2023-2024学年福建省厦门十一中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省厦门十一中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一元二次方程%2+6%+9=0的常数项是（）

A.0B.1C.6D.9

2.已知代数式有意义，贝以的值可能是（）

A.4B.2C.1D.0

3.已知y是x的函数，且当x=l时，y=-l,那么该函数的解析式可以是（）

A.y=%B.y=—2xC.y=x—2D.y=—%4-2

4.将抛物线y=/通过一次平移可得抛物线y=/-5,对此平移过程描述正确的是（）

A.向上平移5个单位长度B.向下平移5个单位长度

C.向左平移5个单位长度D.向右平移5个单位长度

5.某校举行年度十佳校园歌手大赛，林老师根据七位评委所给的分数，把最后一位参赛同学的得分制作成

如下表格，对七位评委所给的分数，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表中数据一定不会发生变化

的是（）

平均数中位数众数方差

88.5分86分87分5.6

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

6.某开发公司2021年投入的研发资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，计划

2023年投入400亿元研发资金.若2021年到2023年投入的研发资金年平均增长率均为X,则下列方程中正确

的是（）

A.100(1+x)=400B.100(1+2x)=400

C.100(1+x)+100(1+x)2=400D.100(1+%)2=400

7.如图，在RtziABC中，N84C=90o,O、E、F分别是三边的中点，4尸=5,

则CE的长为（）

A.2.5

B.4

C.5

D.10

2

8.如图是二次函数y=ax+b%+c的图象，图象上有两点分别为4（2.18,-0.51）,8（2.68,0.54）,则方程a/+

bx-Vc=0的一个解有可能是（）

A.2.18B.2.68C.-0.51D.2.45

9.平行四边形48co的对角线4C与80交于点0,若乙4。8=180。一248力。，那么下列说法正确的是（）

A.AB=OBB.AB=OAC.AC=BDD.AC1BD

10.已知a,b,c分别是股△ABC的三条边长，c为斜边长，ZC=90°,我们把关于％的形如y=+&的一

JCC

次函数称为“勾股一次函数”,若点在“勾股一次函数”的图象上，且/△4BC的面积是4,则c的

值是（）

A.2V-6B.24C.2V-3D.12

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.如果正比例函数y=依的图象经过第一、三象限，则实数k的值可以是.（只需写出一个符合条件

的实数即可）

12.已知一组数据4,4,4,久的方差为0,则这组数据的平均数为.

13.关于工的一元二次方程+2x-m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是.

14.用“描点法”画二次函数丫=£1/+以:+武。力0）的图象时，列出了如下表格：

X•••1234—

2

y=ax+b%+c—0-103

根据以上信息，当x=0时，y=

15.如图，在3x3的正方形网格中，每个小正方形边长为1,点4B,C均为格点,

以点A为圆心，4B长为半径作弧，交格线于点D,则CD的长为.

16.如图,在菱形ABCD中，AB=6,4。=60。.点P为边CD上一点，且不与点C,

。重合，连接BP,过点4作EF〃BP,且EF=BP,连接BE,PF,则四边形BE”

的面积为.

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题8.0分）

（1）计算：

（2）解方程：x2-4x-3=0.

18.（本小题8.0分）

已知二次函数y=x2+k的图象经过点（一2,3）

（1）求二次函数的解析式；

（2）画出此二次函数的图象.

19.（本小题8.0分）

先化简，再求值；（1一二）工，其中a=，石+2.

'a+2yaz+4a+4

20.（本小题8.0分）

为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭8月份的用水情况，并将收集的数据整理成如图统计图.

（1）小明所调查家庭8月份用水量的众数是,中位数是；

（2）求所调查家庭8月份用水量平均数；

(3)若该小区有600户居民，请你估计这个小区8月份的用水量.

如图，矩形4BCO中，AB=6,BC=8,折叠矩形纸片，使点4、C重合.

(1)请在图中利用尺规作图作出折痕EF,折痕交4。于E,交BC于F(保留作图痕迹);

(2)求出折痕EF的长度.

22.(本小题10.0分)

如图，现打算用60nl的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCO(含隔离栏EF),菜园的一面靠墙MN,墙MN可

利用的长度为39nl.(篱笆的宽度忽略不计)

(1)菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长4B的长，若不可能，说明理由.

(2)因场地限制，菜园的宽度4B不能超过8m,求该菜园面积的最大值.

I------1

MAEDN

BC

23.（本小题10.0分）

根据以下素材，探索完成任务.根据以下素材，探案完成仕务,

如何利用“漏壶”探索时间

“漏壶”是一种古代计时器，数学兴趣小组根y

据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏■软

素

壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱（圆柱的最

材15

12

大高度是27厘米）组成的，中间连通，液体可

1

以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开3

a

2341567夕宴

始时圆柱容器中已有一部分液体.

图1图2

素

实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时时间*（小时）1：2457

材

间支（小时）的部分数据如表所示：圆柱体容器液面高度y（厘米）6()151824

2

问题解决

任

在如图2所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光

务描点连线

滑的线连接；

1

任

请确定一个合理的y与％之间函数关系式，并求出自

务确定关系

变量X的取值范围：

2

任小明想要设计出“漏壶”水位高度和计时时长都是

务拟定计时方案整数的计时器，且“漏壶”水位高度需满足10厘米

3〜20厘米，请求出所有符合要求的方案.

24.（本小题12.0分）

如图，正方形4BCD中，点E在48上，点尸在BC延长线上，且4E=CF,连接。E、DF、EF,作EF的中点G.

（1）求证△。4E三△0（??；

（2）求证：4G、C三点共线：

（3）延长DG交BC于H,若BE=24E,求证：BH=CH.

ADAD

25.(本小题14.0分)

“厚德楼”、“求真楼”分别是我校两栋教学楼的名字，“厚德”出自倜易大传》：天行健，君子以自

强不息：地势坤，君子以厚德载物.“求真”出自他中理学渊源考》：“求真于未始有伪之先，而性之真

可见矣我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“厚德点”，横、纵坐标互为相

反数的点称为“求真点”.把函数图象至少经过一个“厚德点”和一个“求真点”的函数称为“厚德求真函

数”.

(1)函数y=2x-l是一个“厚德求真函数”，直接写出该函数图象上的“厚德点”和“求真点”；

2

(2)已知二次函数y=a(x-h)2+k图象可以由二次函数y=—/平移得到，二次函数y=a(x一h)+k的顶

点就是一个“厚德点”，并且该函数图象还经过一个“求真点”求该二次函数的解析式；

(3)已知二次函数y=20-<)2+0!(6：〃为常数，CK0)图象的顶点为M,与y轴交于点N,经过点M,N的

直线/上存在无数个“厚德点”.当m-1<x<m,函数y=2(x-c)2+d有最小值苧，求m的值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：方程/+6%+9=0是一元二次方程的一般形式，其中常数项是9.

故选：D.

一元二次方程的一般系数是：a/+bx+c=O(a#O),其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数

项.

本题考查的是一元二次方程的一般形式，由一般形式确定常数项.

2.【答案】A

【解析】解：代数式有意义，则x-3>0,

解得：x>3,

故x的值可能是4,

故选:A.

直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.

3.【答案】C

【解析】解：4当x=l时，y=x=l,不合题意，故该选项不正确，不符合题意；

B.当x-1时，y--2x=-2,不合题意，故该选项不正确，不符合题意；

C.当x=l时，y=x-2=1-2=-1,故该选项正确，符合题意；

。当久=1时，y=-X+2=-1+2=1,不合题意，故该选项不正确，不符合题意；

故选：C.

将x=l,分别代入各选项，得出y=—l，即可求解.

本题考查了求函数值，熟练掌握函数的定义是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：将抛物线y=/平移得到抛物线y=/—5,则这个平移过程正确的是向下平移了5个单位，

故选：B.

根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案.

本题考查了二次函数图象与儿何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减.

5.【答案】B

【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，而平均数、众数和方差均有可能改变，

故选：B.

根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数

可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数.

本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大.

6.【答案】D

【解析】解:根据题意得,100(1+x)2—400,

故选：D.

根据题意得到关系式为：2021年研发资金投入x(1+年平均增长率产=2023年研发资金投入，把相关数值

代入即可

此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，-一般形式为a(l+x)2=b,a为起始

时间的有关数量，b为终止时间的有关数量.

7.【答案】C

【解析】解：在RtAABC中，NB4C=90。，点F是斜边BC的中点，

则BC=2AF,

■：AF=5,

BC=10,

•••。、E分别是4B、AC的中点，

1

DE=^BC=5.

故选：C.

根据直角三角形斜边上的中线的性质求出BC,再根据三角形中位线定理解答即可.

本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半

是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：•••图象上有两点分别为4(2.18,-0.51)、8(2.68,0.54),

•••当％=2.18时，y=-0.51；%=2.6804,y=0.54,

.•.当y=0时，2.18cx<2.68,

只有选项。符合，

故选：D.

根据自变量两个取值所对应的函数值是-0.51和0.54,可得当函数值为0时，久的取值应在所给的自变量两个

值之间.

本题考查抛物线与X轴的交点，正确记忆点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数

值为0,就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关是解题关键.

9.【答案】C

【解析】解：,:Z.AOB+/.BAO+Z.OBA=180°,4AOB=180°-2Z.BAO,

•••Z.BAO=Z.OBA,

OA=OB,

•••四边形4BCD为平行四边形，

.-.AC=20A,BD=2OB,

•1•AC=BD,

故选：C.

由三角形的内角和定理可得NBA。=4。8力，即可得。4=OB,几何平行四边形的性质可证明AC=BD,进

而可求解.

本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：•.•点P（—L?）在“勾股一次函数”y的图象上，

=--+即a-b=一孕c，

3cc3

又•••a,b,c分别是RtAABC的三条边长，ZC=90°,RtAABC的面积是4,

1

:.-ab=4^即ab=8,

又"+川=<2,

・•・（a—b）2+2ab=c2,

即・,.（-?c）2+2x8=/,

解得c=2y/~~6f

故选：A.

依据题意得到三个关系式：a-b=-?c，ab=8,a2+b2=c2,运用完全平方公式即可得到c的值.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘

法公式是解答此题的关键.

11.【答案】1(答案不唯一)

【解析】解：•.•正比例函数y=依的图象经过第一、三象限，

k>0,则实数k的值可以是1(答案不唯一).

故答案为：1(答案不唯一).

根据题意，可得k>0,即可求解.

本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键.

12.【答案】4

【解析】解：设这组数据的平均数为3则S2=；［3X(4—/)2+Q—K2］=O,

解得x=4,

故这组数据的平均数为4.

故答案为：4.

根据平方差公式可得％=4,进而得出平均数.

本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，与，❷，…标的平均数为3则方差52=；［(/一］)2+(%2-

22

X)+-+(Xn-X)］.它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立•

13.【答案】m>-l

【解析】解：••・关于久的一元二次方程/+2工一瓶=0有两个不相等的实数根，

4=4+4m>0,

解得：m>-1.

故答案为：tn>—1.

根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0,求出m的范围即可.

此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键.

14.【答案】3

【解析】解：由上表可知函数图象经过点(1,0)和点(3,0),

二对称轴为x=2,

•••当x=4时的函数值等于当久=0时的函数值，

,•,当x=4时，y=3,

二当x=0时，y=3.

故答案是：3.

根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当％=0

时，y的值即可.

本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键.

15.【答案】3—

【解析】解：连接48,ADf如图所示：

vAD—AB=V224-22=2AA~2，

DE=J(2<7)2-12=口,

CD=3-V~7.

故答案为：3—

由勾股定理求出4B,再由勾股定理求出DE,即可得出CD的长.

本题考查了勾股定理，由勾股定理求出ZB,DE是解决问题的关键.

16.【答案】18<^

【解析】解：连接4C、AP,如图：

•••四边形ABCD是菱形，乙D=90°,

•■AB=BC=6,AD=AABC=60°,4B〃C0,

・•.△ABC是等边三角形，

过点C作CG1于点G,过点P作PH148于点H,

则CG=PH,

S4ABp=2'P"'S4ABe=2,CG>

SAABP=S44BC,

vCG1AB,

1

・•・BG=AG=^AB=3,

CG=VBC2-BG2=762-32=3<3.

vEF//BP,EF=BP,

•••四边形BEFP是平行四边形，

S平行•四边形BEFP=2SAABP,

S菱形ABCD~2S*ABC,

"S平行四边形BEFP=S菱形ABCD=AB.CG=6x3-/-3=181^

故答案为：18U.

连接AC,AP,由菱形的性质可知△ABC是等边三角形，过点C作CGJ.4B于点G,过点P作PH1AB于点”,

可得CG=PH,继而得出SA4BP=SAABC，根据勾股定理求出CG长度，再证明四边形BEFP是平行四边形，

依.据S平行四边形BEFP=S菱形ABCD进行求解即可.

本题考查菱形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定与性质及三角形的面积公式等知识，

熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题关键.

17.【答案】解：(1)原式=2/2-3/2+-1

=-1；

(2)x2-4x-3=0,

xz-4x=3,

x2—4x+4=7,即(x—2)2=7,

x-2=+-/-7>

•••/=2+V-7,x2=2—y/~7■

【解析】(1)原式利用二次根式乘法法则，以及绝对值的性质化简，化简、合并即可得到结果；

(2)方程整理后，利用配方法求出解即可.

此题考查了解一元二次方程-配方法，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题

的关键.

18.【答案】解:(1)把(-2,3)代入y=/+k得4+k=3,解得1=-1,

所以二次函数的解析式为y=x2-l；

(2)抛物线y=x2-1的顶点坐标为(0,—1),

当y=0时，x2-1=0»解得=1,乂2=-1,

则抛物线与支轴的交点坐标为(1,0),

如图,

【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象和性质，正确画出函数图象是解题

的关键.

（1）把已知点的坐标代入y=%2+k中，求出匕即可得到抛物线解析式;

(2)利用描点法画图即可.

19.【答案】解：原式=煲±年+2a

a+2Q2+4Q+4

_a+2—Q.(Q+2)(Q—2)

-a+2・(Q+2)2

_a+2

a+2a—2

2

a^'

当a=A/-5+2时,

原式=2_2_2V_5

15+2-2--5

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

20.【答案】44

【解析】解：（1）根据题意得：1+1+3+6+4+2+2+1=20（户）,

•••小明一共调查了20户家庭，

根据统计图得：8月份用水量的众数为4吨，中位数为矍=4（吨），

故答案为：4吨,4吨；

（2）平均数为4x（1+2+3x3+4x6+5x4+6x2+7x24-8）=4.5（吨）,

则所调查家庭8月份用水量的平均数为4.5吨;

(3)根据题意得：600x4.5=2700(吨)，

则这个小区8月份的用水量为2700吨.

(1)根据条形统计图求出调查的家庭总户数，根据条形统计图，位数、众数的定义解答即可：

(2)根据条形统计图和平均数的定义解答即可；

(3)根据统计图求出平均每户的用水量，乘以600即可得到结果.

此题考查了条形统计图，加权平均数，众数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键.

21.【答案】解:(1)如下图;

(2)由矩形ABCD中，AB=6,BC=8,

得力C=V62+82=10，

由折叠使点4、C重合，

得EF垂直平分AC,

得。4=OC=^AC=5,

由乙4cB="CB,4B=4FOC=90。,

得A4BC7FOC,

喘啮畔♦

得OF=3.75,

由力D//BC,

又由。4=0C,

得OE=OF,即EF=2OE=7.5.

【解析】(1)作垂直平分即可；

(2)发现△4BC7F0C,求出OF即可解题.

本题是一道折叠矩形纸片题目，主要考查了相似三角形，垂直平分等知识，关键是发现全等三角形.

22.【答案】解：⑴设AB的长为*m,则BC的长为(60-3x)7n,

根据题意得:x(60-3x)=252,

解得x=6或x=14,

当x=6时，BC=60-18=42>39,舍去；

当x=14时，BC=60-42=18<39,满足题意，

.•.花园面积可能是2527n2,此时边AB长为14?n；

(2)设ZB的长为xm,菜园面积为ym2,

由题意得：y=x(60—3x)=—3x2+60%——3(x—10)2+300,

—3<0,

.,.当x<10时，y随x的增大而增大，

Vx<8,

.,.当x=8时，y最大，最大值为288.

答：该菜园面积的最大值为2887n2.

【解析】(1)设48的长为xni,则BC的长为(60-3x)/n,根据矩形的面积=252列出方程，解方程取符合题

意的值即可；

(2)设4B的长为xm,菜园面积为ym2,根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值.

本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和解析式.

23.【答案】解：任务一，如图2；

v

图2

任务二，设y=kx+b,将(1,6),(2,9)代入得,

俨+b=6

l2k+b=9'

解得忆”

・•・y=3%+3；

・••圆柱的最大高度是27厘米，

•1■y=27时，x=8,

•••自变量x的取值范围是0<%<8；

任务三，由图象可知当10WyW20时，水位高度和计时时长都是整数的点有（3,12）、（4,15）、（5,18）,

・••共有三种方案：方案一，时间3小时时，水位高12厘米；方案二，时间4小时时，水位高15厘米；方案三,

时间5小时时，水位高18厘米.

【解析】任务一，根据已知表格数据描点、连线即可解答；

任务二，利用待定系数法可求y=3%+3,再根据题意得出自变量的取值范围；

任务三，当y=10时，求得X，当y=20时，求得x=争可知gx〈冬再结合题意即可解答；或者

观察当10SyW20时对应的图象，也可得解.

本题考查了一次函数性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与方案选择问题，掌握一次函

数性质是解题的关键.

24.【答案】证明：(1)••・四边形4BCD是正方形,

・••AD=CD,=乙BCD=90°=乙DCF,

在△ZZ4E和△DCF中，

AD=CD

Z.A=乙DCF,

AE=CF

・•・△DAE=LDCF(SAS)；

(2)连接BG,AC,

DAE=LDCF,

・•・Z-ADE=乙CDF,

・・,乙ADC=Z.EDF=90°,

・・•点G是E尸的中点,Z-EDF=Z-EBF=90°,

DG=\EF=BG,

又•：BC=CD,CG=CG,

•••△BCG三4OCG(SSS),

・••乙DCG=乙BCG，

CG平分乙BCD,

•••四边形力BCD是正方形,

•••AC平分/BCD,

二月、G、C三点共线；

(3)如图，连接EH,

•••BE=2AE,

.•.设4E=a,则BE=2a,

BA=BC=3a,CF=AE=a,

■■BF=4a,

••,ADCF,

：.DE=DF,

•・•点G是EF的中点，

OG垂直平分EF,

:.EH=FH,

vEH2=BE2+BH2,

222

A(4a-BH)=4a+BH,

3

BH=ja,

3

•••CH=BC-BH

BH=CH.

【解析】(1)由"SAS”可证△DAE三△DCF；

(2)由直角三角形的性质可得OG==BG,由“SSS”可证ABCG三ADCG,可得CG平分ZBCD,由正方

形的性质可得AC平分/BCD,可得结论；

(3)由全等三角形的性质可得DE=DF,由等腰三角形的性质可得DG垂直平分EF,可得EH=FH,由勾股

定理可求BH的长，即可求解.

本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等

知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

25.【答案】解：(1)由题意得