2023-2024学年辽宁省沈阳市铁路高一年级上册期末考试模拟数学（含答案）

2023-2024学年辽宁省沈阳市铁路高一上册期末考试模拟数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是符合题目要求的.

1,已知集合/=卜配2><1},集合人{处=右},则人8=()

A.(0,+8)B.[0,2)C.(0,2)D.[0,+8)

【正确答案】D

【分析】先求出集合48,再根据并集运算的定义求解即可.

【详解】解：：Z={x|log2X<l}={x[0<x<2},

B="択=J2—x}={y\y>0),

ZU8=[0,+oo),

故选：D.

本题主要考查集合的并集运算，属于基础题.

2.设函数/(x)的定义域为(一1,3),则函数g(x)=山)]_」的定义域为()

A.(-2,1)B.(-2,0)3。,1)C.(0,1)D.

(-0)U(0,l)

【正确答案】B

【分析】要使g(x)有意义，根据抽象函数的定义域、对数真数不为0、分母不为0可得到答案.

【详解】要使gx=泠~(有意义，

—l<l+x<32<x<2

只需<1-x>0,即<x<l,

1-x^lxwO

解得一2cx<0或0<x<l,

则函数g(x)的定义域为(-2,o)u(o,l).

故选：B.

3.在人类中，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因。控制.当一个人的基因型为ZZ或

力。时.，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮.随机从父母的基因

中各选出一个A或者a基因遗传给孩子组合成新的基因.根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是

“孩子为单眼皮，，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.

【详解】若父母均为单眼皮，则父母的基因一定为和aa,孩子就一定是单眼皮.

若孩子为单眼皮，则父母的基因可能是4。和4a,即父母均为双眼皮，

故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件.

故选：A

4

4.当x<0时，函数y=x+—()

x

A.有最大值一4B.有最小值一4C.有最大值4D.有最小值4

【正确答案】A

【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值.

【详解】Qx<0,，一x>0,

5.设a=log32,b=log64,c=log3e(2e),则()

A.c<b<aB.a<h<cC.h<a<cD.a<c<b

【正确答案】B

【分析】由对数运算性质化简，结合不等式性质或构造/(乃=譬土土讨论单调性即可判断.

lg3+x

【详解】"四力=妇=跤土皎,。=图过=幽土1,

1g31g6Ig3+lg2lg(3e)lg3+l

解法一：因为一<--(左>0,加>〃〉0),所以

mm+k

la2+x|p2—lii3

解法二：设=---=----+L则Q=/'(0),b=/'(lg2),c=/(l),

lg3+xlg3+x

又因为/(x)在(0,+8)上单调递增，所以a<b<c.

故选：B

6.某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖

票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以/表示在甲抽奖箱中中奖的事件，8表示在

乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是()

'HOWB.事件/与事件8相互独立

C.P(Z8)与尸(C)和为54%D.事件/与事件8互斥

【正确答案】D

【分析】分别求出P(4),P⑻,进一步求出尸(C)与尸(ZB),从而判断AC选项，在甲抽奖

箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件”和事件8相互独立，判断BD选项.

4?3

【详解】尸（4）=二=工尸（8）=3

v7105'丿10

在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件/和事件8相互独立，B项正确

7771

P（C）=（1--）（1--）=—,故A正确

―51050

3

P（AB）=P（A）P（B）=-

97

P（AB）+P（C）=—=54%,故C正确

事件力与事件8相互独立而非互斥，故D错误.

故选：D.

7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副"弦图''给出了勾股定理的证明，后人称其为

“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵

爽弦图”中，已知方=3丽，方=万，彳万=5，则标=()

B,与+与

C.-a+-bD.-a+-b

252525255555

【正确答案】A

【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.

【详解】由题意

AE^-AF^-（AB+BF）^-（AB+-ED）=-AB+—ED

4444416

3一9一一3一9一9一

=-AB+—(AD-AE)=-AB+—AD——AE,

41641616

25—3—9——3-9-

即一/E=—Z8+—/。=—。+—b,

16416416

—•12-9-

所以4£=一〃+二-6

2525

故选：A.

I]]＜0若/（“1）=/（“2）=/（尤3）=/u4）（*]，巧，毛,五互

8.已知函数/（%）=

不相等），则玉+工2+工3+、4的取值范围是（注：函数〃（%）=%+丄在（。,1]上单调递减，在（1,+8）

上单调递增）（)

、立。，；

A.B.0c.0,；

7-P

【正确答案】D

【分析】

作出函数/（X）的图象，设X]＜Z＜0＜演＜1＜》4,由图象的性质求得玉+々=-2,X3,芻=1，

再利用双勾函数求得2＜七+芻4g，代入可得选项.

【详解】作出函数/（X）的图象如下图所示：设为＜、2＜0＜当＜1＜%4,且

x1+工2=2x(-1)=-2,

当口082玉|=卩082工4|时，即一lOgzMulog24，所以1。8213+1082工4=1。82（玉.14）=0,所以

当Rog2R=l时，解得》3=；,5=2,所以1＜442

11z

设/=七+%4=一+》4,又函数y=x+一在。,m）上单调递增,

X4X

…11八155

所以2=1+>=『22+广5,即2<9+%用，

所以一2+2<玉+4+X3+*4——2+3,即0<玉+/+/+*4<Q，

故选：D.

关键点点睛：本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想,

作出函数的图象，求得变量的范围.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似

病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发

生大规模群体感染的是（）

A.平均数为2,中位数为3B.平均数为1,方差大于0.5

C.平均数为2,众数为2D.平均数为2,方差为3

【正确答案】AD

【分析】根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断A,D；举例说明判断B,

C作答.

【详解】对于A,因10个数的平均数为2,中位数为3,将10个数从小到大排列，设后面4个数

从小到大依次为a,b,c,d,

显然有d2c262aN3,而a+b+c+dW14,则1的最大值为5,A符合条件；

对于B,平均数为1,方差大于0.5,可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0,0,0,0,

0,0,0,0,0,10,

其平均数为1,方差大于0.5,B不符合；

对于C,平均数为2,众数为2,可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0,0,0,2,2,

2,2,2,2,8,

其平均数为2,众数为2,C不符合；

对于D,设连续10天的数据为王,因平均数为2,方差为3,

1io

则有高Z（西一2）2=3,于是得（巧-2）2430,而看eN,iwN",i410,因此

10j=i

X,.D符合条件.

故选：AD

10.如图，由例到N的电路中有4个元件，分别标为元件1,元件2,元件3,元件4,电流能通

过元件1,元件2的概率都是P,电流能通过元件3,元件4的概率都是0.9,电流能否通过各元

件相互独立.已知元件1,元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96,则()

元件1元件3

MN

元件2-----1元件4|-----

4

A.p--B,元件1和元件2恰有一个能通的概率为

5

4

25

C.元件3和元件4都通的概率是0.81D.电流能在〃与N之间通过的概率为

0.9504

【正确答案】ACD

【分析】根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案.

【详解】对于A,由题意，可得C；p(l—p)+p2=0.96,整理可得p2—2p+0.96=0,则

(p-L2)(p—0.8)=0,则p=0.8=],故A正确；

Q

对于B,—p)=C；x0.8x(l—0.8)=0.32=掲，故B错误；

对于C,0.9x0.9=0.81,故C正确；

对于D,元件3,元件4中至少有一个能通过电流的概率为C；x0.9x(l-0.9)+C；X0.92=0.99,

则电流能在M与N之间通过的概率为0.96x0.99=0.9504,故D正确.

故选：ACD.

11.在448c中，40是中线前=2而，则下列等式中一定成立的是()

_t_uurJmuritur

A.AB-^-AC=2ADB.AG=-AB+-AC

—►1—►2—►

C.S.ABC=3S.GBCD.AG=—AB+—AC

【正确答案】ABC

【分析】延长/。至E,使DE=4D，根据平面向量加法的平行四边形法则，即可判断A是否

正确；由题意可知而=；(次+就)，结合就=2无，根据共线定理即可求出前，即可判

断B,D是否正确：由于AGBC,^ABC同底，以及］匕=2GD，结合相似关系，可得5“依=3S.GBC，

即可判断C是否正确.

【详解】延长40至E,使DE=AD，如下图所示，则48EC是平行四边形，

所以方+%=赤=2）万，故A正确；

因为読=2翔=2丄（方+就）=1方+1万，故B正确，D错误;

332、>33

分别故4G作边8c的垂线，垂足分别为",N,如下图所示：

A

MND

则Rt^AMD~Rt^GND,

又為=2査，所以。2=旦上=丄，所以AGBC与-8C高之比为1:3,

~ADAM3

又4GBC,“8C的底均为8C,所以S“BC=3S.GBC，故C正确.

故选:ABC.

12.M（Radon）又名氟，是一种化学元素，符号是Rn.氨元素对应的单质是氮气，为无色、

无臭、无味的惰性气体，具有放射性.已知放射性元素氨的半衰期是3.82天，经x天衰变后

变为原来的/（。〉0且aHl），^0.8347M=-,则（）

4

A.经过7.64天以后，空元素会全部消失B.经过15.28天以后，氨元素变为原来的

1

16

C.a=0.834D.经过3.82天以后剩下的氨元素是经过

7.64天以后剩下的氧元素的?

【正确答案】BC

【分析】根据指数函数模型，依次讨论各选项即可得答案.

【详解】对于A,因为放射性元素氨的半衰期是3.82天，所以经过7.64=2x3.82天以后，氨

元素变为原来的=；，故经过7.64天以后，氧元素不会全部消失，A错误.

对于D,经过3.82天以后剩下的氢元素为原来的1,经过7.64天以后剩下的氟元素为原來的丄，

24

故D错误.

对于B,因为放射性元素氢的半衰期是3.82天，所以要使氢元素变为原来的丄，则丄=（丄］,

1616（2丿

故需经过4x3.82=15.28天，B正确.

对于C,因为放射性元素氢的半衰期是3.82天，所以/（3.82）=；加，即因为

0.8347-64=（0.834382）2,所以0.8343&=；.因为函数=》3.82在（。什/）上单调递增，

所以a=0.834,C正确.

故选：BC

第n卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直至U“中”“华”

两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3

之间取整数值的随机数，分别用01,2,3代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，

表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

232321230023123021132220001

231130133231031320122103233

由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为

2

【正确答案】-

【分析】利用古典概型的随机数法求解.

【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有021,001,130,031,共4组随机数,

42

所以恰好抽取三次就停止的概率约为一=一，

189

故：

14.设2"=5厶=①，且2+1=1，则加=________.

ab

【正确答案】20

21

【分析】显然加〉0,用对数式表示出后代入一+—=1,运用对数的运算法则化简可得答案.

ab

【详解】依题意有加＞0,

2"=5"=m,：.a=log2m,b=log5m,

|二+丄」1

-----1------------2log,,,2+logm5=logm20,.,.加=20

ablog.mlog5m

故20

15.2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲、乙、

丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有

1人购买到冰墩墩的概率为:，丙购买到冰墩墩的概率为丄，则甲，乙、丙3人中至少有1人购买

23

到冰墩墩的概率为.

2

【正确答案】1

【分析】先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算

出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案.

【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为所以甲乙2人均购买不到冰墩墩

的概率［=1—；=

12

同理，丙购买不到冰墩墩的概率E=1-

121

所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率6=4=5X5=5,于是甲乙丙3人中至少有1

2

人购买到冰墩墩的概率P=\-P=~.

i3

故答亠案为.2|

16.在一8C中，点尸为线段8c上任一点(不含端点)，若不=x^+2y式(x>0,y>0),则

12

一+一的最小值为

xy

【正确答案】9

【分析】根据向量共线定理得推论得到x+2y=l,再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】因为点尸为线段8c上任一点(不含端点)，

所以x+2y=l,又x>0,y>0,

„12fl2\c\,2y2x,…l2y2x

故一+—=—+—(x+2^)=l+—+—+4>5+21-=n9,

xy{xy)xyxy

2y2x1

当且仅当上=——，即x=y=一时等号成立.

xy3

故9

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知2=(2,0),B=(2,1).

(1)当上为何值时，防+B与万一25共线；

(2)若荔=5+3反与心=1—根3且4B,C三点共线，求w的值.

【正确答案】(1)k=~-

2

(2)m=-3

【分析】(1)由己知求得标+B与1—2行的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解;

(2)由已知求得彳瓦元的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解.

【小问1详解】

jr_

•,a=(2,0),b=(2,1),

.•・妨+5=(2左+2,1),3-26=(-2,-2),

又标+B与"一2b共线，

二一2（2左+2）—lx（-2）=0,即左=_；；

【小问2详解】

AB=5+3$=（8,3）,BC-a-m-b=（l-2m,-m）,

•.•/、B、C三点共线，

—8T?J-3（2—2/z?）=0,即加=—3.

18.2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国

数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降30%以上，为响应国家政策，某通讯商计划

推出两款优惠流量套餐，详情如下：

套餐名称月套餐费/元月套餐流量/M

A303000

B506000

这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系

统就会自动帮用户充值2000M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充

值2000M流量，资费20元，以此类推.此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月

使用.

小张过去50个月的手机月使用流量（单位：M）的频数分布表如下:

月使用流量分[]

(3000,4000](4000,5000](5000,6000](6000,7000](7000,8000]

组

频数451116122

根据小张过去50个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：

（1）若小张选择A套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过50元的概率.

（2）小张拟从A或B套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？

说明理由.

3

【正确答案】（1）

（2）见解析.

【分析】（1）根据题中所给的条件，求得随着流量的变化，求得对应的费用，利用公式求得对应

的概率；

(2)选用哪种套餐的标准是哪种更省钱，所以分别算出两种套餐对应的费用，进行比较大小，求

得结果.

【小问1详解】

(1)设使用流量XM,流量费用为V,

当2000«xW3000j=30

当3000<x<5000)=50

所以流量费用超过50元概率：P(V>50)J6+12+2=3

505

【小问2详解】

设：乃表示A套餐的月平均消费；力表示B套餐的月平均消费.

^=X(30x4+50xl6+70x28+90x2)=61.2

力$(50x36+70x14)=55.6

外>%•

故选：套餐B.

19.已知函数/(x)=logax,g(x)=loga(2x+m-2),其中xe>0且aw1,〃?eR.

(1)若7〃=5且函数/(》)=/*)+8(幻的最大值为2,求实数a的值.

(2)当0<a<l时，不等式/(x)<2g(x)在xe[l,3]有解，求实数机的取值范围.

【正确答案】(1)30

(2)(0,1)

【分析】(1)将〃?=5代入函数得出尸(x)解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类讨论。>1

和0<。<1时/(x)在xe[L3]的单调性，由此确定最大值，即可解出实数。的值.

(2)由对数函数性质可得加〉0,再由对数单调性可得加<-2x+、&+2,利用换元法结合二次

函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到加的取值范围.

【小问1详解】

当〃?=5时，g(x)=log“(2x+3)

2

VXF(x)=f(x)+g(x)=logax+loga(2x+3)=loga(2x+3x),xe[l,3]

当a>l时，/(x)在定义域内单调递增，/(x)max=/(3)=loga27=2,解得&=3百

?

当0<。<1时，R(x)在定义域内单调递减，/(x)max=F(l)=log„5=2,解得“=石，不符

合题意，舍去

综上所述，实数。的值为3石.

【小问2详解】

要使g(x)在xe[l,3]上有意义，则2x+〃z—2>0,解得加>0

由/(x)<2g(x),即log〃x<log“(2x+〃z-2)2,因为0<a<i,所以x>(2x+/w-2>

即&>2x+阳一2，得加<-2X+4+2，令.=«,/w[1,G]，记人(。=一21+，+2,对

称轴为，=；，〃⑺疝=〃(1)=1

若不等式/(x)<2g(x)在x6[1,3]有解，则m<-2x+yfx+2在xe[1,3]有解

即机即加<1

综上所述，实数用的取值范围为(。,1)

3

20.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，己知第一盘棋甲赢的概率为一，由于

4

3

心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为一，若甲输了上一盘棋，则下一盘

4

棋甲赢的概率就变为十.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢.

(1)求第四盘棋甲赢的概率；

(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率.

【正确答案】(1)口；

16

【分析】(1)第四盘棋甲赢的事件为它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，再利用

独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.

(2)甲恰好赢三盘棋的事件为8,它是甲在第三盘赢、第四盘赢、第五盘赢的互斥事件的和，再

利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.

【小问1详解】

记第四盘棋甲赢的事件为小它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件4,4的和，

3391119111

P(4)=-x-=—,P(J,)=-x-=-,则尸(4)=尸(4)+尸(4)=二+—=!，

441642816816

所以第四盘棋甲赢的概率是u.

16

【小问2详解】

记甲恰好赢三盘棋的事件为8,它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，

甲只在第三盘赢的事件为男、只在第四盘赢的事件为台2、只在第五盘赢的事件为名，

w,Jm)=|xlx(i_l)=A,P⑻=卜9(1-m)=lx(i-l)xl=1

3113

则有P(8)=P(4)+P3)+尸(员)=石+石+正=市，

3232lolo

亠3

所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为一.

16

21.已知定义域为我的函数〃x)=(高是奇函数.

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)若/(10g4x-10g2总+/(4-2吗>0恒成立，求实数”的取值范围.

1-3'41

【正确答案】(1)/(%)；(2)a>—.

3+3x+,16

【分析】

(1)由/(口是奇函数可得/1)=-/(幻=(〃-1)(3'+1)=0,从而可求得〃值，即可求得〃x)

的解析式；

(2)由复合函数的单调性判断了(x)在/?上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化

为;嗟2匸(3-唾2》)<2"4,令"log?》，利用二次函数的性质求得;⑶")的最大值，即

可求得。的取值范围.

【详解】(1)因为函数/(工)=*订为奇函数，

3+3

xx

所以/(-x)=-/«,即n-Y,=--n^―-34

3+3-x+,3+3x+,

xv

所以n.=3---1=n-3

3V+I+33+3'M

所以〃♦3八一1二―〃+3丄=>(«-1)(3'+1)=0,

可得〃=1,函数=

1-3X13X-112

（2）由（1）知〃幻=17^=一3771=一3+^^

所以/*）在（3,”）上单调递减.

由/^iog4X-log2»+/（4-2。）>0,得/卜Og4x-log21j>-/（4-2a）,

因为函数/（x）是奇函数，

所以/（log4x-log2g）>/（2。-4）,

所以喚4樓（3一廳2力<2"4,整理得;log2X13-log2X）<2"4,

设f=log2X,t&R,

则:（3/-/）<2“一4,

o1Q

当时，歹=7（3t-『）有最大值，最大值为g.

228

941

所以2Q—4>—，即—.

816

方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：。）奇函数由/（x）vH）=o

恒成立求解，（2）偶函数由/（x）-/（-x）=O恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由

/（0）=0求解，偶函数一般由/（1）—/（-1）=0求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证

奇偶性.

22.定义：如果函数y=/（x）在定义域内给定区间［凡可上存在/（。</<6）,满足：

/•（%）=/㈤一〃"），则称函数y=/（x）是句上的“平均值函数”，%是它的平均值点.

b-a

（1）函数丁=2/是否是［-1,1］上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点；如果不是，请

说明理由；

（2）现有函数^=-223+加-2川+1是［-1,1］上的平均值函数，求实数机的取值范围.

【正确答案】（1）函数丁=2/是上的“平均值函数”，0是它的平均值点

（13）<17>

（2）me-oo,——,+oo

I10J（2'丿

f⑴一

【分析】(1)根据“平均值函数”的定义，假设:丿求X。,确定是否在上

即可判断N=2x2是否是卜1,1］上的“平均值函数”.

(2)由题设，设方是平均值点可得24机.2%+i+6加-19=0，应用换元法

，=2%Me(l,4)则2r—4加+6加—19=0在区间上有解，法一：利用二次函数的性质，讨论区

h3、1io

论f,结合歹=ax-2(凡b〉0)的性质求参数范围.

x

【小问1详解】

函数y=2x2是［-1,1］上的，，平均值函数”，理由如下：

=手=o,设%是它的平均值点.，则有/(X。)=2x；=