第八章解析几何专题6有关张角的最值问题 讲义（含解析） 2024年高考数学二轮复习（新高考新教材）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题6

有关张角的最值问题(山东省日照市2024届高三上学期期中校际联合考试数学试卷T16)已知函数，点A，B是函数图象上不同的两个点，则（为坐标原点）的取值范围是________.基于张角的动态形成过程，结合动点A、B所在图象的几何特征，通过数形结合，易知当OA，OB分别与曲线相切时，最大.令，，∴，画草图，显然当OA，OB分别与曲线相切时，最大设相切时，则，得设OA倾斜角为，则设相切时，则，设OB倾斜角为，则，又显然当A，B，O三点可以共线，此时，综上.1.定义：点P为曲线外的一点，A，B为曲线上的两个动点，当取最大值时，为点P对曲线的张角.已知点P为直线l：上的动点，A，B为圆O：上的两个动点，设点P对圆O的张角为，则的最大值为.【答案】【分析】当过点O的直线与直线l垂直时张角最大，即可求解.【详解】由题可知点P在圆O外，当PA，PB均与圆O相切时，最大，则也最大，此时.要使最大，则最小，又的最小值为点O到直线l的距离，所以，所以.故答案为：2.如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则.【答案】1【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.【详解】函数，因为，所以该函数在单调递减，在单调递增.过原点作的切线，设切点，由，则切线的斜率为，直线过，∴，∴，即，由函数与的图象在有且只有一个交点，且当时满足方程，故方程有唯一解，则；过原点作的切线，设切点，由，得切线的斜率，则切线过原点，则有，∴，则，则有，∴两切线垂直，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则，.故答案为：1.基于动点A、B的变化，通过坐标，将张角，分别将正切值通过函数关系表达，然后通过导数法和基本不等式求出最值.，，考查，当时，，而，∴时，，当时，∴，∴，∴1.已知曲线C，直线，点，，以曲线C上任意一点M为圆心、MF为半径的圆与直线l相切，过点的直线与曲线C交于A，B两点，则的最大值为.【答案】【分析】先由动点的轨迹得出曲线轨迹方程，通过选设直线方程与抛物线方程联立得出韦达定理，接着验证过定点的两直线的斜率之和为零，得出两直线关于轴对称，从而将求的正切值转化为求的正切值，再结合表达式运用基本不等式，函数单调性即得.【详解】如图，依题意，曲线C上任意一点M到定点的距离等于点到定直线的距离，故点M的轨迹是抛物线，其轨迹方程为：.设直线AB的方程为，由消去得：，不妨设，，则必有且，，分别记直线的斜率为，则，所以.（两直线的斜率之和为0.则两直线关于x轴对称）设，则，当且仅当时等号成立，所以，（利用基本不等式求出的范围）则，不妨设记，则，因在上为减函数且恒为正数，故在上为增函数，则有故的最大值为.故答案为：.2.已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为.【答案】/【分析】设出点坐标，求得坐标，进而求得的表达式，并利用三角恒等变换、基本不等式等知识求得的最大值.【详解】依题意，设，根据椭圆的对称性，以及题目所求“的最大值”，不妨设，，则，即，所以由于，所以由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.故答案为：【点睛】在椭圆中，求解最值有关问题，如线段长度、面积、角度等量的最值，可考虑先求得其表达式，然后根据表达式的结构选取合适的求最值的方法来进行求解，如本题中，利用三角换元，然后结合基本不等式来求.还可以考虑二次函数的性质、函数的单调性等知识来进行求解.通过常见的切线放缩：，将，从而使得最值更快的求解出来.画出的草图，时，在单调递增，所以在单调递增，设，，当且仅当时，取“＝”，所以，（证明：）令，则，∴，∴，即，∴当直线OB与图像相切时，最大设OB方程，令，即，∴，∴，∴，∴，∴1．已知函数．A，B为函数的图象上任意两点，O为坐标原点，则的最大值为．2．定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为.3．已知分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为．4．已知是椭圆的左，右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，设的内切圆圆心为，则的最大值为.5．已知是拋物线上两点，且，为焦点，则最大值为.6．在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（

）（精确到1米）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米7．足球场上有句顺口溜：冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，射点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为标准对称的足球场示意图，设球场长，宽，球门长.在某场比赛中有一位左边锋球员欲在边线AB上点M处射门，为使得张角最大，则（

）A． B． C． D．8．已知圆，过点与圆上一点的直线的斜率范围是；若点A恰好为过其所在的直线中对圆O张角最大的点（张角是指这个点到圆所作两条切线的夹角），则此直线的表达式为．9．如图，是两个新建小区，到公路的垂直距离分别为，且，中国移动决定在线段两点之间找一个点P建立一个信号塔（P不与重合），当P对两地的张角越大时，信号的辐射范围越大．①当为直角时，；②当，信号的辐射范围最大．10．如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.(1)求弯道段所确定的函数的表达式；(2)绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.11．如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．##【分析】首先根据题意分析出点A，B分别在两段曲线上，并数形结合得到直线OA，OB分别与两段曲线相切且A，B均为切点时最大，不妨设，（其中，），然后利用导数的几何意义及平面几何知识得到，，最后利用两角和的正切公式即可得解．【详解】解：当时，由，得，故当时，函数的图象是四分之一圆．在平面直角坐标系中作出函数的大致图象，如图所示，要使最大，则A，B两点分别在两段曲线上，不妨设，（其中，），数形结合可知最大时，直线OA与的图象相切且A为切点，直线OB与圆相切且B为切点．由，得，当直线OA与的图象相切时，，化简得．令，易得为增函数且，所以，所以．当直线OB与圆相切时，设直线OB的方程为，则，得．所以，所以的最大值为．故答案为：2．【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断最小时最小，再设，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得最小值，即得结果.【详解】解：如图，，要使最小，则最大，即需最小.设，则，∴当，即时，，，此时或，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于理解新定义，将的最小值问题转化为线段最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.3．【分析】设出点，由，求出，再利用基本不等式得出的范围，得解.【详解】

由椭圆的方程知右顶点为，左右焦点分别为，，设，不妨设，则，，，当且仅当，即时等号成立，又，，所以的最大值是.故答案为：.4．##【分析】最大当且仅当最大，即最小，再利用余弦定理结合椭圆的定义求解作答.【详解】因为为的内切圆圆心，则，显然是锐角，当且仅当最大时，最大，且最大，又，即有最小，在椭圆中，，在中，，当且仅当时取等号，因此当，即为正三角形时，取得最大值，取最大值，所以的最大值为.故答案为：【点睛】思路点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正余弦定理，椭圆定义．5．【分析】根据抛物线的几何意义，再利用余弦定理与基本不等式求余弦的最小值再判断即可.【详解】拋物线的焦点，由题得，，即，故，即，因为，且余弦函数在内单调递减，故，当且仅当时成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径公式与余弦定理的综合运用等，需要根据题意列出对于的余弦定理，再利用基本不等式分析最值,属于中等题型.6．C【分析】利用表示出，再结合基本不等式求解.【详解】由题意知，，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以大约为10米.故选：C.7．B【分析】设，利用两角差的正切公式求出，再由均值不等式求最值即可求解.【详解】设，则，,所以，因为,当且仅当,即等号成立，所以时，有最大值，由正切函数单调性知，此时张角最大.故选：B8．【分析】由过点A的直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值，设出直线方程，由解出斜率即可求解；先判断出越小张角越大，显然当垂直直线，求出直线斜率，写出方程即可.【详解】如图建立平面直角坐标系，为坐标原点，显然当过点A的直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值，设过点A的直线：，直线与圆相切：解得：，则斜率范围是．如图，当，则越小张角越大，当垂直直线时，最小即张角最大，此时直线斜率，故直线方程为：，即.故答案为：；.9．1或2##2或1##【分析】（1）设，，当时，，代入式子求解即可；（2）当时，，通过换元，将式子变形，对正切函数求最值即可得到答案.【详解】设，，①当时，，解得或2，所以此时或；②当时，，由题意，张角要达到最大，，令取负数时，对应的是钝角，时，，当且仅当时取等，由正切函数单调性可知，此时张角为达到最大．即.故答案为：1或2；10．(1)；(2).【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，可得抛物线方程为，即得；（2）设，利用两角和公式可得，令再利用基本不等式可得的最大值，即求.【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，则，设抛物线的方程为，则，∴，即，∴弯道段所确定的函数；（2）设，过P作PQ⊥CD于Q，则，∴，令则，∴，当且仅当，即，时取等号，∴当时，最大，即最大，∴点的坐标为时，点处监测段的张角最大.11．(1)；（2）．【详解】试题分析：（1）设，我们只要利用已知列出关于的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义，，，因此有，解之得；实际上本题可用相似形知