二课时球体积表面积

第二课时球的体积和表面积1.知道球的表面积和体积的计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题.课标要求素养要求在计算球的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算和直观想象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究1球的表面积与体积公式4πR2点睛1.思考辨析，判断正误(1)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.(

)提示两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶8.(2)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.()(3)球的表面积等于它的大圆面积的2倍.(

)提示S表＝4πR2＝4S大圆.×√×2.直径为1的球的体积是(

)BCA.3π B.12C.12π D.36π4.表面积为8π的球的半径是______.课堂互动题型剖析2题型一球的体积和表面积【例1】

(1)一个球的表面积是16π，则它的体积是(

)D(2)据说伟大的阿基米德逝世以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h，公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.思维升华解(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.题型二球的截面及切、接问题角度1球的截面问题【例2】

一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.(1)解当截面在球心的同侧时，如图(1)所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为Rcm，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm).同理，得O1A＝20(cm).设OO1＝xcm，则OO2＝(x＋9)cm.在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②联立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)，故球的表面积为2500πcm2.当截面在球心的两侧时，如图(2)所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.设球的半径为Rcm，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm).(2)∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm).设O1O＝xcm，则OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去.综上所述，球的表面积为2500πcm2.角度2外接球问题【例3】

设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(

)A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2B(1)球的截面问题的方法归纳：设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形.解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求解.思维升华(2)常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等.②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.【训练2】

(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________.(2)在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.一、牢记1个知识点球的表面积和体积.二、掌握一种方法——公式法三、注意1个易错点外接球、内切球球心易找错.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为(

)A.1∶9 B.1∶27C.1∶3 D.1∶1A2.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(

)C解析设正方体的棱长为a，则由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，则3.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为(

)A解析∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的体对角线，即正方体的体对角线长为2.4.如图，圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为(

)BA.4cm B.3cmC.2cm D.1cm解析设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，5.(多选题)三棱锥P－ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC，若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，则下列说法正确的是(

)A.△PAB是钝角三角形B.此球的表面积等于5πC.BC⊥平面PACBC解析

如图，在底面三角形ABC中，由AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，∴AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC.由于PC⊥底面ABC，∴PC⊥AC，PC⊥BC.∵PC∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，故C正确；由于PB2＋AB2－PA2>0，即∠PBA为锐角，∴△PAB是顶角为锐角的等腰三角形，故A错误；取D为AB中点，则D为△BAC的外心，可得三角形ABC外接圆的半径为1.二、填空题6.已知三个球的表面积之比是1∶2∶3，则这三个球的体积之比为_____________.7.在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为________.在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，8.已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是________，体积是________.12π三、解答题9.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.解如图，⊙O是球的最大截面，它内切于△ABC，球的半径为r.∴CD＝3r.(1)棱锥的表面积；解如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连接AD并延长交BC于E，连接PE.∵P－ABC为正三棱锥，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心.(2)内切球的表面积与体积.解设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥.11.正方体、等边圆柱(轴截面是正方形)与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S正，S柱，S球，下面关系中成立的是(

)A.S球>S柱>S正 B.S正>S球>S柱C.S正>S柱>S球 D.S柱>S正>S球C∴S正>S柱>S球.12.在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.13.如图，正四面体ABCD的棱长为a，球O是其内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积.解如图，设球O的半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面AC