2023-2024学年陕西省部分高二年级上册期末数学（理）模拟试题（含答案）

2023-2024学年陕西省部分高二上册期末数学（理）模拟试题

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的

22

1.椭圆C:上+匕=1的长轴为（）

43

A.lB.2C.3D.4

π

2.在AZ8C中，内角4民。的对边分别为α∕,c,若c=3,b=4,4=—,则α=O

3

A.√BB.2√3C.5D.6

3.已知p:Wx>0,χ2+3χ>0；q：3xeH,χ2+1=0.则下列命题中，真命题是（）

ALPAqqC.P人7D.P八q

4.如图，在四面体产力8C中，E是ZC的中点，BF=3FP,设方=£,而=2定="，

则匠=（）

P

232242

1-I1-2-I2-

C.-Q+—b7+—cD.—Q——7b+-c

343343

5.已知等比数列｛α,J的前〃项乘积为北，若%则%=()

A.lB.2C.3D.4

6.已知双曲线《一《=l(4>0,b>0)的一条渐近线方程为3x+4y=0,则该双曲线的离

ab

心率是()

455√5

A.-B.-C.-D.—

3342

7.已知空间三点力(2,1,—1),80,0,2),C(0,3,-1),则C到直线48的距离为O

A.√5B.2√2C.√6D.√19

8.已知数列｛α,,｝满足α,,=a“_1+d,〃..2,"eN,贝"一α.=2d"是"一〃=2”的()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四

棱锥称为阳马.如图，在阳马P-ABCD中，PNJ.平面ABCD,底面ABCD是正方形，瓦/

分别为P0,P8的中点，点G在线段4P上，AC与BD交于点O,PA=AB=2,若OG//

平面瓦C,则ZG=O

243

I2

10.设同＜1,则——+——的最小值为()

1—a1+4

_33

A.√24—B.^∖∕2C.1D.2

22

11.已知尸为抛物线C=一16y上一点，尸为焦点，过尸作C的准线的垂线，垂足为“,

若△尸EH的周长不小于30,则点尸的纵坐标的取值范围是O

A.(-∞,-5]B.(-∞,-4]C.(-∞,-2]D.(-∞,-l]

12.如图，平行六面体/8C。-4ZG2的体积为

48√Σ,∕4Z8=∕4ND,y44=6,N8=ZD=4,且NjCu8=分别为

A.MN〃APB.MP〃平面BDN

C.DN!.AgD.P到平面MVC的距离为生画

19

第∏卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线

上.

2

13.已知双曲线Cr:——/=15>0)的焦距为10,则α=.

a"

%÷ʃ-1...0,

14.若Xj满足约束条件<2x-y..0,则Z=N—x的最小值为.

X,1,

15.如图，在直三棱柱/8。一4用G中，=2,EI分别为棱/8,4G的中点，则

EFBBy=.

16.已知椭圆C：、+y2=i的左、右焦点分别为耳,鸟,尸为椭圆C上的一点，若

CoSNEF工=贝"I尸耳HPEI=.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知抛物线C;y2=-2px(p>0),4(-6,%)是抛物线。上的点，且14目=10.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线/交抛物线C于",N两点，且MN的中点为(-4,2),求直线/的方程.

18.(12分)

已知数列｛%｝的前n项和为S,,且S,,=〃(丁).

(1)求｛可｝的通项公式；

(2)设'=ff求数列也｝的前〃项和却

19.(12分)

如图，在长方体Z8C。—44GD中，AB^AD=6,AAi=S.

(1)求异面直线/G与48所成角的余弦值；

(2)求直线/C与平面48。所成角的正弦值.

20.(12分)

△ABC的内角4民C的对边分别为a,b,c,已知-=sinC-sin(/-8).

(1)求〃；

(2)设α=2,当∕>+J5c的值最大时，求AZBC的面积.

21.（12分）

如图，在四棱锥尸-48CZ)中，ZBC。是边长为2的菱形，且

NDAB=60°,PA=PD=M,PB=3√2,E,F分别是BC,PC的中点.

(1)证明：平面尸平面。EF.

(2)求二面角Z—PS—C的大小.

22.（12分）

已知双曲线。：彳一捺=1（4>0/>0）的右焦点为（近,0）,渐近线方程为y=±3χ.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）设。为双曲线C的右顶点，直线/与双曲线C交于不同于。的瓦口两点，若以EF为

直径的圆经过点0,且Z）GJ•跖于点G,证明：存在定点〃，使∣G"∣为定值.

答案和解析

LD椭圆C：工+匕=1的长轴为4.

43

2.A由余弦定理可得/=〃+c2-2bccosZ=13，所以a=√Ii.

3.C由题意可得P为真命题，4为假命题.故P△为真命题.

4.B因为E是ZC的中点，砺=3百，所以

厚=而+丽=」而+为力+定）=L-U+匕.

42、,242

5.A因为《=4，所以=1•因为=4：，所以%=L

22

6.C因为「一4=10>0,6>0）的渐近线方程为区±©=0,所以

a~h

7.B

—,i

刀=(—1,7,3),而=(1,—3,3),麻I=M,cosNZBC=∣"；EfI=-rɪ==%,

''','1网|词而XM√19

SinNZ6C=第,C到直线48的距离为|前ISin/N8C=2√Σ.

√1911

8.C因为%-%=(〃?-〃”=2d,所以〃?一〃=2或d=0,故"%-%=2d”是

“/〃-〃=2”的必要不充分条件.

9.C以点/为坐标原点，五瓦赤,万的方向分别为x,%z轴的正方向建立空间直角坐标系

(图略)，则O(LLo),C(2,2,0),E(0,1,1),尸(1,0,1),而=(1,-1,0),EC=(2,1-1).

—..[x-y=0,—..

设平面MC的法向量为加=(“,z),则(-令X=I,得〃?=(1,1,3).

2x+y—z—0,

设G(0,0,α),则砺=(—1,—l,α).因为OG〃平面瓦C,所以南,而，则南晶=O,

22

即一IXI-IXI+3。=0,解得。=—,故/G=—.

33

1+Q2(1—4)

10.A1i2J11i2](j+")=工"…√∑+∣,当且仅

1—Q1+42\1-Q1+(7J

当匕£=2(Ij),即α=3-2j5时，等号成立.

∖-al+a

ILA如图，设点尸的坐标为（他,〃），准线y=4与丁轴的交点为/,则

∖PF∖=∖PH∖=4-n,∖FH∖=J∖AF∣2Λ∖AH∣2=√82+m2=√64-16n=4√4≡H,所以

的周长为4"二+2(4设函数/(M)=4√4≡√+2(4-W)(Λ,,0),则/(〃)

为减函数，因为/(-5)=30,所以/(〃)..30的解为4-5.

TT

121)因为/6="。=4,且/0/8=—,所以四边形Z8CZ)的面积为

3

4x4XSin工=8下).

3

因为平行六面体/88-4gGQ的体积为48族，所以平行六面体/8Cr)-48∣C∖2的

高为"在=2√6.因为///5=/Z/0,所以《在底面的投影在AC上.设4在底面的

8√3

222

投影为O,则A1O=2八，因为/&=6,所以。/=AA^-Ap=√6-(2√6)=2√3.

因为NC=4√J=2O/，所以。为4C的中点.以。为坐标原点，刀,砺,西的方向分别

为x,N,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则

^(2√3,0,0),c(-2√3,0,0),β(0,2,0),Z5(0,-2,0),M(^1,0),

4(0,0,2时,N卜36,0,√6^),P(-36,-1,2志).加=(T血-1,6)胪=(-5次-1

2√6),4C=(-2λ6^,0,-2Λ^^),MP=(-4yj3,-2,2y∣β),DN=(-32,耳嬴=卜3a-1,0)

丽=(0,4,0),丽=(-3^^,-2,√6^).

因为丽≠4万，所以MN与ZP不平行，故N错误.

设平面BON的法向量为加=(XI,必,zj,

［削BN-m=-3Λ∕3XI-2y∣+ʌ/ðz,=0,

DB∙m=4γ1=0,

令玉=J5,则而=(J5,O,3).因为赤.言=—4j§xJ，+0+2#x3=2JZH0,所以

儿。与平面8。N不平行，故5错误.

因为丽.布=(-3√i)x(-2√J)+O+Wxt2")=6≠0,

所以丽与丞不垂直，故C错误.

设平面MNC的法向量为I=(X2,%,Z2)，

n∙MN=一4JJx,-V,+ʌ/ðz,=0,--,--、

222rrl

则_____r-令W=及，得〃=.

v

n-MC=-3yβx2-y2=0,^'

∣3（）∣

Λ77'/?|4-73×V2+―2×ɜʌ/ðj+2∙χ∕β生画，所以P到平面MVC的距离

因为

∣Λ∣一√5719

为生昼，故D正确.

19

13.2√6a2+l=25）解得a=2指或α=-2指（舍去）.

14.—1作出可行域(图略)，当直线V=x+z经过点(1,0)时，z=y-x取最小值，最小值

为一1.

15.4取的中点G,连接FG,EG而.南=回+岳)岳=宙,=4.

16.3因为

C°S∕FPF-te∣⅛⅛<-（IP耳|+|尸周）l2∣W∣∙飓|_12_2_1

'2附HP&2pκ∣∙M∣P平陀I3

，所以IPEH咋∣=3.

17.解：（1）因为MA=6+g=10,

所以P=8,

故抛物线C的方程为V=T6x.

(2)易知直线/的斜率存在，设直线/的斜率为左,"(X,M),N(X2,8),

则产=-®

Vf=-g,

ɔɔ∖V-vɔIo

两式相减得乂一货=一16(z王一工2)，整理1得=--------

XIr2凹+为

16

因为A/N的中点为(T,2),所以左=-4,

玉f4

所以直线/的方程为y—2=-4（x+4）,即4x+y+14=0.

1χQ

18.解：（1）当〃=1时，%=£=---=4.

112

当*2时，SL（〃T）（"6）,

n^l2

所以丁-*^=〃+3,

因为〃=1也满足，所以通项公式为4=”+3.

1_1_11

(2)因为“

al,an+l（〃+3）（〃+4）n+3〃+4

11_〃

4/7+44/7+16

19.解：以Z为坐标原点，/民4。,441所在直线分别为X轴，y轴，Z轴建立如图所示的

空间直角坐标系，则

8(6,0,0),0(0,6,0),C(6,6,0),4(0,0,8),C∣(6,6,8),Z∣=4,6,8)宓=£6,0)丽=(-6,6,0)

,4⅛=(6,0,-8).

设平面46。的法向量为〃=(X,y,z),

n∙BD=—6x+6y=0,、

则｛______，令z=3,得〃=z(4,4,3.

n∙AlB=6x-8z=0,

(I)设异面直线NG与48所成的角为a，

ACi-AlB287√34

则cosa=ICoS(Ze],4=

码印10×2√34170

即异面直线ZC与A}B所成角的余弦值为Z叵.

170

(2)设直线ZC与平面48。所成的角为夕,

则si*=∣cos(jc,4=就=思南=ɪ

即直线/c与平面43。所成角的正弦值为拽2.

41

20.解：(1)由三角形的性质和正弦定理可知

—=Si胃=sinC-Sin(4-B)=sin(4+8)-sin(4-B)=2cos/Sins,

其中SirLSwO,所以2sirL4co》=sin24=1,

因为Z∈(0∕),所以2∕∈(0,2τr),故2力=1,4=(.

2b+2∖∣2c2si∏β+2y∣2smC

(2)由正弦定理有b+J5c=2>∕2sin5+4sinC>

aSiM

且

2V2sin5+4sinC=2λ∕2sin5+4sin(YT=2√∑(2sin5+cosB)=2VΓθsin(5+^?),

其中tanφ=—,

所以当Sin(B+9)=l时，b+√‰，有最大值，此时sin5C孚W手,

所以SinC=Sin(4+8)=Sin^—+5sinβ+CGSB)=---------，

2、710

由正弦定理有一L="_,故6=±叵，

SinJsιn55

所以C1A1ɔ4√103√1012

助以3=­β⅛smC=—×2×-------X-------=一•

“8C225105

21.(1)证明：取ZD的中点G,连接PG,BG,BD.

因为PZ=尸£>,所以尸G_L4。.

在A∕8Z)中，AB=AD=2,NDAB=60°,

所以A∕BD为等边三角形，

所以8G∙L4Z).因为BGCPG=G,所以ZD_L平面08G.

因为瓦尸分别是BC,PC的中点，

所以PB〃EF,DE〃GB,

所以平面PBG〃平面。EE,所以ZO_L平面Z)EE.

因为ZZ)U平面尸40,所以平面PZ。，平面。E/L

(2)解：由(1)知ZOL平面尸8G.因为尸/=PO=Jid,PB=3近，所以可求得四棱

锥。一488的高为Jd

以G为坐标原点，击,乱的方向分别为ZN轴的正方向建立空间直角坐标系，则

P(θ,-√3,√6),^(l,θ,0),5(0,√3,0),C(-2,Λ0).

AP=(-l,-√3,√6),5P=(θ,-2√5^,y∕β),BC=(-2,0,0).

记平面P48的法向量为〃=(XI,M,zJ,

n∙AP--X1-vɜpɪ+述ZI=0,

n∙BP=—2VJy1+√6z∣=0,

令必=√Σ,得7=1瓜6,2).

记平面尸BC的法向量为加=(X2,8/2),

m∙BC=-2X9=0,―/L\

则《____tr-令力=6，得加=0,√∑,2.

,

m-BP=-2√3y2+√6z2=0,'

n`m6当且二面角Z-钝角,

因为CoS("加

∣∕7∣∣W∣2y∣3×y[β

3

所以二面角Z-PB-C为一九.

4

2