得最大值为.故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的应用，解题的关键是利用已知条件得出，利用基本不等式求出.二、多选题9．下列有关复数的叙述正确的是（

）A．若，则 B．若，则的虚部为C．若，则不可能为纯虚数． D．若，则

．【答案】ACD【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项．【详解】，所以，A正确；，虚部是，B错误；，若，则是实数，若，则是虚数，不是纯虚数，C正确；，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确．故选：ACD．10．设非零向量，则下列说法正确的是（

）A．若，则与垂直的单位向量B．若，则在上的投影向量为C．若，则D．若，且，则与的夹角为【答案】BC【分析】根据单位向量的概念、向量投影的定义，向量模的坐标表示，由数量积的定义求向量夹角分别判断各选项．【详解】与垂直的单位向量有两个，它们是相反向量，A错；，又，所以在上的投影向量为，B正确；若，则，所以，C正确；若，且，则，所以，D错．故选：BC．11．中，角A、B、C所对的边为，下列叙述正确的是（

）A．若，则．B．若，则有两个解.C．若，则是等腰三角形.D．若，则．【答案】AB【分析】由正弦定理进行边角转化判断A，由正弦定理求出，再根据大小关系确定角的解判断B，正弦定理化边为角，进行三角恒等变换后判断C，利用余弦定理变形后得出角范围判断D．【详解】中，由正弦定理，A正确；若，由得，又，所以，因此角可以为锐角也可以为钝角，有两解，B正确；若，则，，或，即或，是等腰三角形或直角三角形，C错误；若，则，整理得，，所以，D错误．故选：AB．12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1═AB═2．下列说法正确的是（

）A．四棱锥为“阳马”、四面体为“鳖膈”．B．若平面与平面的交线为，且与的中点分别为M、N，则直线、、相交于一点．C．四棱锥体积的最大值为．D．若是线段上一动点，则与所成角的最大值为．【答案】ABD【分析】由堑堵、阳马、鳖膈的定义判断A，由平面的基本性质判断B，由棱柱与棱锥的体积公式判断C，由线面垂直的的性质定理，结合异面直线所成角的定义判断D．【详解】堑堵ABC−A1B1C1是直棱柱，平面平面，平面平面，由得，平面，所以平面，四棱锥为“阳马”，同理平面，平面，则，与垂直易得，四面体为“鳖膈”，A正确；与的中点分别为M、N，则，所以共面，又，所以相交，设，则，而平面，平面，所以是平面与平面的一个公共点，必在其交线上，B正确；，当且仅当时，等号成立，所以，即四棱锥体积的最大值为，C错；由A选项推理知平面，平面，则，当时，，平面，所以平面，又平面，所以，此时与所成角为，是最大值．D正确．故选：ABD．三、填空题13．化简：=______．【答案】【分析】由向量的加减法法则计算．【详解】．故答案为：．14．中，角A、B、C所对的边为，若，，，则的面积为_____．【答案】【分析】利用余弦定理求得边c，再利用三角形的面积公式即可得出答案.【详解】因为，，，则，即，解得或（舍去），所以.故答案为：.15．如图所示，表示水平放置的的直观图，，点在轴上，且，则△AOB的边__________．【答案】3【分析】在直观图中，作轴，交轴于，求出，根据斜二测画法作出原图形中点位置，计算出．【详解】如图，作轴，交轴于，由已知得，，在直角坐标系的轴上取点，使得，作轴且，则．（可在轴负半轴取点，使得）．故答案为：3．16．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，若二面角为，则与平面所成角的正弦值为__________．【答案】【分析】取中点，连接，证明为二面角的平面角，所以，由余弦定理求得，得，由线面垂直判定定理和性质定理证明两两垂直，建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【详解】取中点，连接，如图，则由已知得，，所以为二面角的平面角，所以，又，，中，，，所以，由，平面，得平面，又平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，，所以，以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，平面的一个法向量是，，所以与平面所成角的正弦值为．故答案为：．四、解答题17．如图所示，在正方体中，为中点.(1)求证：平面；(2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，即可得到，从而得证；（2）根据正方体的性质及计算可得；【详解】(1)证明：连接BD交AC于O，连接OE，所以OE是的中位线，所以，又面，面，所以平面；(2)解：正方体中，平面，所以；18．已知复数为虚数单位．(1)若是关于的实系数方程的一个复数根，求，的值；(2)若为实数，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由实系数方程的复数根成对出现，它们互为共轭复数，结合韦达定理求解；（2）由复数的除法法则化简，然后由复数的分类求解．【详解】(1)依题意知:是方程的另一个复数根，所以，(2)因为又为实数，所以．19．如图所示，位于A处的甲船获悉：在其正东方向相距海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待救援.甲船立即把消息分别告知在其北偏东角且相距5海里C处的乙船、和其正北方向D处的丙船.若乙船在丙船的东南方向，且两船相距2海里．(1)求；(2)若乙船要去救援，至少要航行多少海里才能到达B处？【答案】(1)(2)5海里【分析】（1）中，应用正弦定理求解；（2）中，由余弦定理求解．【详解】(1)依题意知，中，，由正弦定理得即；(2)中，，所以由余弦定理得=25

即BC=5所以乙船至少要航行5海里才能到达救援.20．中，且为的中点，设，．(1)用表示；(2)若，且，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量线性运算的几何表示即得；（2）由题可得，然后利用向量的数量积的定义，运算律结合向量垂直的数量积表示即得；或利用坐标法，利用向量的坐标表示及数量积的坐标表示运算即得.【详解】(1)在中，，所以；(2)法一：∵，∴点在线段上，又，又，所以，即，∴，又，∴，即∴.法二：以A为原点，建立平面直角坐标系，则，所以，又，所以可求得，由，所以，即，整理得，∴.21．中，角A、B、C所对的边为，若．(1)求角的大小；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理化简后，由正弦定理化边为角可求得角；（2）把用角表示后，由两角和与差的正弦公式变形，结合正弦函数性质得最大值．【详解】(1)因为，所以，即，，由正弦定理得，三角形中，，所以，，所以．(2)由正弦定理得所以，又，所以当时，取最大值为．即取得最大值为．22．如图所示几何体中，平面平面，△PAD是直角三角形，，四边形是直角梯形，，，且，PA=AB=2．(1)试在AB上确定一点E，使得平面平面，并说明理由；(2)求证：平面；(3)在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点E为AB中点，理由见解析(2)证明见解析(3)存在，【分析】（1）由线线平行推出线面平行，继而得面面平行；（2）由