2023-2024学年四川省成都某中学高三（上）入学数学试卷（理科）（含解析）

2023-2024学年四川省成都某中学高三（上）入学数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合4={—1,0,123},B={x∣xeA且一x∈4},则集合B中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.欧拉公式e汉=COSx+isinx（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇

公式.根据欧拉公式，复数z=/在复平面上所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.椭圆#+[=1的焦距为2,则Tn的值等于（）

m4

A.5B.8C.5或3D.5或8

4.某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中,

可能是其俯视图的是（）

A.①②都可能

B.①可能，②不可能

C.①不可能，②可能

D.①②都不可能

5.已知基函数/（X）=d（7n,neZ），下列能成为“/⑶是R上奇函数”充分条件的是（）

A.m=­3>n=1B.m=1,n=2

C.m=2,n=3D.m=1,n=3

6.如图所示，图中曲线方程为y=χ2-i,用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是

（）

ʌ-lʃŋ(ɪ2-l)dx∣B∙fg(x2-Ddx

2I22

C.ʃθ∣x-l∣dxD.Jo(X2-l)dx+∫1(x-l)dx

7.己知落石是两个非零向量，设荏=H而=及给出定义：经过近的起点4和终点B,分

别作而所在直线的垂线，垂足分别为B1,则称向量石瓦为B在方上的投影向量.已知五=

(1,0),b=(3,1)＞则方在石上的投影向量为()

A.(12,32)B.(1,33)C.(32,32)D.(34,34)

8.己椒〜B(τι,p),若4P(X=2)=3P(X=3),贝IJP的最大值为()

rAt∙-60B--5°C，4-D5-3

9.如图，圆柱的轴截面为矩形718CD,点M,N分别在上、下底面圆上，D

NB=2ANCM=2MD,AB=2,BC=3,则异面直线AM与CN所成角

的余弦值为()

A3^5

,10

B?

5

D.ɜʃɜθ

20

10.若夕093。+3°-1=IogM+9»,贝∣J()

A.α>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到

使用(如图1)∙

图1图2图3

明朝科学家徐光启在侬政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图2).假定在水流量稳

定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心。到水面的

距离/1为1.5M,筒车的半径r为2.5m,筒车转动的角速度3为羽rαd∕s,如图3所示，盛水桶M(

视为质点)的初始位置PO距水面的距离为3M,则3s后盛水桶M到水面的距离近似为(-1≈

1.414,ΛΓ3≈1.732)()

A.4.0mB.3.8mC.3.6mD.3.4m

®\AB\

②四边形MNST的面积为IOo

(3)FS∙ff=0

④ICDl的取值范围为［5,初

A.①②④B.①③④C.②③D.①③

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知命题p：€R,eg-XO-I≤0"，则"为.

14.高二甲、乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑4个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕

照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件4甲和乙至少一人选择廉村孤

树，事件8：甲和乙选择的景点不同，则条件概率P(BM)=.

15.在△4BC中，内角4,B,C的对边长分别为α,b,c,且tcm4+3tan(A+B)=0,a2-c2=

2b,则b的值为.

16.函数/(x)的图像如图所示，已知/(0)=2,则方程f(x)-

x∕'(x)=1在(α,b)上有个非负实根.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

在四棱柱4BCD-a$iGDi中，*=k取,*=k取,D^G=kD^C,D^H=kD^D.

⑴当k=科，试用福而,瓯表示亦

(2)证明：E,F,G,“四点共面；

18.(本小题12.0分)

随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，为此某市建立了共享电动

车服务系统，共享电动车是一种新的交通工具，这是新时代下共享经济的促成成果.目前来

看，共享电动车的收费方式通过客户端软件和在线支付工具完成付费流程，从开锁到还车所

用的时间称为一次租用时间，具体计费标准如下：

①租用时间30分钟2元，不足30分钟按2元计算；

②租用时间为30分钟以上且不超过40分钟，按4元计算；

③租用时间为40分钟以上且不超过50分钟，按6元计算

甲、乙两人独立出行，各租用公共电动车一次，租用时间都不会超过50分钟，两人租用时间

的概率如下表：

租用时间不超过30分钟30〜40分钟40〜50分钟

甲0.4Pq

乙0.50.20.3

若甲、乙租用时间相同的概率为0.35.

(1)求p，q的值：

(2)设甲、乙两人所付费之和为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

19.(本小题12.0分)

i

记SjI为数列5｝的前Ti项和，且%>o,己知衿-?=]

an+lan乙

(1)若的=1,求数列｛aj的通项公式；

(2)若1+2+…+上<1对任意neN*恒成立，求的的取值范围.

20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=αmX-αx+1,aeR.

(1)若经过点(0,0)的直线与函数/(x)的图像相切于点(2J(2)),求实数ɑ的值；

(2)设g(x)=/(x)+g∕-1,若g(x)有两个极值点为为1，%2(%≠%2)，且不等式。(右)+

g(&)<2(X1+%2)恒成立，求实数4的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知双曲线E；最一A=I(a>0,b>0)的离心率为C，左焦点F到双曲线E的渐近线的距

离为C，过点F作直线/与双曲线C的左、右支分别交于点4、B,过点F作直线L与双曲线E的

左、右支分别交于点C、D,且点8、C关于原点。对称.

(1)求双曲线E的方程；

(2)求证：直线AD过定点.

22.(本小题10.0分)

(_2-2S2

在直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为］“一了鼠'(s为参数)，直线I的参数方程为

为参数)•

(1)求C和，的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线2所得线段4B的中点坐标为(-1,2),求a.

23.(本小题12.0分)

己知Q>0,ð>0,c>0,0b+be+cα=3.

(I)求Q3+/+c?的最小值M；

(2)关于％的不等式IX-m∣-∣x+1∣>M有解，求实数nɪ的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了元素与集合的关系，集合中元素的个数，属于较易题.

根据集合A={-1,0,1,2,3},B={xIXeA且TCe4},故集合B中的元素有0,1,-1.

【解答】

解：由于集合4={-1,0,1,2,3],B={x∖x∈A且—X∈A],

•.•一1€4且1€4，0的相反数是0,OeA,

**•—IEB,IGBfOeB,

ʌB={-1,0,1},

故8中元素个数为3个.

故选C

2.【答案】A

【解析】解：由题意z=e'=Cosl+isinl,Irad是第一象限角,显然CoSl>0,sinl>0,

所以在复平面中对应的点在第一象限.

故选:A.

根据欧拉公式Z=ei=Cosl+isinl,再分析复数Z的实部和虚部的符号即可.

本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：椭圆兰+[=1的焦距为2,

m4

可得√m—4=1或√4—=1,解得m=5或m=3.

故选：C.

利用椭圆的焦距，求解m即可.

本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题.

4.【答案】4

【解析】解：当俯视图为①时，该几何体是三棱锥，//y如图1所示;

当俯视图是②时，该几何体是棱锥和圆锥的组合体，//Λ∖

如图2所示；6'/

勘

所以①②都有可能.

故选：A.

俯视图为①时，该凡何体是三棱锥；

俯视图是②时，该几何体是棱锥和圆锥的组合体.

本题考查了由三视图还原出几何体的问题，是基础题.

5.【答案】。

【解析】解：对于4/(x)=χ-3,定义域为{x∣x≠O},所以/(X)不是R上的奇函数，故A错误;

对于B,-x∣,定义域为［0,+8),所以∕^(x)不是R上的奇函数，故B错误；

22_____

对于C,f(x)=χ5,定义域为R，且/(_%)—(_=)、=V(-χ)2==∕^(x>故f(x)为偶函数，

故C错误；

对于/(尤)=x∣,定义域为R,且/(一χ)=~=-x5=-f(x),故/(x)为奇函数，故。正确.

故选：D.

根据函数奇偶性的性质判断即可.

本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：由微积分基本定理的几何意义可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=C(I-

x2)dx+∫J(x2—ly)dx=∖X2—l∖dx.

故选：C.

由微积分基本定理的几何意义即可得出.

正确理解微积分基本定理的几何意义是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：设五与泓勺夹角为仇由E=(C,1),

可得与方方向相同的单位向量为》=看=U„=(?9,

S=(1,0),b=(√r"5,1)，

所以有在B上的投影向量为：

---

,→,n→,→,a`b→a`b→l×√3÷0×lz√31、，3√3.

∣α∣,cos0,e=∣α∣,_-.e=_,e=_------(--P=Q-)-

故选：D.

先求向量方的单位向量，再利用投影向量的求法求解即可∙

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：∙∙∙4P(X=2)=3P(X=3),

3n3

.∙.4C⅛2(i_p)∏-2=3C⅛(1-p)-,整理得4(1-P)=(n-2)p,即P=击，

又九∈N*,且九≥3,

,4

.∙.P的最大值为去

故选:B.

根据已知条件，结合二项分布的概率公式，求出P=右，再结合n为正整数，即可求解.

本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题.

9.【答案】D

【解析】解：在⑪上取点E,使靛=23，连接AN,NB,BE,EA,

易知四边形ANBE为矩形，AN=1,NB=，与.连接MN,

由已知条件，得MN为圆柱的一条母线，

以N为坐标原点，分别以直线NB,NA,NM为X轴、y轴、Z轴建立如图的空间直角坐标系N-xyz,

则N(0,0,0),4(0,1,0),M(0,0,3),C(C，

所以初=(0,-1,3),NC=(√-3,0,3).

则CoS〈箱,配〉==ɪ)

所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为甯.

故选：O.

在翁上取点E,使族=2介，连接4N,NB,BE,EA,以N为坐标原点，分别以直线NB,NA,

NM为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系N-Xyz,求出相应点的坐标，再利用异面直线夹角的

空间向量公式求解.

本题主要考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题.

10.【答案】A

【解析】解：ɪIogf+3α—1=IogM+9b,

logɪɑgloglog

.∙.a3+3。=b3+32b+1=b3+32b+Iogj>2b3+32b'

∙IOg

fftt∙∕(x)=3x+x3,

,∙∙y=3x在R上为增函数，丫=翳在(0,+8)上为增函数，

•♦•f(X)在(0,+8)上为增函数，

.∙.f(a)>f(2b),即a>2b.

故选：A.

ab

利用对数的运算法则和单调性把PogE+3-1=IOgM+9,转化为热+ɜa>我+32b，再构

造函数/(χ)=3'+x3'判断单调性即可.

本题考查了对数函数，指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.

Il.【答案】4

【解析】解：设初始位置PO对应的角为％，则siτι⅜⅛=3］；5=|,则c0S0o=Jl-Sin2卬0=

因为筒车转动的角速度®为∕s,

所以水桶M到水面的距离d=2.5s讥给t+φ0)+1.5,

当t=3时，则有d=2.5Sin附x3+为)=2.5x?x(|+}+1.5≈3.974≈4.0,

故选：A.

先求出初始位置时PO对应的角，然后根据题意求出盛水桶M到水面的距离与时间t的函数关系，将

t=3代入求解即可.

本题考查了三角函数模型的实际应用问题，解题的关键是正确理解题意，从中得到数学模型，属

于中档题.

12.【答案】B

【解析】解：不妨以抛物线G的顶点4为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示:

因为抛物线G的顶点为4焦点为凡准线为4,焦准距为4,

所以MFl=2,

则抛物线A的标准方程为y2=8x；

因为抛物线心的顶点为B,焦点也为F,准线为5焦准距为6,

所以IBFl=3,

则∣4B∣=2+3=5,所以①正确；

易知抛物线心的方程为y2=-i2(x-5),

因为A和弓交于P、Q两点，

联立｛七，H

解得P(3,2C),<2(3,-2√^6).

又分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T,

可得M(—2,2√^^),∕V(8,2√^6),S(8,-2√-6).7,(-2,-2√^6).

则四边形MNST的面积S=10X4√^6=40√-61故②错误；

又F(2,0),

此时丙=(-4,-2√~δ),FS=(6,-2√-6),

易知后FT=0>故③正确；

由抛物线的对称性，不妨设点D在封闭曲线ZPBQ的上部分，

不妨设C,O在直线11，"上的射影分别为C，D1,

当点。在抛物线BP,点C在抛物线AQ上时，∖CD∖=ICelI+∖DD1∖,

当C,。与A,B重合时，ICDl最小，最小值ICDl=5,

当。与P重合，点C在抛物线AQ上时，

因为P(3,2θF(2,0),

联立｛；212W0c-2)，消去y并整理得3--13x+12=0,

不妨设C(Xl,yi),D(X2/2)，

所以+%2=ɪ,

此时ICP=x1+x2+4=ɪ,

所以ICP∈[5,y],

当点。在抛物线P4点C在抛物线AQ上时，

不妨设直线CD的方程为X=ty+2,

联立C2：%：2,消去X并整理得y2一sty-16=0,

不妨设Co⅛∕3)。(%4，、4)，

所以为+y4=83

此时ICDl=Λ⅛+%4+4=£(为+丫4)+8=8t2+8≥8,

当t=0,即C0_L48时，等号成立，

所以ICDl∈[8,y],

当点。在抛物线P4点C在抛物线QB上时，

由抛物线的对称性可知ICDl∈[5,y],

综上,∖CD∖∈[5,学，故④正确，

综上，结论正确的有①③④.

故选：B.

由题意，建立平面直角坐标系，求出两条抛物线的方程，得到48的距离，进而可判断①；求出点

M,N的坐标，推出矩形的面积即可判断②，根据平面向量的坐标运算即可判断③；对点。的位

置进行讨论，利用CD的距离的范围即可判断④.

本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力.

13.【答案】∀xe∕?,ex-x-l>0

【解析】解：特称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，

即∀x∈R,ex—X—1>0.

故答案为：Vx∈/?,ex-X—1>0.

根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

14.【答案】q

【解析】解：对于事件4,甲和乙至少一人选择廉村孤树，则其反面为“甲、乙两人均不选择廉

村孤树”，

所以，n(A)=42-32=7,

对于事件4B,甲和乙中只有一人选择廉村孤树，另一个人选择其它村，

所以，n(4B)=2X3=6,

因此，所求概率为P(BM)=嚅=1

故答案为：

计算出事件4、ZB所包含的基本事件数，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键.

15.【答案】4

【解析】解:因为tcm4+3tan(A+B)=0,

所以可得ternA=-3tan{A+B)=3tanC,

所以出£=3s咚,即有SiTL4cosC+COSaS讥C=4sinCcosA,

cosACOSC

所以Sin(A+C)=4sinCcosA=SinB,

故4c♦的二=R

化简得力2=2(/2—C2),

又因为4-c2=2b,

可得/-4b=0,解得力=4或0(舍)，

故答案为:4.

由tɑ几4+3tan(A+B)=0,可得Sim4cosC+CosAsinC=4sinCcosA,即而得4sinCcos/=SirIB,

利用正余弦定理化简可得〃=2(α2-c2),结合条件M一c2=2b,即可求得答案.

本题考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式以及两角和的正弦公式在解三角形中

的应用，属于基础题.

16.【答案】1

【解析】解：由图像可得函数/(%)在区间(a,b)上有3个极值点，

x

不妨设从左到右的极值点依次为%1，%2，%3，其中<O<X2<3»

可得∕ι'(X)=∕,(x)-g(%)-xg,(x)=τg'(%),

易知g(%2)=θ,gθ⅛)=θ,

当0v%v%2时，f(%)单调递增,g(%)=∕'(%)>o,

因为函数/(%)的图像由陡峭变为平缓，

所以Ig(X)I逐渐变小，

则当0v%v%2时，函数g(%)单调递减,g'(%)V0,

当A⅛<X<%3时，函数f(%)单调递减,g(χ)=f'(%)<0,

因为函数/(%)的图像先由平缓变为陡峭，再由陡峭变为平缓,

所以Ig(X)I先变大再变小，函数g(%)先单调递减再单调递增，

此时g'(%)的取值先负后正，

所以存在%2V%4<%3，使得。'(%4)=。，

当％2<%v%4时，g'(%)<0；当%4<%v%3时，g'(%)>0,

当Λ⅛VXVb时，函数/(%)单调递增，

因为函数/(%)的图像由平缓变为陡峭，函数g(%)单调递增，

所以当Λ⅛<%<力时,gf(χ)>0，

当0<xV%4时，g'(X)<0；当M<xVb时，g'(x)>0,

所以当0<xV%4时，九'(%)>0,九(X)单调递增，

当必<X<b时，⅛,(x)<0,九(%)单调递减，

因为九(0)=/(O)-0×g(0)-1=1>0,

所以函数九(乃在(0/4)单调递增，

此时函数∕l(x)在(0,%4)上不存在零点，月.九(%4)>0，

因为∕l(b)=f(b)-bg(b)-1=h(≡≡i-g(b)),

而作匚表示点(b,∕(b))与点(0,1)的连线的斜率，

g(b)表示曲线f(x)在点(b,f(b))处的切线的斜率,

所以罕<g(∕j),

则∕ι(b)<0,

则函数∕ι(x)在。4，匕)上存在唯一零点，

故方程/(%)-x∕'(x)=1在(α,b)上有1个非负零点.

故答案为：1.

由题意，利用导数研究函数/"(久)-x∕'(x)=1的单调性，结合零点存在性定理判断方程f(x)-

x∕,(x)=1在(α,b)上的根的个数.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力.

17.【答案】解：(I)在四棱柱4BC0-4B1GD1中，AD1=AA1+AD,

当Zc=3时，有存=荏+前

=1(AA1+AD)+1AB

=1AB+^AD+1AAli

(2)证明：设前=4而+〃而(尢〃不为0),

则而=D^G-DζE=kD^C-kD^AkAC

.,，■♦.''♦111♦

=k(λAB+μAD)=kλAB+kμAD

=kλ(D^B-取)+kμ(D^D-瓦①

=λ(D^F-DE)+μ(D^H-宰)

=，前+〃前，则前，EG，前共面且有公共点E,

所以E、F、G、H四点共面.

【解析】(1)根据空间向量线性运算法则进行计算即可；

(2)设前=4而+〃而(儿〃不为0),根据已知可推得由=4前+〃前，即可证得四点共面.

本题主要考查空间向量的线性运算和空间向量共面定理，属中档题.

18.【答案】解：(1)分别记“甲租用时间不超过30钟、30-40分钟、40-50分钟”为事件&，公，

仆，它们彼此互斥，

则P(Ai)=0.4,P(A2)=p>P(i43)=q>且p+q=0.6①；

分别记“乙租用时间不超过30钟、30—40分钟、40—50分钟”为事件&,B2,B3,

则P(BI)=O.5,P(B2)=0.2,P(∕)=0.3,且A2,&与反，B2,%相互独立.

记“甲、乙租用时间相同”为事件C,

则P(C)=P(A)P(Bi)+P(Zl2)P(B2)+P(A3)P(B3)=0.4X0.5+0.2p+0.3q=0.35=2p+

3q=1.5②，

由①②解得：p=q=0.3.

(2)解：X可能取值为4,6,8,10,12,

P(χ=4)=0.4x0.5=0.2,

P(X=6)=0.4X0.2+0.3X0.5=0.23,

P(X=8)=0.4X0.3+0.5×0.3+0.3×0.2=0.33,

P(X=10)=0.3X0.3+0.3×0.2=0.15,

P(X=12)=0.3×0.3=0.09,

所以X的分布表如下：

X4681012

P0.20.230.330.150.09

所以E(X)=4×0.2+6×0.23+8×0.33+10×0.15+12×0.09=7.4.

【解析】(1)分别记“甲租用时间不超过30钟、30—40分钟、40-50分钟”为事件4,A2,A3,

它们彼此互斥，则可得P+q=0.6①，2p+3Q=1.5②求解即可；

(2)由题意可得X可能取值为4,6,8,10,12,求出X对应的概率，列出分布列，计算期望即可.

本题考查离散型随机变量的概率分布列和期望，是中档题.

19.【答案】解：(l)∙∙∙⅛±i-^=∣,α1=1,

⅜+la∏z

•••数列心｝是首项为1,公差为我等差数列，

an乙

贝吟=1+加T)=*

即2Sn=(n÷l)απ,2Sn.1=nαπ.1(n≥2),

两式作差得2册=(n+l)αn-παn-1,

即看=3S?2),

an-ln-1

...卫X-X—X…X"=TXNX…X,，

an-lan-2an-3Qln~^n-2ɪ

即最=几，an=n(n≥2),

*∙*Ql=1,∙*∙Cln=71;

(2)由题意得Sn=(%+,1?

.∙.±=A.=(ɪ-ɪ),

k

Snɑɪn(n+l)ɑɪnn+l,

贝颐代W∑L(A⅛τ)

=内2/1―1/.「11+1…+.「1黄1)、

_2/11、

=成(1_力

719

当Jl→+8时，不(I—-)→—,

Ql7l+lClj

19

∙∙∙%>0,∙∙∙∑bι∕<l恒成立转化为f≤1,解得αι≥2,

ɔkaI

故％的取值范围为［2,+8).

【解析】⑴由已知得曲为公差为9的等差数列，求得2Szι=(n+l)ɑ7l,利用απ与Sn的关系求得

^-=⅛(n≥2),再利用累乘法，即可得出答案；

un-1nɪ

1911

(2)利用等差数列前n项和公式表示出Sn,即可得出一冷)，然后利用裂项相消法求得

其前H项的和，即可得出答案.

本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

20.【答案】解:(l)f(x)的定义域为(0,+8),

由/'(x)=αbιx—αx+1,得/'(%)=，-Q,则"(2)="_α=_趣,

因为经过点(0,0)的直线与函数f(x)的图像相切于点(2/(2)),

所以k=竽=_1

所以。仇2-2α÷1=-a,解得Q=.ɪ；

I-Znz

(2)g(x)=/(%)+∣x2-1=alnx-αx+∣x2,

则或其)=?一α+X='-；x+a(X>0)，

因为g(χ)有两个极值点为石，X2(X-L≠χ2)>

所以g，(X)=在#=。在(0,+8)上有两个不同的根，

此时方程/—QX+α=O在(0,+8)上有两个不同的根，

则4=α2—4α>0,且与+A⅛=Q>。，x1x2=ɑ>0»解得Q>4,

若不等式g(χι)+g{χ2)<λ(%1+亚丁恒成立，则2>驾誓复恒成立，

ʌl'∙*2

ɪɪ

因为gQι)+g(>⅛)=a(,lnx1-XI)+-xf+a(lnx2-x2)+,据

=α∕n(x1x2)-a(x1+x2)+∣(xf+据)

=α∕n(x1x2)-a(x1+x2)+1KXI+尤2产一2x1x2]

112

=alrta--a6—a

不妨设∕l(a)=幽"3=alna-^-a=_武。>的，

%l+%2Q，

则Ma)=A齐爱，

因为a>4,所以/ι'(a)<0,

所以∕ι(a)在(4,+8)上递减,所以∕ι(a)<∕ι(4)=2ln2—3.

所以A≥2ln2-3,

即实数A的取值范围为[2m2-3,+∞).

【解析】(1)由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；

xx

(2)将g(x)有两个极值点为X1，x2(ι≠2)›转化为方程/一ax+a=0在(0,+8)上有两个不同

的根，根据根的判别式求出a的取值范围，将不等式g(χD+g(Λ⅛)<4(%+不)恒成立，转化为4>

更强誓恒成立,通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.

xl+x2

本题考查导数的综合应用，导数几何意义，利用导数解决不等式恒成立问题，考查了转化思想，

属于难题.

21.【答案】解：⑴设F(-c,O),

因为?=√-2,

可得£|=4=2，

Q/CZ

所以a=b,

则渐近线方程为y=±x.

又F到双曲线E的渐近线的距离为-1，

所以7⅛=/至，

解得C=2,a-b-ΛΓ~2∙

所以双曲线方程E：[―1=1；

y

（2）证明：不妨设8（右,%））,C（-x0,-y0）9直线FB的方程为％=用-2,

信!一些=12

联立《2_t+2，消去X并整理得（巨督一加2-曳萨y+2=0,

x~~y^^y~

又诏_M=2，

2

所以(2xtj+3)y-2(x0+2)y0y+yξ=0,

则为为=∑r⅛3,

解得力=悬？XA-3⅜-4

2xθ+3'

同理yo=∑⅛?XD=3勺-4

2xo+3'

yp-yp

2XQ+3—2XQ+3_______丫0(-2比+3)+丫0(2沏+3)_____

所以心。=

一3。0-43xθ-4(一3比一4)(一2*o+3)-(3xo-4)(2X0+3)

2xθ+3—2XQ+3

则直线AD方程为y-5T⅛3=一号-2x0+3^f

∆XQ-↑-6XQZXQ+O

令y=0,

I13,-3%()—4、

则rπ五不=而(％—玄而)

∏∏r=沏I一3叼-4二-4(2%O+3)__4

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