2022-2023学年河北省唐山市曹妃甸区高二年级下册期末数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省唐山市曹妃甸区高二下学期期末数学试题

一、单选题

1.的展开式中/的系数是()

A.90B.80C.70D.60

【答案】A

【解析】根据二项式定理，得到丫展开式的第r+1项，再由赋值法，即可求出结果.

【详解】因为12+|J展开式的第r+1项为Tr+X=GGx's".3,,

令10-3r=4,得r=2,则/的系数为C；1=90.

故选：A.

2.已知函数/(力的导函数为尸(力，且满足〃6=2#'⑴+lnx,则尸⑵=()

3-1

A.—B.—1C.-D.e

【答案】A

【分析】求出函数的导数，代入x=i,可求出r。)，再代入工=2即可求出.

【详解】由己知[。)=2/⑴+L则尸⑴=2/(1)+1,解得/'⑴=-1,

X

113

所以/'(幻=一2+上，贝|]r(2)=-2+：=—9.

x22

故选:A.

3.某市一次高三模拟考试一共有3.2万名考生参加，他们的总分J服从正态分布N(480,〃)，若

尸(430444530)=0.78,则总分高于530分的考生人数为()

A.2400B.3520C.8520D.12480

【答案】B

【分析】根据正态分布曲线的对称性，得到PC>530)=J-gp(4304g4530),即可求解.

【详解】由题意，总分€服从正态分布"(480面)，且P(4304"530)=0.78,

1_A

根据正态分布曲线的对称性，可得P4>530)=—=0.11,

所以总分高于530分的考生人数为32000x0.11=3520.

故选：B.

4.5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至

多分配3名学生，则不同的分配方法种数为()

A.60B.90C.150D.240

【答案】C

【分析】根据每组的人数进行分类讨论，由此求得正确答案.

C2c2

【详解】当每组人数为2,2』时，方法有安xA：=90种.

当每组人数为3,1,1时，方法有C；xA；=60种.

所以不同的分配方法种数为90+60=150种.

故选：C

5.(l+x)3+(l+x?…+(l+x)9展开式中d的系数是()

A.80B.84C.120D.210

【答案】D

【分析】根据通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是C：,表示出V的系数，然

后利用组合数的性质进行求解.

【详解】解：(l+xY+(l+x)4…+(l+x)9的展开式中V的系数为

C；+C：+C；+C：+C；+C+C；=C：+C+C；+C：+C；+C；=C；,=210.

故选：D.

6.已知C；+2C：+22C：+23C：+…+2"C；；=81,则C；+C；+C：+…+C：等于()

A.15B.16C.7D.8

【答案】A

【分析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得〃的值，再由由二项式系数和即得.

【详解】逆用二项式定理得d+2C：+2?+2^C：+…+2"C：=(1+2)"=81,即3"=34,

所以〃=4,所以&++C：+…+C；=2,-1=15.

故选：A.

7.我国中医药选出的“三药三方''对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感

颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生

从“三药三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中至少有一药，事件8表示选出的两种中有

一方，则「(B|A)=()

1r3〃3>3

A.-B.—C.—D.一

51054

【答案】D

【分析】利用古典概型的概率公式求出P(A)和PUB),再利用条件概率公式计算作答.

【详解】依题意，P(A)=丐2=j|=1，P(AB)=警

C；155C：155

所以w)=锵

故选：D

xln>0

8.已知函数/(%)=一2八°,若函数有三个零点，则()

A.—e<A41B.—<k<1C.—e<Z:<0D.—<k<0

ee

【答案】D

【分析】先求导确定当x>0时函数单调性和范围，再画出图像，结合图像即可求解.

【详解】要使函数/(》)=%有三个解，则y=与尸女有三个交点，

当x>0时，/(x)=xlnx,则尸(x)=lnx+l,可得/(x)在(0,：)上递减，在g,+s］递增,

二x>0时，/(x)=xlnx有最小值且0cxe，时，xlnx<()；

ee

当x->0*时，f(x)-0；当x一小时，/(x)->+oo；

当x40时，/(x)=-f+I单调递增；

.•./(x)图象如下，要使函数g(x)有三个零点，则

e

二、多选题

9.关于的二项展开式中，下列说法正确的是（）

A.常数项为?B.各项系数和为

C.二项式系数和为64D.x项的系数为-|

【答案】AC

【分析】利用二项式的通项公式和赋值法求解判断.

【详解】的展开式的通项（-/J=（-明64",

令一可得所以弋,

123%=0,k=4,CA正确；

令x=l,得即各项系数和为1,B错误；

（2J6464

二项式系数和为2$=64,C正确；

令12-3&=1,得％=日eN,故二项展开式中不存在x项,

D错误，

故选：AC.

10.下列说法中正确的是（）

A.回归直线亍=bx+6恒过样本点的中心（x,y）,且至少过一个样本点

B.两个变量相关性越强，则相关系数I川就越接近1

C.某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的方差2

D.在回归直线方程$=2-0.5x中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量亍平均减少0.5个

单位

【答案】BCD

【分析】A选项，回归方程恒过样本中心点，不一定过样本点；B选项，相关性越强，相关系数的

绝对值约接近1;C选项，重新计算新的方差，与2进行比较，得到结论；D选项，由于右=-0.5,

故解释变量x增加一个单位时，预报变量亍平均减少0.5个单位.

【详解】A选项，回归直线y=+&恒过样本的中心点（五y）,但不一定过一个样本点，A错，

B选项，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数"I就越接近1,B对，

C选项，根据平均数的计算公式可得》=卡二=4,

7+1

根据方差的计算公式$2=g［7x2+（4-4）［=1.75<2,C对，

D选项，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程y=2-0.5x中，

当解释变量x增加一个单位时，预报变量亍平均减少0.5个单位，对，

故选：BCD.

11.甲、乙、丙三人参加某公司招聘面试，面试时每人回答3道题，3道题都答对则通过面试，已

知甲、乙、两三人答对每道题的概率分别是:，假设甲、乙、丙三人面试是否通过相互没

有影响，且每次答题相互独立，则（）

Q

A.甲通过该公司招聘面试的概率是以

B.甲、乙都通过该公司招聘面试的概率是总

C.甲、丙都通过该公司招聘面试的概率是，

D.在乙通过该公司招聘面试的条件下，恰有两人通过该公司招聘面试的概率是II

【答案】ACD

【分析】根据相互独立的概率乘法公式，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，甲、乙、两三人通过招聘的概率分别［=4）3=W，6=4）3=与，

32751252o

Q

所以甲通过该公司招聘面试的概率是百，所以A正确；

Q97R

甲、乙都通过该公司招聘面试的概率为4鸟=方'衣=不大，所以B不正确；

4/I4J14J

Q11

甲、丙都通过该公司招聘面试的概率是4G=白*3=白，所以C正确；

27o27

在乙通过该公司招聘面试的条件下，恰有两人通过该公司招聘面试的概率是

+=所以D正确.

故选：ACD.

12.已知/(刈=耳，则下列说法正确的有()

e

A.函数y=/(x)有唯一零点x=0

B.函数y=/(x)的单调递减区间为(y,O)u(i,+s)

C.函数y=f(x)有极小值,

e

D.若关于x的方程f(x)=a有三个不同的根，则实数。的取值范围是(0,：)

【答案】AD

【分析】根据零点的定义判断A,求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，作出函数f(x)的

图象，根据图象判断B,C,D.

【详解】由/(x)=0得：|x|=0,即x=0,故函数f(x)有唯一零点x=0,故A正确；

II—,x>0

\x\v

由题意可知：/(")=?=e，

e%C

Y1—V

当xNO时，/(%)=-,贝IJ/'(x)=—

ee

当04x<l时，r(x)>0,f(x)递增；当x>l时，/'(幻<0,/(X)递减，

则此时/(x)的极大值为/(1)=-；

e

当xv0时，f(x)=—―>0,f\x)=<0,/(x)=■在(Y0,0)上单调递减，

由此可作出y=/0)的图象如下:

y

观察图象可得函数y=f（x）的单调递减区间为（-8,。），a,”），B错，

函数y=f（x）在x=1时有极大值Lc错误，

e

若关于X的方程/（x）=a有三个不同的根，则实数。的取值范围是（0,3，D正确,

e

故选：AD.

三、填空题

13.A：-C：o=.

【答案】75

【分析】根据排列数、组合数的性质及组合数公式计算可得答案.

【详解】人泊（：：。=人：一（2；0=6*5*4—3=75.

故答案为：75.

14.已知随机变量4~3（6,p）,且E《）=2,则。（3J=.

【答案】12

【分析】利用二项分布期望的公式，先求人再利用二项分布方差的公式以及方差的性质即可求解

【详解】因为JB（6,p）,所以E（4）=6p=2,所以p=；

1244

则£＞（g）=6x§x§=§,所以。（3。）=36⑷=9x§=12

故答案为：12

15.（*2一2）、-^^的展开式中/的系数是（用数字作答）

【答案】27

【分析】先求卜-Jj展开式中工?和/项，然后与丁-2相乘、合并可得.

【详解】卜-j的第r+1项为却=黑尸(一)，=(-1)匕尸，，

令6—2厂=2,6-2r=4,得〃=2,r=1,

代入通项可得卜展开式中的V和一项分别为：15/和-61,分别与x2和一2相乘，

得(/_2)1-£|<1的展开式中一项为15/+12工4=27%4,故X4的系数为27.

故答案为：27

16.若函数/(8)=1m+办2—2在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是.

【答案】(一2,小)

【分析】求出函数的导数，问题转化为。>-止，而y=-5求出最小值，从而求出”的范围即可.

【详解】r(x)=：+2*=当望，2加+1>0在中］内成立，所以，

由于xe(g，2),所以入屋(；,4),—,所以a>-2.

故答案为：(-2,内)

四、解答题

17.甲、乙、丙、丁、戊5人并排站成一排.

(1)若甲、乙不相邻，则有多少种不同排法？

(2)若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则有多少种不同的排法？

(3)若甲不在最左，乙不在最右，则有多少种不同的排法？

【答案】(1)72

Q)24

(3)78

【分析】(1)丙、丁、戊三人排列后甲、乙插入可得；

(2)按甲左乙右把甲乙捆绑算作一人与丙、丁、戊三人全排列；

(3)分两类，一类是甲站在最右位置，另一类是甲站在中间某个位置，乙再选一个位置，其他三人

全排列，相加可得.

【详解】(1)丙、丁、戊三人排列后甲、乙插入，方法数是用&=72；

(2)甲、乙捆绑算作一人与丙、丁、戊三人全排列，甲乙之间只有一种排法，方法数是=24：

(3)分两类，甲站在最右位置，共有A：种排法，甲站在中间某个位置，乙再选一个位置，其他三

人全排列：总方法数为A：+C；C；&=78.

18.已知（2x+）

展开式前三项的二项式系数和为22.

(1)求”的值；

(2)求展开式中的常数项；

(3)求展开式中二项式系数最大的项.

【答案】(1)6；(2)60；(3)160小

【分析】(1)利用公式展开得前三项，二项式系数和为22,即可求出n.

(2)利用通项公式求解展开式中的常数项即可.

(3)利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项.

【详解】解：由题意，(2x+J=)"展开式前三项的二项式系数和为22.

(1)二项式定理展开：前三项二项式系数为：C；+C：+C；=l+〃+若6=22,

解得：〃=6或〃=-7(舍去).

即〃的值为6.

3k

⑵由通项公式=《(2x严()=)'=C^-kx~

可得：k=4.

,12

64T

•••展开式中的常数项为7M=C：2-X=60；

(3)”是偶数，展开式共有7项♦则第四项最大

,93

，展开式中二项式系数最大的项为(।=C：267=160户.

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的有关计算，属于基础题.

19.已知函数“xblnx+x2.

⑴求曲线y=.f(x)在点处的切线方程;

⑵求函数/7(x)=〃x)-3x的单调增区间.

【答案】⑴3x-y-2=0；

【分析】(D利用导数几何意义即可求得曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程;

(2)利用导数即可求得函数〃(x)=〃x)-3x的单调增区间.

【详解】(1)/(x)=lnx+x2(x>0),贝ljr(x)=J+2x

贝"⑴=1+2=3,X/(l)=lnl+l=l,

则曲线y=/(x)在点(1J(1))处的切线方程为y=3(x-D+l,即3x-y-2=0

(2)//(x)=/(x)-3x=lnx+x2-3x(x>0),

rjt||if/\1个o—3x+1,八、

贝！J/z(x)=—+2x-3=---------(x>0),

xx

由"（x）>0可得0<x<g或x>l,

则函数〃（x）=/（x）-3x的单调增区间为（0,；）,（l,+a>）.

20.下表是某农村居民2018年至2022年家庭人均收入（单位：万元）.

年份20182019202020212022

年份代码X12345

家庭人均收入y（万元）1.21.41.51.61.8

（1）利用相关系数r判断y与x的相关关系的强弱（当0.75<卜|《1时，y与x的相关关系较强，否则相

关关系较弱，精确到0.01）;

⑵求了关于x的线性回归方程y=bx+a,并预测2023年该农村居民的家庭人均收入.

附：对于一组数据（4,%）、（占，%）....（%，X,）.其回归直线？=去+4的斜率和截距的最小二乘

^x^yt-n-x-yXvy一〃.a》

估计分别为5=-------丁，a=^-bx,样本相关系数r=F---------参考

数据：&=1.414.

【答案】（i）y与x的相关关系较强

(2)y=0.14x+1.08；预测2022年该农村居民的家庭人均收入为1.92万元

【分析】(1)根据表中数据以及相关系数的公式即可求解『，然后根据范围可判断强弱;

(2)根据最小二乘法即可求回归方程，然后根据回归方程预测.

【详解】(1)由表中数据可得，jf=gx(l+2+3+4+5)=3,

y=1x(1.2+1.4+l.5+1.6+1.8)=1.5,

2茗%=23.9,Z(x，「无>=1°，Z(M-y)2=02,

/=1f=l;=1

GQC<Q1<

则r=Vibx02~~°-99>0-75，故'与x的相关关系较强:

55

(2)由(1)可知，x=3,下=1.5,2若y=23.9，Xx；=55,

/=1z=I

5

父期'TQ23.9-5x3x1.5

所以人=丹--------=555x3?=°」4,

^^尤2^—2°J-JXD

;=1

a=y-^x=1.5-0.14x3=1.08,

V关于x的线性回归方程为y=0」4x+1.08,

当x=6时，y=0.14x6+1.08=1.92,

故预测2022年该农村居民的家庭人均收入为1.92万元.

21.某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况,

采用分层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间，根据调查的结

果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示.将分数不低于750分的学生称为“高分选手

(2)现采用分层随机抽样的方式从分数落在［550,650)、［750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10

人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X,求X的分布

列及数学期望;

（3）若样本中属于“高分选手”的女生有10人，试完成下列2x2列联表，依据a=0.025的独立性检验,

能否认为该校学生属于“高分选手''与“性别”有关联？

属于“高分选手”不属于“高分选手”合计

男生

女生

合计

（参考公式”=（〃+盛工2）…,其中"

=a+b+c+d)

a0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（l）a=0.0035

9

⑵分布列见解析，数学期望为所；

（3）认为该校学生属于“高分选手”与性别有关联.

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可;

（2）首先求出［550,650）、［750,850）中抽取的人数，依题意X的所有可能取值有0、1、2、3,求

IH所对应的概率，即可得到分布列与数学期望;

（3）完善列联表，计算出卡方，即可判断.

【详解】(1)由题意知100x(0.0015+4+0.0025+0.0015+0.001)=1,解得。=0.0035；

⑵由题意,从［55。,650）中抽取“丽黯菽=7人,

从［75。,85。）中抽取g证黑装=3人,

随机变量X的所有可能取值有0、1、2、3,

•・-。）=管=言,"=1）=等=2

"X=2）=等晦，P（X=3）=警心,

•••随机变量X的分布列为:

X0123

3563211

P

120T20120120

随机变量X的数学期望E(X)=Ox亘+1X里+2X2L+3X-L=2

12012012012010

(3)由题可知，样本中男生40人，女生60人，

属于“高分选手”的有100x(0.0015+0.001)x100=25人，其中女生10人,

得出以下2x2列联表：

属于“高分选手”不属于“高分选手”合计

男生152540

女生105060

合计2575100

零假设为名:该校学生属于“高分选手''与性别无关联，

2

根据表中数据，经计算得到/=1(顺625-15*50)2=50>5024=

25x75x40x609

根据小概率值a=0.025的独立性检验，我们推断儿不成立，即认为该校学生属于“高分选手”与性

别有关联.

22.设函数f