2023-2024学年上海市高二年级上册期中数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年上海市高二上册期中数学模拟试题

一、填空题

1.两两相交的三条直线可确定个平面.

【正确答案】I或3

【详解】当三条直线交于一点时，可以确定3个平面；当三条直线两两相交，有三个交点时,

可确定1个平面.两两相交的三条直线可确定1个或3个平面.

2.若向量。=(1,0,1),6=(0,1,1)的夹角为。，则0=.

TT

【正确答案】y

【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解.

【详解】因为”=(1,0,1)力=(0,1,1),所以〃力=1,何=0料=0,

八ab1

所以cos6=EJ=K，

m2

因为兀］,所以e=g,

故答案为：y.

3.一个平面截一个球得到面积为3兀的圆面，球心到这个圆面的距离等于球半径的一半，则

该球的体积等于.

【正确答案】于32兀

【分析】根据截面半径和球心到截面的距离与球的半径的勾股关系直接求解.

【详解】由平面截一个球得到面积为3兀的圆面可得，截面圆的半径为，=石，

设球的半径为R,球心到这个圆面的距离为d=

所以由勾股定理可得产=/+户，即R2=/=3,所以R=2,

4

所以球的体积为飙=等，

故答案为：子32兀.

4.某圆锥的底面半径为1,沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为弓的扇形.则该圆

锥的侧面积为.

【正确答案】3兀

【分析】根据已知可得扇形的弧长为2兀，进而根据弧长公式求出扇形的半径即圆锥的母线,

即可求出答案.

【详解】设圆锥的母线为/,底面半径r=l,扇形的半径为/.

由己知可得，AB的长为2口=2兀，

2兀2兀

又=—，由2兀=一/可得，1=3.

33

所以圆锥的侧面积为S=兀〃=3兀.

故答案为.3兀

5.已知空间向量4=(2,-3,1),b=(x,6,-2).若aMb，则4.

【正确答案】-4

【分析】依题意可得义”=6,根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可.

【详解】解：因为。=(2,—3,1),b=(x,6,—2)且0/0，

x=2A

A=-2

所以而=6,BP-6=-32,解得

x=-4

-2=2

故T

6.设三棱柱ABC-ABC的体积为1,则四棱锥A-BCC冉的体积为

【正确答案】I

【分析】因为，一8"向=匕,.48+匕,一6尾，根据等体积法求出三棱锥A-BCG的体积，然后

求出三棱锥A-瓦8c的体积，即可得出结果.

【详解】

如图，连结Aq,AC,BQ.

设.ABC的面积为S,则△ABC的面积为S,设的=/z.

由已知力C-&B1G=S/7=1，所以匕,-qcc,=匕f4G=gS/l=g.

又!皿=京仁:，所以以-gc=匕比-44。-9/cq一匕-"。=；•

所以Klj-BCC.B）=VvMCC[+匕1-用3。=§.

故答案为

7.在矩形A8CO中，E为边A£＞的中点，AB=\,BC=2,分别以A、£＞为圆心，1为半径

作圆弧E8、EC（E在线段AD上）.由两圆弧£»、EC及边BC所围成的平面图形绕直线AO

旋转一周，则所形成的几何体的表面积为.

【正确答案】8兀

【分析】由已知可得，旋转得到的儿何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，该几何体的表面

包括圆柱的侧面以及两个半球的表面，分别求出圆柱的侧面积以及球的表面积即可得出答

案.

【详解】由已知可得，该几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球.

圆柱的底面半径r=l,母线1=2,所以圆柱的侧面积为2口/=4兀.

两个半球的表面积为2xgx4兀/=4兀.

该几何体的表面包括圆柱的侧面以及两个半球的表面，所以几何体的表面积为87t.

8.空间四边形A8CQ各边及对角线长均为E,F,G分别是A8,AD,OC的中点,

贝UGE-GF=.

【正确答案】g##0.5

【分析】利用向量的线性运算，转化向量，再计算向量的数量积.

【详解】如图，GE=AE-AG=^AB-^AC+AD)=^AB-AC-AD],

GF=--AC,

2

所以GE.GF=TAB-AC-AD)AC

1/2

=-^ABAC-AC-ACAD

因为向量AB,AC,AD的模相等，夹角相等，所以AB-AC-AC-AD=0，AC'=2,

及GE.GF=L

2

9.已知a,尸是两个不同平面，相，”是两条不同直线，下列命题中：①“直线”、6为异面直线”

的充分非必要条件是“直线。不相交”；②垂直于三角形两边的直线必垂直第三边；③a

内有不共线三点到夕距离相等，则a〃尸；④若直线〃La,则“〃a；⑤若切〃〃，

mA.a,则〃_La；⑥若"L夕，则a〃夕，其中正确的命题编号为.

【正确答案】②⑤⑥

【分析】①利用异面直线的性质判断即可，②利用线面垂直的性质即可判断，③④⑤⑥画图

分析即可

【详解】①若直线。、。不相交，则直线〃、b为有可能平行，有可能异面，

故“直线。、。不相交”是“直线。、b为异面直线”的不充分条件，

反之，若直线。、〃为异面直线，则直线“、2不相交成立，

故“直线。、8不相交”是"直线。、8为异面直线”的必要条件，

所以①错误；

②垂直于三角形两边的直线必垂直三角形所在面，即线面垂直，

又三角形第三边在三角形面中，故该直线一定垂直第三边，

所以②正确；

③如图，

设AB,C为平面a内不共线的三点，且到平面尸的距离相等，但是此时平面a与

平夕交，故③不正确；

④如图所示

直线机JLa,则"ua；故④错误;

⑤如图所示：

由加〃”，m±a,则〃_!_«；故⑤正确;

⑥如图所示

若则a〃尸，故⑥正确；

故②⑤⑥

10.我国南北朝时期的数学家祖晒在计算球的体积时，提出了一个原理：“累势既同，则积

不容异这里的"塞''指水平截面的面积，“势”指高.如图（1）是一利产蒙古包”的简易视图，

其中底面"8是个正方形，曲线AOC和80。均是以2为半径的半圆，平面AOC和平面

8。。均垂直于底面.想要计算该蒙古包的体积V就可以利用祖咽原理，构造一个与蒙古包同

底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图（2））,从而求得

V=

【分析】由题知AC=4,AB=2ji,正四棱柱的高为2,进而根据'/=丫正四棱柱-%泗棱锥计算

即可.

【详解】解：因为底面ABCD是个正方形，曲线AOC和80。均是以2为半径的半圆

所以AC=4,AB=2a,正四棱柱的高为2

根据祖强原理，该蒙古包的体积

V=%泗棱柱一/四校雄=2及x2&x2-gx2及x2夜x2=16-9=,.

32

故不

二、单选题

11.下列命题中不正确的是（）

A.相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B.正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等

C.圆柱的母线垂直于底面D.过球面上两点的大圆有且只有一个

【正确答案】D

【分析】选项A根据直棱柱的定义，结合线面垂直判定定理即可；选项B画出正四棱锥验

证线面角是否相等即可，选项C有圆柱的特征及结构即可判断，选项D根据球截面的特性

即可判断.

【详解】选项A,如图所示，在四棱柱ABCO-A耳G"中,

若侧面ABB^和侧面BCQB、为相邻的矩形,

因为明CB=B,

CB,ABu底面ABCD,则1底面ABCD,

由直棱柱定义可知四棱柱ABC。-AgeA为直棱柱，故A正确;

选项B,如图在正四棱锥P-ABCD中,

p

由正四棱锥可得，尸。1底面ABC。，底面为正方形，且侧棱相等，

所以侧棱PA,PB,PC,PD与底面A8Q)所成角分别为：ZPAO=NPBO=NPCO=ZPDO,

故选项B正确，

选项C,由圆柱的特征及结构可知，圆柱的母线都垂直于底面，

故C正确，

若球面上所取的任意两点与球心在同一直线上，则过这两点的大圆有无数个，

故D错误；

故选：D.

12.已知空间三点4(—2,0,8),8(4,<5),若向量R4_LA8,则实数机=()

A.37B.36C.-38D.-36

【正确答案】B

【分析】根据PA»B=0可求得旭值.

【详解】解：因为己知空间三点A(—2,0,8),B(4,T,5),

所以PA=(-2-加,一加,8-机)，A3=(6,T,-3),

由于PAJ.AB，

PA-AB=(-2-??7)x6+(-«?)x(-4)+(8-zn)x(-3)=0,

解得加=36.

故选：B.

13.柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体.由于太完美，因此数量很少，只

有正四、六、八、十二、二十面体五种.如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较

完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正

多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体.古希腊数学家物理学家阿基米德对这些

正多面体进行研究并发现了13种半正多面体（后人称为“阿基米德多面体”）.现在正四面体

上将四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德家族种的一个，又名截角四面体.设原正四

面体的棱长为6,则所得的截角四面体的表面积为

A.20后B.24x/3C.286D.3273

【正确答案】C

【分析】由题意可求出正六边形的边长为2,截去的正三角形的边长为2,进而求出正六边

形的面积和每个截面的面积，求出所得的截角四面体的表面积.

【详解】解：设正六多边形的边长为x,

则由题意可知：6-2x=x,

所以x=2,

所以每个正六边形的面积为立x6-3*立x2,=66，

44

所以所得的截角四面体的表面积为4x66+4x3x22=286,

4

故选：C.

三、解答题

14.设台体上、下底面积分别为S'和S,上下底面的距离为近求证：%体=：（5'+尔7+S）6

【正确答案】证明见解析

【分析】设顶点P到平面AAG"的距离为X,根据相似得出x=7泻?，即可根据

咋体=^P-ABCD~计算化简证明.

【详解】如图所示：棱台可以看作由棱锥截成,

p.

/D

A

设顶点P到平面A4GR的距离为x,

S'

根据平行四边形ABCD与ABCQ相似可得：y=在K，

皿历

则”=由定,

yjo—yjo

=

则/体Vp_ABCD一=§，('+')—§S)»

=g[S"(S-S)x],

,

=-[s/?+(5-S)-r^=L

3['，如一单

_£

SA+(VS-VS7)(VS+

-3r

=1(S,+VFS7+5)/?,

故棱台的体积?体=1S'+逐百+s)/z.

15.如图，长方体ABCO-AACQ中，|4叫=|44=1,|A4j=2,点p为。。的中点.

(1)求证：直线8。1〃平面B4C；

(2)求异面直线BD、与AP所成角的大小.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)30°

【分析】(1)设4c和交于点。，可得PO//BR,根据线面平行的判定定理即可得证.

(2)由尸0〃8R,得N4PO即为异面直线8"与AP所成的角.求得各个边长，根据三角函

数的定义，即可得答案.

【详解】(1)设AC和8。交于点。，则。为8。的中点，连接尸O,

,/户是。。的中点，

PO//BDt,

又,/POu平面PAC,BD«平面PAC,

，直线B。"/平面PAC；

(2)由⑴知,POHBDX,

ZAPO即为异面直线8。与北所成的角,

：|削=|PC|=JCD2+\AO\=^\AC\=^-,且PO_LAO,

血

MT1

••sinNAPO==

\AP\722

又NAPOe(0°,90°],

ZAPO=30°

故异面直线BA与北所成角的大小为30。.

16.如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的硼钉（图1）穿在一起，

在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，钾合的两块钢板，成为某种钢结构

的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）.

（1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求钾钉的表面积；

（2）若每块钢板的厚度为10mm,求钉身的长度（结果精确到1mm）.

【正确答案】（1）13957tmm♦

（2）55mm.

【分析】（1）由图可知，钾钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以4=15为

半径的圆的面积.根据已知条件，分别求出各部分的面积即可得出答案；

（2）设钉身的长度为x,表示出钉身的体积忆根据已知求出钉身加工后的体积，列出方程,

求解即可得出答案.

【详解】（1）解：由已知可得，钾钉为以4=15为半径的半球与圆柱的组合体.

由钉身长度是钉帽高度的3倍，可知圆柱的高为/?=3/5=45,圆柱底面半径为4=8.

由图可知，钾钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以'=15为半径的圆的面

积.

半球的表面积为d=gx4孙2=gx47rxl52=4507r,圆柱的侧面积为

S2=2兀4〃=271x8x45=72071,圆的面积S3=兀1=2257r.

所以，佛钉的表面积S=S,+52+S3=13957t(/W).

(2)解：设钉身的长度为x,x>20,则钉身的体积V=7u?x=64也.

由已知加工前后体积不变，加工后体积为钉身与钉帽体积之和，其中钉身长度为20,底面

圆半径为4=8,钉帽是以半径4=15的半球.

所以V=g2x20+；xg孙3=1280兀+2250n=3530MM加)

所以647tx=353O7r,解得x=55,满足条件.

所以钉身的长度为55(,即).

17.我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩

形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱

柱.如图所示，在堑堵4BC-A4G中，若4C13C,M=AB=2.

⑴求证：四棱锥8-A4GC为阳马；

(2)若直线AB与平面AACC所成的角为B时，求该堑堵ABC-A4G的体积;

O

(3)当阳马8-MGC的体积最大时，求点C1到平面A{BC的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵2

(3)辿

3

【分析】(1)根据定义证明底面A41GC为矩形，侧棱矩形面441GC即可;

(2)找出线面角，根据题意以及(1)中的相应条件求出所需线段长度，然后利用三棱柱的

体积公式计算即可；

(3)由前两问表示出阳马A41GC的体积，利用基本不等式求出最值，从而得到相应线

段的长度，在根据图找出、证明、求解点到平面ABC的距离.

【详解】(1)证明：由题意在堑堵ABC-中，底面ABC,

由ACu底面ABC,BCu底面ABC,

所以相_LAC,A4

在三棱柱ABC-中，四边形44。。为平行四边形，

所以四边形41cC为平行四边形为矩形，

又ACJ.BC,MAC=A,

所以BC1平面AAGC,

所以根据题意得：四棱锥为阳马.

(2)由(1)知BC平面A41GC,

所以斜线48在平面MQC的射影为AC,

7T

所以直线A声与平面A4CC