2.6.1函数的单调性（课件）高二数学（北师大版2019选择性）

函数的单调性（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:

（3）.三角函数：（1）.常函数：(C)/

,(c为常数)；

（2）.幂函数：(xn)/

温故知新导数的运算法则:法则1:法则2:法则3:判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数的单调性。xyo函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：

首先我们回忆一下函数的单调性的概念和导数的几何意义.函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈D且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D上是减函数；若f(x)在D上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在D上具有严格的单调性。D称为单调区间D=(a,b)二、复习引入:(2)作差f(x1)－f(x2)(作商)用定义法证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2∈D，且x1<x2.(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与0比较)(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)结论本章学后，此方法基本上就被淘汰yx0abc单调性导数的正负函数及图象xyoxyo切线斜率的正负xyo函数单调性与导数的关系？k>0k>0k<0k<0++--递增递减导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：(1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增；(2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.抽象概括：导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：注意

若在某个区间内,f'(x)≥0且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增;

若在某个区间内，f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.例1讨论函数f(x)=2x3一3x2—36x+16的单调性.解f'(x)=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3).设f'(x)＞0,则6(x+2)(x-3)＞0,即x＜-2或x＞3.故当x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)时,f'(x)＞0,因此，在这两个区间内，函数f(x)均单调递增；当x∈(-2,3)时,f'(x)＜0,因此，在这个区间内，函数f(x)单调递减.函数的单调性决定了函数图象的大致形状.因此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一些特殊的点，如(-2,60),(3,-65)等，就可以画出函数的大致图象.图2-14即为函数f(x)=2x3一3x2—36x+16的大致图象.总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。纳①求定义域②求③令④作出结论1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？归

解：（1）因为f(x)=x3+3x，所以f′(x)=3x2+3=3(x2+1)>0；所以函数f(x)=x3+3x

在R

上单调递增，如图(1)所示；y

=x3

+3xxyO（1）xyO

（2）11

例2已知导函数的下列信息:当1<x<4时,当x>4,或x<1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.解:

当1<x<4时,可知在此区间内单调递增;

当x>4,或x<1时,可知在此区间内单调递减;

当x=4,或x=1时,

综上,函数图象的大致形状如右图所示.xyO14变式：已知导函数的下列信息：试画出函数图象的大致形状。分析：ABxyo23ABxyo23变式：已知导函数的下列信息：试画出函数图象的大致形状。分析：ABxyo23解：的大致形状如右图：xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C高考试练习：尝设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()总结:

当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。纳①求定义域②求③令④作出结论1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？归总结：1.导数求单调区间首先要确定函数的定义域2单调区间不能用“∪”联系，而只能用“，”隔开注意高考试Bxyo练习尝

例：f(x)=x3,f(x)=x-sinx已知函数在(a,b)上的单调性,求参数的取值范围:（1）若f(x)在区间(a,b)上是增函数,则转化为f´(x)≥0在(a,b)上恒成立;（2）若f(x)在区间(a,b)上是减函数,则转化为f´(x)≤0在(a,b)上恒成立.然后检验参数的取值能否使f´(x)恒等于0.请注意：逆向问题——已知单调性求参数有“=”f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.例3.讨论二次函数的单调区间.解:

由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是

由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是拓展提升：方程根的问题求证：方程只有一个根。随堂练习1.函数在R上是减函数，则（）D2.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数f'(x)的图象可能是（）(A)(B)(C)(D)D3.已知函数则的单调区间为

4.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，若f(x)的单调减区间为(0,4)，则k=____.1

4.讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当或时，f(x)是增函数.令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当时,f(x)是减函数.

5.如果函数y=f(x)的图象如图1，那么导函数的图象可能是（

）A评注：利用函数的图像求导函数的图像，应注意函数的单调性与导函数的正、负的关系.

6.若上是减函数，则b的取值范围是（）A.

B.

C.

D.C

解析:由条件，函数上是减函数，则.7.函数f(x)的导函数

f′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是()A．函数f(x)在区间(-3，0)上是减函数B．函数f(x)在区间(1，3)上是减函数C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数D．函数f(x)在区间(3，4)上是增函数A

x(−∞，−1)−1(−1，2)2(2，+∞)f′(x)+0−0+f(x)单调递增单调递减单调递增所以，f(x)在(−∞，−1)和(2，+∞)上都单调递增，在(−1，2)上单调递减.xyO

函数单调性与导数正负的关系注意：应正确理解“某个区间”的含义,它必须是定义域内的某个区间。小结小结＊

用导数求函数的单调区间：（1）求，并判断的符号；

（2