高中数学同步讲义（人教A版必修二）第32讲 8.5.2 直线与平面平行（学生版）

第09讲8.5.2直线与平面平行课程标准学习目标①掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题。②掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行。1.线面平行的判定定理中，包含要素:两线一面.两线一面的关系是:一线在面外一线在面内.结论是:线面平行.线面平行的性质定理中，包含要素:两线两面.两线两面的关系是:一线在一面内平行于另一面，一线是两面的交线，结论是:两线平行。2.熟记和理解直线和平面平行的判定定理和性质定理，就能灵活运用实现“线线”“线面”平行的转化知识点01：直线与平面平行(1)直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述：图形语言直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题)即线线平行线面平行【即学即练1】（2024·全国·高二专题练习）能保证直线a与平面α平行的条件是（

）A．b⊂α，abB．b⊂α，cb，acC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，ab【答案】D【详解】根据线面平行的判定定理知，选项A：条件缺少，所以不成立，故A错误；选项B：同上，条件缺少，所以不成立，故B错误；选项C：b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，要加且ABCD，所以不成立，故C错误；选项D：根据线面平行的判定定理知结论成立，故D正确；故选：D．(2)直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：，，简记：线线平行线面平行注意：①定理中三个条件缺一不可②简记：线面平行，则线线平行③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据④定理的关键：寻找平面与平面的交线【即学即练2】（多选）（湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（

）A．重合 B．相交于一点 C．两两平行 D．恰有两条交线平行【答案】ABC【详解】如图，作出一个长方体.对于A项，可把平面依次取为平面，它们两两相交于共同的交线,故A项正确；对于B项，可把平面依次取为平面，此时，,,,而易得三条交线交于同一点D，故B项正确；对于C项，可把平面依次取为平面,此时，,,,而易得三条交线两两平行，故C项正确；对于D项，可把平面依次取为平面,此时，,,,若只有,因平面，而平面，则平面,又平面,而平面平面=，则有,即交线的位置关系不可能是恰有两条交线平行，故D项错误.故选：ABC.题型01判断，证明线面平行【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？【典例3】（2024上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，、分别为、的中点.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：平面.【变式1】（多选）（2024上·江西南昌·高三统考开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.求证：平面；【变式3】（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面是菱形，，分别是，的中点．求证：平面.

题型02补全线面平行的条件【典例1】（2023上·北京·高二北师大二附中校考期中）已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是．（写出一种即可）【典例3】（2023·高一课时练习）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．【变式1】（2024·全国·高一假期作业）在空间中，直线平面的一个充要条件是（

）A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过【变式2】（多选）（2023下·全国·高一专题练习）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（

）A． B． C． D．【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件时，A1P平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)题型03线面平行的性质【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．求证：.【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）木工小罗在处理如图所示的一块木料时，发现该木料表面内有一裂纹，已知平行于平面AC．他打算经过点M和棱将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，为线段的中点，平面与棱相交于点.求证：.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．设平面与平面相交于直线，求证：.【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，点A，B分别位于异面直线a，b上，过AB中点O的平面与a，b都平行，M，N分别是a，b上异于A，B的另外两点，MN与交于点P．求证：P是MN的中点．

【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）空间四边形中，点为边上的点，且，求证：.

题型04由线面平行的性质判断线段比例或点所在位置【典例1】（2023下·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（

）

A．1 B．2 C． D．【典例2】（2023上·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且平面，则.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.【变式1】（2023上·上海浦东新·高三校考期中）如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则．

【变式2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，若平面，则.【变式3】（2023下·全国·高一随堂练习）A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时，．

题型05由线面平行求线段长度【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知直三棱柱的侧棱和底面边长均为分别是棱上的点，且，当平面时，的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在和上，并且，平面，则线段的长为．【典例3】（2023下·高一课时练习）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023下·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为.【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024·全国·高一假期作业）若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（

）A．3 B． C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于（

）A．4.5 B．5 C．5.4 D．5.53．（2023下·全国·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（）①，；②，；③，；④，；⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤4．（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）已知四棱柱，则下面四条直线中与平面平行的是（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点，平面，则的长度为（

）

A． B． C． D．26．（2024·全国·高一假期作业）已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论：①直线平面；

②直线平面；③直线平面；

④直线平面CDE.其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024·全国·高一假期作业）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（

）

A．1 B．2 C． D．8．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（

）

A． B． C． D．二、多选题9．（2024上·江西南昌·高三统考开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

10．（2023下·贵州黔东南·高一校考阶段练习）若直线平面，且直线不平行于平面.给出下列结论正确的是（

）A．内的所有直线与异面 B．内存在直线与相交C．内存在唯一的直线与平行 D．内不存在与平行的直线三、填空题11．（2024上·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则.12．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时，.

四、解答题13．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.求证：平面；14．（2024上·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.B能力提升1．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，若平面，则.2．（2023·四川·校联考模拟预测）在正四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为