2022-2023学年度湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷

2022-2023学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.1．（3分）若代数式3−a有意义，则a的取值范围是（）A．a≥3 B．a＝3 C．a≤3 D．a≠32．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．12 B．a2+1 C．133．（3分）下列计算正确的是（）A．32−2=3 B．2+34．（3分）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．AB＝15，BC＝8，AC＝17 B．AB：BC：AC＝2：3：4 C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：35．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．全等三角形的对应角相等 B．若a＞0，则a2C．两条直线平行，内错角相等 D．若两个实数相等，则它们的绝对值相等6．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，AD＝BC C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB∥CD，∠A＝∠C7．（3分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（）A．53尺 B．6.25尺 C．4.75尺 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝25，对角线BD＝48，若过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE的长为（）​A．33625 B．7 C．14 D．9．（3分）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝30，AB＝13，则△ABC的周长是（）​A．26 B．43 C．30 D．2810．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边与坐标轴重合，OA＝2，OC＝1．将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点B的坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（1，﹣2）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）化简(−3)212．（3分）小明从A地向正东方向走80m后，又向正北方向走了60m到达B处，则AB两地相距m．13．（3分）▱ABCD的对角线AC，BD相交于点E，BC＝4且F为AB的中点，则EF＝．14．（3分）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠BAC的大小是．15．（3分）在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥DC，CE交BD于F，下列结论：①CD平分∠ECG；②∠EDB＝45°；③（2−1）CD＝DE；④CF：AE＝（2+1）：1，其中正确的是16．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=3AB，将△ABD沿射线BD的方向平移，得到△EFG，连接EC，ED，FC，则EC+FC的最小值为​三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：（1）18−（2）212×18．（8分）如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．19．（8分）已知x=3+2，y（1）x2+2xy+y2；（2）x2﹣y2．20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：BD垂直平分AC；（2）若AB=5，AC＝2BD，求OE21．（8分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）四边形OABC是．（请从中选择：平行四边形，矩形，菱形）（2）线段CD⊥CB，且CD＝CB，请在网格中画出对应线段CD；（3）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；（4）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F．22．（10分）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10(3+3)海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶202海里后到达B处，此时观测小岛P位于（1）若过点P作PC⊥AB于点C，则PC：AC＝；（2）求A，P两点之间的距离AP；（3）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由B处开始沿南偏东至多°的方向航行能安全通过这一海域．23．（10分）（1）如图（1），在▱ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：DE＝BF．探究：（2）如图（2），在▱ABCD中，AC、BD是两条对角线，则AC2+BD2＝2（AB2+BC2），请探究这个结论的正确性．迁移：（3）如图（3），AD是△ABC的中线，若AC=62，AD＝7，AB＝8，直接写出边长BC＝24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别为O（0，0），A（4，0），C（0，c），动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB方向移动，作△PAO关于直线PO的对称△PA′O，设点P的运动时间为t（s）．（1）当c=x−2①矩形的顶点B的坐标是；②如图2．当点A′落在OB上时，显然△PA′B是直角三角形，求此时A′的坐标；（2）若直线PA′与直线BC相交于点M，且当t＜3时，∠POM＝45°．问：当t＞3时，∠POM的大小是否发生变化，若不变，请说明理由．

2022-2023学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.1．（3分）若代数式3−a有意义，则a的取值范围是（）A．a≥3 B．a＝3 C．a≤3 D．a≠3【解答】解：由题意得，3﹣a≥0．∴a≤3．故选：C．2．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．12 B．a2+1 C．13【解答】解：A选项，12=23B选项，a2C选项，13D选项，3a2=故选：B．3．（3分）下列计算正确的是（）A．32−2=3 B．2+3【解答】解：A、原式＝22，所以A选项的计算错误；B、2与3不能合并，所以B选项的计算错误；C、原式=2÷3=6D、原式=5×2=10故选：D．4．（3分）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．AB＝15，BC＝8，AC＝17 B．AB：BC：AC＝2：3：4 C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3【解答】解：A、152+82＝172，符合勾股定理的逆定理，故成立，不符合题意；B、因为AB：BC：AC＝2：3：4，所以设AB＝2x，BC＝3x，AC＝4x，则（2x）2+（3x）2≠（4x）2，故不为直角三角形，符合题意；C、因为∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠A＝90°，故为直角三角形，不符合题意；D、因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，故x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，2x＝30°×2＝60°，3x＝30°×3＝90°，故此三角形是直角三角形，不符合题意．故选：B．5．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．全等三角形的对应角相等 B．若a＞0，则a2C．两条直线平行，内错角相等 D．若两个实数相等，则它们的绝对值相等【解答】解：A、全等三角形的对应角相等，逆命题是：对应角相等的三角形全等，是假命题，不符合题意；B、若a＞0，则a2=a，逆命题是：若a2=C、两条直线平行，内错角相等，逆命题是：内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；D、若两个实数相等，则它们的绝对值相等，逆命题是：若两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等，是假命题，不符合题意；故选：C．6．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，AD＝BC C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB∥CD，∠A＝∠C【解答】解；A、由AB＝BC，CD＝DA，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；B、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；C、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；D、如图，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．7．（3分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（）A．53尺 B．6.25尺 C．4.75尺 【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+52＝（10﹣x）2．解得：x＝3.75，∴折断处离地面的高度为3.75尺，故选：D．8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝25，对角线BD＝48，若过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE的长为（）​A．33625 B．7 C．14 D．【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD＝24，∴∠AOB＝90°，∴OA=A∴AC＝14，∵菱形的面积＝AB•CE=12AC•即25×CE=1解得：CE=336故选：A．9．（3分）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝30，AB＝13，则△ABC的周长是（）​A．26 B．43 C．30 D．28【解答】解：设AC＝b，BC＝a，AB＝c，由图可得，ab2+12π（a2）2+12π（b2）2＝S1+S∵∠ACB＝90°，∴a2+b2＝c2，∴ab2=S1+S∵S1+S2＝30，∴ab＝60，∵a2+b2＝c2，c＝13，∴（a+b）2﹣2ab＝c2，∴（a+b）2＝c2+2ab，即（a+b）2＝132+2×60，∴（a+b）2＝289，∴a+b＝17或a+b＝﹣17（不合题意，舍去），∴a+b+c＝17+13＝30，即△ABC的周长是30，故选：C．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边与坐标轴重合，OA＝2，OC＝1．将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点B的坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（1，﹣2）【解答】解：由题可知，将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，∴每旋转4次则回到原位置，∵2023÷4＝505……3，∴第2023次旋转结束后，图形顺时针旋转了90°，∵OA＝2，OC＝1，∴B（2，1），∴第2023次旋转结束时，点B的坐标是（1，﹣2），故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）化简(−3)2【解答】解：（−3）2故答案为：3．12．（3分）小明从A地向正东方向走80m后，又向正北方向走了60m到达B处，则AB两地相距100m．【解答】解：根据勾股定理得，AB两地相距=802故答案为：100．13．（3分）▱ABCD的对角线AC，BD相交于点E，BC＝4且F为AB的中点，则EF＝2．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点E，∴AE＝CE，∴E为AC的中点，∵F为AB的中点，BC＝4，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=12BC故答案为：2．14．（3分）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠BAC的大小是25°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°，∴∠BAC＝25°，故答案为：25°．15．（3分）在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥DC，CE交BD于F，下列结论：①CD平分∠ECG；②∠EDB＝45°；③（2−1）CD＝DE；④CF：AE＝（2+1）：1，其中正确的是①②③【解答】解：延长ED交CG的延长线于K，作DH⊥EC于H．∵BE＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∴∠ECK＝45°，∵点D是AG的中点，∴AD＝DG，又∵∠A＝∠DGK＝90°，∠ADE＝∠GDK，∴△DAE≌△DGK（ASA），∴DE＝DK，∵CD⊥EK，∴EC＝CK，又∵DE＝DK，∴∠DCK＝∠DCE＝22.5°，∴CD平分∠ECG，故①正确；∵AB＝CG，∠A＝∠CGD＝90°，AD＝DG，∴△ABD≌△GCD（SAS），∴∠ABD＝∠GCD＝22.5°，∴∠DBC＝∠BCD＝67.5°，∴∠BDC＝45°，∴∠EDB＝45°，故②正确；∵∠DCK＝∠DCE＝22.5°，∴∠K＝∠CED＝∠CBF＝67.5°，∴∠EFD＝67.5°＝∠FED＝∠CFB＝∠CBF，∴DE＝DF，BC＝CF，又∵DH⊥EF，∴EH＝FH，∵AB∥CG，∴∠AED＝∠K＝67.5°＝∠CED，又∵∠A＝∠DHE＝90°，DE＝DE，∴△ADE≌△HDE（AAS），∴AE＝EH＝HF，设AD＝DG＝a，则BC＝BE＝CF＝2a，∵EC＝22a，∴EF＝22a﹣2a，AE＝EH＝HF=2a﹣a∴（2−1）CD＝（2−1）•(∵DE=AE2∴（2−1）CD＝DE，故③正确∵CFAE=2∴故④错误，故答案为：①②③．16．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=3AB，将△ABD沿射线BD的方向平移，得到△EFG，连接EC，ED，FC，则EC+FC的最小值为43​【解答】解：连接AC，与BD交于点P，在边长为4的菱形ABCD中，AC⊥BD，BD＝2BP，∵BD=3AB，AB∴BD＝43，∴BP＝23，由勾股定理得：CP=B∴∠CBP＝30°，∴∠ABD＝∠CBP＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EFG，∴EF＝AB＝4，EF∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EF＝CD，EF∥CD，∴四边形EFCD是平行四边形，∴ED＝FC，∴EC+FC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线AE上，∴作点D关于定直线AE的对称点M，连接CM交BG于O，∴CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝4，∴∠ADM＝60°，∵D，M关于AH对称，∴DH＝MH=12∴DM＝4，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDO+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴∠CBD＝∠CDB＝∠M＝∠DCM，∵CD＝CD，∴△CDM≌△BCD（AAS），∴CM＝BD＝43，则EC+FC的最小值为43．故答案为：43．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：（1）18−（2）212×【解答】解：（1）原式＝32−4＝0；（2）原式＝2×=318．（8分）如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：连接AC，设AC与BD交于点O．如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵BE＝DF，∴OE＝OF．∴四边形AECF是平行四边形．19．（8分）已知x=3+2，y（1）x2+2xy+y2；（2）x2﹣y2．【解答】解：（1）原式＝（x+y）2＝（3+2+3＝12；（2）原式＝（x+y）（x﹣y）＝（3+2+3−2）（3＝23×=8320．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：BD垂直平分AC；（2）若AB=5，AC＝2BD，求OE【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∵AB＝AD，∴AB＝CD，∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC；（2）解：在菱形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，∵AC＝2BD，∴AO＝2BO，∵AB=5，∠AOB根据勾股定理，得AO2+OB2＝AB2，∴5OB2＝5，解得OB＝1或OB＝﹣1（舍去），∴AO＝2，∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，∴OE＝OA＝2．21．（8分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）四边形OABC是菱形．（请从中选择：平行四边形，矩形，菱形）（2）线段CD⊥CB，且CD＝CB，请在网格中画出对应线段CD；（3）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；（4）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F．【解答】解：（1）∵O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0），∴OA=32+42=5，OC∴OA＝AB＝BC＝OC，∴四边形OABC是菱形；故答案为：菱形；（2）如图，把CB绕C点逆时针旋转90°得到CD，则CD为所作；（3）如图，先确定BD的中点P，延长CP交AB于E点，则E点为所作；（4）如图，F点为所作．22．（10分）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10(3+3)海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶202海里后到达B处，此时观测小岛P位于（1）若过点P作PC⊥AB于点C，则PC：AC＝3：3；（2）求A，P两点之间的距离AP；（3）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．【解答】解：（1）PC⊥AB于点C，∴△APC是直角三角形，由题可知∠PAC＝30°，∴PC：AC＝tan∠PAC＝tan30°=3故答案为：3：3；（2）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝202海里，设PC＝x海里，则BC＝x海里，在Rt△PAC中，∵tan30°=PC∴x＝106+102∴PA＝2x＝（206+202答：A，P之间的距离AP为（206+202（3）因为PC﹣10（3+3）＝106+102−30﹣103=10（所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE＝10（3+3有sin∠PBE=10(3+∴∠PBD＝60°，∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，90°﹣15°＝75°，因此，要小于75°才安全通过，答：海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．故答案为：75．23．（10分）（1）如图（1），在▱ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：DE＝BF．探究：（2）如图（2），在▱ABCD中，AC、BD是两条对角线，则AC2+BD2＝2（AB2+BC2），请探究这个结论的正确性．迁移：（3）如图（3），AD是△ABC的中线，若AC=62，AD＝7，AB＝8，直接写出边长BC＝219【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠D＝∠B，∵AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△AED和△CFB中，∠AED=∠CFB∠D=∠B∴△AED≌△CFB（AAS），∴DE＝BF．（2）解：如图2，作DE⊥BA交BA的延长线于点E，作CF⊥AB于点F，则∠E＝∠BFC＝∠AFC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAD＝∠FBC，在△EAD和△FBC中，∠E=∠BFC∠EAD=∠FBC∴△EAD≌△FBC（AAS），∴AE＝BF，DE＝CF，∴BE＝AB+AE＝AB+BF，∴AC2＝AF2+CF2＝（AB﹣BF）2+CF2，BD2＝BE2+DE2＝（AB+BF）2+CF2，∴AC2+BD2＝AB2﹣2AB•BF+BF2+CF2+AB2+2AB•BF+BF2+CF2＝2AB2+2（BF2+CF2），∵BF2+CF2＝BC2，∴AC2+BD2＝2AB2+2BC2＝2（AB2+BC2），∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）这个结论是正确的．（3）如图3，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE、CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴四边形ABEC是平行四边形，∵AC＝62，AD＝