2023届上海市华二附中高三教学质量监测一数学试卷

2023届上海市华二附中高三教学质量监测（一）数学试题试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数=一依―1,以下结论正确的个数为（）

①当a=0时，函数/（x）的图象的对称中心为（0,-1）；

②当a23时，函数/（%）在（一1,1）上为单调递减函数;

③若函数/（幻在（一1,1）上不单调，则0<”3；

④当a=12时，f(x)在［T,5］上的最大值为1.

A.1B.2C.3D.4

Ax-l,x>0,

2.己知函数/（尤）=«若函数/（x）的图象上关于原点对称的点有2对，则实数A的取值范围是（)

-ln(-x),x<0,

A.(-oo,0)B.(0,1)C.(0,+8)

3.已知函数/（》）=23/54%+今）+机（加€11.）的部分图象如图所示.则/=（）

4.N”）的展开式中含有常数项，且〃的最小值为明贝！Jj\la2-x2dx=()

-a

8U

A.364B.-------c.—D.257

22

I4

a

5.公比为2的等比数列｛%｝中存在两项q•m9n9满足,为=32a/,则—I—的最小值为()

mn

95413

A.D.

733io

6.设复数二满足（l+i）z=l-7i,贝仁在复平面内的对应点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.如图，在正四棱柱—中，AB=y/2AA],E,E分别为AB,BC的中点，异面直线A片与C/所

成角的余弦值为加，贝！1（）

A.直线A£与直线GF异面，且m=也B.直线4E与直线共面，且m=立

33

C.直线4E与直线GF异面，且加="D.直线4E与直线共面，且加=且

33

Z7_1_V*

8.命题"：存在实数玉），对任意实数》,使得sin（x+x（））=-sinx恒成立；q：Va>0,f\x）=In----为奇函数,

a-x

则下列命题是真命题的是（）

A.P^qB.（「p）v（->q）C.pM「q）D.（「p）八q

9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（）

6S

A.12兀B.16%

C.24%D.48%

10.已知在平面直角坐标系X。），中，圆G：+（y-〃2-6『=2与圆G：（x+l『+（y-2）2=1交于A,B

两点，若|。4|=|08],则实数，”的值为（）

B.2C.-1D.-2

12.已知函数/(x)=3x+2cosx,若a=f(3&)，b=/⑵，c=/(log27),则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是.

14'—椭圆G的方程为双曲线G方程为｝『I'G与。描离心率之积为多

则c2的渐近线方程为.

15.已知三棱锥P—ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,A3C是边长为2的正三角形，PALPC,

则球。的体积为.

2

16.在平面直角坐标系中，双曲r线的右准线与渐近线的交点在抛物线,2=2庶上，则实数，的值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲

击”的新征程/城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人口大约为1300万.

近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的

相关数据如下：

来A城市发展的理由人数合计

1.森林城市，空气清新200

自然环境300

2.降水充足，气候怡人100

3.城市服务到位150

人文环境4.创业氛围好300700

5.开放且包容250

合计10001000

(1)根据以上数据，预测40()万25~44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人;

(2)从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再

选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率；

(3)在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的

理由的700人中有400名男性；请填写下面2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文

环境”的选择有关？

自然环境人文环境合计

男

女

合计

附.十二

(a+:)(0+d)(a+c)(6+d)

PCK2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(12分)已知数列｛。“｝满足，%=2%+2e+1(〃€2)，4=1,等差数列｛〃,｝满足2+2〃=劭-+45=2,3,),

(D分别求出｛可｝,｛"｝的通项公式；

(2)设数列仅“｝的前〃项和为S“，数列'।+的前〃项和为却证明：T„<1.

19.(12分)已知函数/。)=，一/+2。+8(xeR)的图象在％=0处的切线为)，=­(e为自然对数的底数)

(1)求力的值；

(2)若ZeZ,且f(x)+g(3x2-5X-2QN0对任意xeR恒成立，求k的最大值.

20.(12分)求下列函数的导数：

(1)〃x)=e„

(2)/(x)=(sin2x+l)2

,、八，112

21.(12分)已知在等比数列｛a,,｝中，«„>O,tz(=4,---=—.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若勿=----------------,求数列％｝前〃项的和.

log2«„-log2a„+]<

22.(10分)设函数/(x)=l+ln("l)(x〉O).

k

(1)若/•(》)>——恒成立，求整数上的最大值；

X+1

(2)求证：(1+1X2>(1+2X3)[l+/tx(/2+i)]>e2"-3.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

逐一分析选项，①根据函数y=丁的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件,

则极值点必在区间(T/)；④利用导数求函数在给定区间的最值.

【详解】

①y=V为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数f(X)的图象的对称中心为(0,-1),正确.

②由题意知/(幻=3/一。.因为当—1<X<1时，3f<3，

又aN3,所以((x)<0在(-1,1)上恒成立，所以函数/W在(-1,1)上为单调递减函数，正确.

③由题意知/8)=3/一。，当“M0时，f'(x)>0,此时“X)在(―8,+co)上为增函数，不合题意，故a>0.

令/'(x)=o,解得x=因为在(-1,1)上不单调，所以/'(x)=o在(一LD上有解，

3

需0〈叵<1，解得0<。<3,正确.

3

④令广(外=3/—12=0,得x=±2.根据函数的单调性，/(X)在［~4,5］上的最大值只可能为了(—2)或/(5).

因为/(-2)=15,/(5)=64,所以最大值为64,结论错误.

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.

2、B

【解析】

考虑当x>()时，丘—l=lnx有两个不同的实数解，令〃(x)=lnx-履+1,则〃(x)有两个不同的零点，利用导数和

零点存在定理可得实数人的取值范围.

【详解】

因为/(X)的图象上关于原点对称的点有2对，

所以x>0时，去一l=lnx有两个不同的实数解.

令/z(x)=lnx-Ax+l,则〃(x)在(0,+纥)有两个不同的零点.

又〃'(力=匕，，

当上W0时，〃'(x)>0,故〃(x)在(0,+助上为增函数，

〃(x)在(0,+“)上至多一个零点，舍.

当左>0时,

若则/i'(x)>0,/i(x)在(o/J上为增函数；

若则〃'(力＜0,〃(%)在上为减函数;

故Mx)max=d；)=ln：，

\KJK

因为〃(x)有两个不同的零点，所以ln\＞0,解得0V上＜1.

K

0,故6(x)在(0,%

又当0＜攵＜1时，且〃-<上存在一个零点.

ek

又二j=In;—§+1=2+2In/—e，，其中/

\k)kkk

O_pt

令g⑺=2+2hv-々，则g()=L3,

当r>l时，g'«)<0,故g(。为(i,+«)减函数，

所以g(r)<g(l)=2_e<0即〃0)<0.

+8)上也存在一个零点.

因为记＞”*＞7，所以力(%)在

综上，当0＜女＜1时，〃(x)有两个不同的零点.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说

明零点的存在性，本题属于难题.

3,C

【解析】

由图象可知可解得加=一(,利用三角恒等变换化简解析式可得/(x)=sin(2x+?),令〃x)=0,即可

求得不.

【详解】

.5兀,

依题意，/=BP2COS—•sin-----=

6

、

解得〃2二一!；因为/'(x)=2cosx・sin[x+工]-」=2cosx・—sinx+—COSX--

2V6/2(22)2

=V3sinxcosx+cos2x--=sin2x+—cos2x=sin(2x+—

222I6j

TTTT77r

所以2%+上=22万+代，当攵=1时，x0=—.

626

故选:C.

【点睛】

本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量，考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用，难度

一般.

4、C

【解析】

3x+Ju(〃eN*)展开式的通项为

4+i=C(3x)"(+]=3"-'£；:等,r=0,l,,n,因为展开式中含有常数项，所以〃一|「=0,即r=]〃为整

数，故n的最小值为1.

所以fy]a2-x2dx=f>j52-x2dx="工.故选C

a52

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第/•+1项，再由特定项的特点求出厂值即可.

⑵已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出厂值，最后求出

其参数.

5、D

【解析】

根据已知条件和等比数列的通项公式，求出〃Z〃关系，即可求解.

【详解】

n+n2

aman=a^2'~=3242,.-,m+n=l,

,1451413

当根=1,〃=6时，-+—=当根=2,〃=5时，一+一=一,

mn3mn10

14414IQ

当根=3,〃=4时，一+—=一，当根=4,〃=3时，一十一=一,

mn3mn12

14111425

当根=5,〃=2时，一+—=一,当机=6,力=1时,—I—=—

mn5mn6

14日,修位13

—।—最小值为二.

mn10

故选:D.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式，注意加，〃为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.

6、C

【解析】

化简得到z=-3-4z,得到答案.

【详解】

1—7z(1—7/)(1——6—8z

(l+z)z=l-7z,故2==-3-4/,对应点在第三象限.

1+z(l+z)(l-z)2

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.

7,B

【解析】

连接族，AG，cp,DF,由正四棱柱的特征可知MPAG，再由平面的基本性质可知，直线AE与直线G尸共

面.，同理易得AgC}D,由异面直线所成的角的定义可知，异面直线AS与GF所成角为NOGF，然后再利用

余弦定理求解.

【详解】

如图所不：

连接砂，AG，G。，DF,由正方体的特征得EFPAG，

所以直线AE与直线。尸共面.

由正四棱柱的特征得4用G。，

所以异面直线Ag与C7所成角为ZDC/.

设例=近，则AB=Vi4A=2,则。/=有，C、F=C，C[D=在,

由余弦定理，得〃?=cosNDC[F=,

故选：B

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.

8、A

【解析】

分别判断命题〃和q的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.

【详解】

对于命题"，由于sin(x+4)=—sinx,所以命题"为真命题.对于命题夕，由于。>0,由生匕>()解得一

且x)=ln匕=1.竺三]=-ln—=所以/(x)是奇函数，故4为真命题.所以〃人4为真命题.

a+x\a-xja-x

(—>/?)v(-i<7),pA(—K7)(-!〃)△4都是假命题.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.

9、A

【解析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代

入求得表面积公式计算.

【详解】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2,

底面为等腰直角三角形，斜边长为2近，如图：

s

R

・・・AA3C的外接圆的圆心为斜边AC的中点O,ODA.AC,且QDu平面SAC,

SA=AC=29

，sc的中点。为外接球的球心，

•­•半径R=g，

夕卜接球表面积S=4/rx3=12万.

故选：A

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据

求得外接球的半径是解答本题的关键.

10、D

【解析】

由|。4|=|0同可得，。在AB的中垂线上，结合圆的性质可知。在两个圆心的连线上，从而可求.

【详解】

因为|。4|=|°用，所以o在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，0（0,0）,G（〃z〃?+6）,。2（-1,2）三点

共线，所以生虫=-2,得m=-2,故选D.

m

【点睛】

本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.

11、D

【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值/（2）可区分剩余两个选项.

【详解】

1—/

因为A-x）=L二初X）知/（X）的图象不关于y轴对称，排除选项B,C.

e~x

1-43

又｛2)=^=-r<0.排除A,故选D.

【点睛】

本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.

12、D

【解析】

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得/(x)在R上为增函数，又由

2=log,4<log,7<3<3',2,分析可得答案.

【详解】

解：根据题意，函数/(x)=3x+2cosx,其导数函数f'(x)=3-2sinx,

贝！J有/'(x)=3—2sinx>0在R上恒成立，

则f(x)在R上为增函数；

又由2=log24<log27<3<3巴

则力<c<a；

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、6兀

【解析】

先由三视图在长方体中将其还原成直观图，再利用球的直径是长方体体对角线即可解决.

【详解】

由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示

长方体对角线长为+仔+/=&,所以三棱锥外接球半径r为半，故所求外接球的

表面积S=4万/=6万.

故答案为：6兀.

【点睛】

本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积，考查学生空间想象能力以及基本计算能力，是一道基础题.

14、x±V^y=O

【解析】

求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出。乃关系，即可求解双曲线的渐近线方程.

【详解】

22

a>b>0,椭圆G的方程为T+£=l，

C的离心率为：卜一",

a

22

双曲线G方程为二一4=1,

6rh

的离心率：,

.(b^_1b_y[2

■\«J31E，

C,的渐近线方程为：y=±皂x,即x±J^y=O.

2

故答案为：x±&〉=0

【点睛】

本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.

15、瓜兀

【解析】

由题意可得三棱锥ABC的三条侧棱尸4尸B,PC两两垂直，则它的外接球就是棱长为0的正方体的外接球，求

出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.

【详解】

解：因为PA=PB=PC,A8C为正三角形，

所以ZAPB=ZAPC=ZBPC,

因为PA，PC,所以三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,

所以它的外接球就是棱长为血的正方体的外接球,

因为正方体的对角线长为指，所以其外接球的半径为如，

2

所以球的体积为:乃X［乎)=娓兀

故答案为：瓜兀

【点睛】

此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.

1

16、-

4

【解析】

求出双曲线匕-y2=i的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数。的方程.

3

【详解】

双曲线三—y2=i的半焦距为2,则双曲线工—y2=i的右准线方程为渐近线方程为y=±Y3x,所以，该

3323

双曲线右准线与渐近线的交点为1,+^.

由题意得=2px|,解得〃=；.

故答案为：

4

【点睛】

本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17、(1)120(万)(2)y(3)填表见解析；有99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关

【解析】

(1)在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个，根据频率公式即可求得结果.

(2)由分层抽样的知识可得，抽取6人中,4人选择“森林城市，空气清新”,2人选择“降水充足，气候怡人”求出对应的

基本事件数，即可求得结果.

(3)计算K2的值，对照临界值表可得答案.

【详解】

(1)400x-^-=120(万)

1000

(2)从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，其中4人是选择“森

林城市，空气清新”，2人是选择“降水充足，气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清

新”，则,6⑷/蜉’.

(3)2x2列联表如下

自然环境人文环境合计

男100400500

女200300500

合计3007001000

1000x(100x300-200x400)2_1000

K2«47.619>10.828•

300x700x500x50021

所以有99.9%的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.

【点睛】

本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力，难度较易.

18、(1)an=n-2"-1,bn=2n(2)证明见解析

【解析】

(1)因为-=24+2""+N*),所以为M+l=2%+2"M+2(〃eN*),

所以守=铝+1，即第一嗖=1，又因为4=1，

所以数列｛喂｝为等差数列，且公差为1,首项为1,

贝！=l+=即《,=小2"-1.

设｛2｝的公差为d,则2-2T=2b„_l-2n+4-bll.l=b“_「2n+4=d,

所以〃i=2〃_4+d(H=2,3,),则包=2(1+1)_4+〃(〃eN*)，

所以4=2—々1=[2("+1)―4+刈一(2〃-4+d)=2,因此包=2(〃+1)-4+2=2〃,

tt

综上，an=n-2-\,b„=2n.

(2)设数列｛"-2"｝的前〃项和为M“，贝ljM“=lx2+2x22+3x23+4x2'++〃x2",

2M„=lx22+2x23+3x24+4x25++nx2"+l,

两式相减得-%=1x2+1x22+1x23+1x2"++Ix2n-nx2,,+l=(1-«)-2,,+l-2,

=(〃一1>2向+2,所以5“=(〃-1>2e+2_〃，

n]+5i±,

设"bll+l\g~则I2(”+1)1g2"短一(n+1)(〃+2)-2(Q-”+2)'

n

丁111111、CJ1、，2,

^rU7；=2x(Z---+---++--―--)=2x(---)=1一——<1.

2334n+1n+22n+2n+2

19、(l)a=-l,b=l;(2)-l.

【解析】

⑴对了（X）求导得/'（x）="-2x,根据函数.f（x）的图象在x=0处的切线为y=列出方程组，即可求出。力

的值；（2）由（1）可得/（力=/一尤2一1,根据/（力+工（3--51一2k"0对任意xeR恒成立，等价于

1

左〈/+，/-2一1对任意丫€恒成立，构造〃（力=2

；1/?2---x-1,求出〃'（X）的单调性，由〃'（0）＜0,

〃（1）＞0,可得存在唯一的零点使得/（%）=0,利用单调性可求出

/z（x）min=秋4）,即可求出k的最大值.

(1)/(x)=eA—x2+2a+b,/'(x)=e*-2x.

'/(0)=l+2a+b=0_a=-\

由题意知＜

1f⑼=l=bb=\

(2)由(1)知：/(x)=e*—%2—1,

A/(x)+；(3x2-5x-2A”0对任意xeR恒成立

1、5

e—x—x—1一左20对任意x£/?恒成立

22

k4e'H—x2—x—1对任意xGR怛成立.

22

^h^x)=ex+—X1-—x-1,则/2'(冗)="十工一9.

由于/(x)=靖+1>0,所以“(X)在R上单调递增.

又“(0)=_g<O,〃(i)=e—1>0,h'^=e2-2<0,"(j)=e&-孑>1+；—：=0,

/i3、

所以存在唯一的X()e-，^-，使得〃'(不)=(),且当X€(-oo,Xo)时，〃(x)<0,%€(%,+8)时，//(%)>0.即/z(x)

t，4/

在(-8,%)单调递减，在(不，+8)上单调递增.

所以MHmin=〃(%。)=*+g|/T•

x

又〃'(%)=0,即e%+Xo_5=0,；.e°=-^--x0.

〃(Xo)='|_Xo+gx：-'|x()_l=g(x；_7xo+3).

又因为ZWe*+g%2一1^一i对任意R恒成立0%4〃(%),

又AeZ，；.％max=-1.

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得

出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

20、(1)/"(%)=-0.05e~0g+i；⑵r(x)=2sin4x+4cos2x.

【解析】

(1)根据复合函数的求导法则可得结果.

(2)同样根据复合函数的求导法则可得结果.

【详解】

⑴令“(%)=-0.05x+l,(p[u)-eu,则=0[u(x)],

而M(x)=-0.05,(p'(ii)=eu,故/'(x)=e4血”xl-Oab-Oae_005。

(2)令w(x)=sin2x+l,0(u)=炉,则=,

而M(x)=2cos2x,e'(")=2"，故/'(x)=2cos2xx2“=4cos2x(sin2x+l),

化简得至!IJ"(x)=2sin4x+4cos2x.

【点睛】

本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的

导数，本题属于容易题.

21,(1)4=2'出(2)——

2«+4

【解析】

(1)由基本量法，求出公比4后可得通项公式;

(2)求出"，用裂项相消法求和.

【详解】

解：(1)设等比数列｛4｝的公比为找4>0)

,112112

又因为q=4,丁丁丁所以文彳

47

解得4=—1(舍)或