中考数学复习《填空压轴题-最短路径问题》专项测试卷(含参考答案)

第第页中考数学复习《填空压轴题——最短路径问题》专项测试卷(含参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为千米．2．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，若在河流CD上选择水厂的位置M3．已知点A（2，－4），直线y＝－x－2与y轴交于点B，在x轴上找一点P，使得PA＋PB的值最小，则点P的坐标为．4．如图，长方体的长、宽、高分别为8、4、5，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为．5．如图，圆柱的底面半径为4cm，高为7cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从A点到B点，最短的路程是厘米．（保留π）6．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是．7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP=CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值等于．8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是．9．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使得DE＝2，连接BE，在线段AE，BE上分别取一点P，Q，则PQ+12BQ10．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，点E是对角线AC上一个动点，点F是边AB上一个动点，连接EF，EB，则EB+EF的最小值为．11．等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为.12．如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA′=120°，OA=3，则蚂蚁爬行的最短距离是13．如图，已知⊙O中直径AB=83，半径OC⊥AB，点D是半圆AB的三等分点，点P是半径OC上的动点，当PB+PD的值最小时，PO的长为14．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为3，4，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，则点E的坐标为15．如图，等边△ABC和等边△A′B′C的边长都是4，点B，C，B16．如图，∠ABC=20∘，点D，E分别在射线BC，BA上，且BD=3，BE=3，点M，N分别是射线BA，BC上的动点，求DM+MN+NE的最小值为17．如图，直线y=x+1与x轴，y轴分别相交于点A和点B，若点P（1，m）使得PA+PB的值最小，点Q（1，n）使得QA−QB的值最大，则m+n=．18．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为19．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是．20．已知如图：抛物线y=12x2−32x−2与x轴的交点为A，B．与y轴的交点为C．以AB为直径的⊙P交y轴于C，D．点M为线段AB上一动点，点参考答案1．解：当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长；当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5)=15.5千米；当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+(2+1.5)=12.5千米；当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2)+2+1.5=14.5千米．综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米．故答案为：12.5．2．解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD交于点M，过点A′作A′∴A′C=∴AM+即AM+BM的最小值为∵BD⊥∴∠A∴四边形A′∴DK=A′∴BK=∴A′∴此时总费用为50×3=150万元．故答案为：1503．解：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小．当x＝2时，y＝﹣2－2＝﹣4，∴点A（2，﹣4）在直线y＝﹣x－2上，当x＝0时,y＝﹣2，∴点B的坐标是（0，﹣2），∴点B′的坐标是（0，2），设直线AB′的解析式为y＝kx+b，把A（2，﹣4），B′（0，2）代入得到，b=22k+b=−4解得k=−3b=2∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+2，令y＝0，得到x=2∴P（23故答案为：（234．解：第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是12和5，则所走的最短线段是122第二种情况：把我们看到的右面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是13和4，所以走的最短线段是132第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是9和8，所以走的最短线段是92三种情况比较而言，第三种情况最短．故答案为：145．5．解：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，∵AC=12×2×4π=4π∴AB=AC2故答案为：49+166．解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于N′点，过N′点作M′N′∵AB=AC=6，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分线，∴N′∴BN∵BH⊥AC，∴BH是点B到直线AC的最短距离，∵AB=AC=6，∠ACB=75°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=30°，∴BH=1∴MN+BN的最小值是3．故答案为：3．7．解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，∵AP＝CQ，∴AD−AP＝BC−CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝则PC＋QD＝PC＋PB，则PC＋QD的最小值转化为PC＋PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，则BE＝2AB＝8，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC＋PB＝PC＋PE，连接CE，则PC＋QD＝PC＋PB＝PC＋PE≥CE，∴CE＝∴PC＋PB的最小值为10，即PC＋QD的最小值为10，故答案为：10．8．解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵EF⊥DE，∴∠AED+∠FEG=90°，∵∠AED+∠EDA=90°，∴∠EDA=∠FEG，在△AED和△GFE中，∠A=∠FGE∴Δ∴FG=AE，∴F点在射线BF上运动，作点C关于BF的对称点C′∵EG=DA，FG=AE，∴AE=BG，∴BG=FG，∴∠FBG=45°，∴∠CBF=45°，∴C′点在当D、F、C′三点共线时，DF+CF=D在RtΔADC′中，AD=4∴DC∴DF+CF的最小值为45故答案为：459．解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵AB=6，BC=8，DE=2，∴AE=8-2=6，∴AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，∴∠ABE=∠EBC，∵∠ABC=60°，∴∠EBC=30°，过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：则QM=12BQ∴PQ+12BQ最小值即为PN∵AD∥BC，∵PN=AH，∵∠BAH=30°，AB=6，∴BH=3，根据勾股定理，可得AH=PN=33∴PQ+12BQ的最小值为3故答案为：3310．解：连接DE、DF．∵四边形ABCD是菱形，∴DE=BE，∴EB+EF=ED+EF，当D、E、F在同一直线上且DF⊥AB时，EB+EF最短，∵AB=4，∠DAB=60°，∠AFD=90°，∴∠ADF=30°，∴AF=1∴DF=A即EB+EF的最小值为23故答案为：2311．解：如图以BC为直径作圆，∵CH⊥BD，∠CHB=90°,∴点H在圆上,OA=62+当点O,H,A三点共线时，AH最小为OA−OH=35故答案为：312．解：如图，连接AA′，作OB⊥AA′于点B，∴AA′即为蚂蚁爬行的最短距离，∵OA=OA′，∠AOA′=120°，∴∠OAB=30°，在△OAB中，OB⊥AA′，∠OAB=30°，∴OB=1∴AB=O在△AOA′中，OA=OA′，OB⊥AA′，∴AB=A′B，∴AA′=2AB=2×3∴蚂蚁爬行的最短距离为3．故答案为：313．解：连接DO，DA，DA与∵OC⊥AB，点O为AB的中点，∴点B关于OC的对称点是点A，∴DA与OC的交点P使得PB+PD的值最小，∵点D是半圆AB⏜∴∠DOB=60°，∴∠DAB=30°，∵∠AOP=90°，OA=12AB∴OA=43∴OP=OA·tan故答案为：4．14．解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵点B的坐标为3，4，DOH=是∴A(3，0)，D(3∴OH=3+∴H(9设直线CH的解析式为y=kx+4，把H(92，∴k=−8∴直线CH的解析式为y=−8∴x=3时，y=4∴点E坐标(3，故答案为：(3，15．解：如图，连接PB∵△ABC和△A∴AC=B∴∠ACA∴∠ACA在△ACP和△BAC=B∴△ACP≌△B∴AP=B∴AP+BP=BP+B∴当点P与点C重合时，点A与点B'关于A'C对称，AP+BP∴AP+BP的最小值为4+4=8，故答案为：8．16．解：如图所示：作点D关于AB的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB于点M、交BC于点N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：DB=BG=3，∠GBE=∠DBE=20°，BH=BE=3，∠HBD=∠EBD=20°，∴∠GBH=60°，∴ΔBGH∴GH=GB=HB=3，∴DM+MN+NE的最小值为3．故答案为：3．17．解：过点（1，0）作x轴的垂线l，则点P（1，m），点Q（1，n）在直线l上，直线l交直线AB于点Q，此时，|QA-QB|=AB的值最大，∴直线AB的解析式为y=x+1，令x=1，则y=2，∴Q的坐标为（1，2），∴n=2，作出A点关于x轴的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时PA+设直线A′B的解析式为y=kx+b∵直线AB的解析式为y=x+1，∴A（-1，0），B（0，1），∴A′∴3k+b=0b=1，解得k=∴直线A′B的解析式为y=-13令x=1，则y=23∴P的坐标为（1，23∴m=23∴m+n=2+23=8故答案为：8318．解：如图，作出B关于y轴的对称点B′，则BB'⊥y轴于点H，连接AB′则点P就是使△PAB的周长最小时的位置．∵抛物线y＝x2的对称轴是y轴，B、B′关于∴点P在抛物线y＝x2上，且PB=P∴PA+PB=PA+PB∴此时△PAB的周长最小，∵B（3，9），∴B′∴BB'＝6，点∵A（1，1），∴点A到BB设直线AB′的直线方程为y＝kx+b，把点A和点B∴−3k+b=9k+b=1解得k=−2b=3∴直线AB′的解析式为y＝﹣2x当x＝0时，y＝3，∴P点的坐标为（0，3）,∴PH＝OH－OP＝6，此时S△PAB即△PAB的面积为6，故答案为：6．19．解：如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC