2023-2024学年山西省临汾市两县一市九年级（上）9月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年山西省临汾市两县一市九年级（上）月考数学试卷（9

月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.「B.CIC.V-T4D.V-8

2.将一元二次方程87一3%-5=2化为一般形式后，二次项系数和常数项分别为（）

A.8,-5B.8,-7C.8,-3D.-3,-5

3.下列计算中正确的是（）

A.VT5+C=73B.3<2-V-2=3C.x<5=10D.+<7=AHL2

4.要使二次根式V6x+12有意义,则x的取值范围是（）

A.xW—2B.x之一2C.x>—D.x<—^

5.用配方法解一元二次方程/-6x+1=0,则配方后所得的方程为()

A.(x+3)2=10B.(x+3/=8C.(x-3)2=10D.(x-3)2=8

6.一元二次方程(％+I)2=2(%+1)的解为()

A.x=2B.x=—1C.x-2或x=-1D.x=1或x=—1

7.某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛28场.设共有x个班参赛，根据题意可列方

程为（）

A.x（x-1）=28B.^^=28C.=28D.x（x+1）=28

8.已知2<a<3,则化简J（。一兀）2+|a—2|的结果为（）

A.7T—2B.2a—71—2C.兀+2D.2—TC

9.若关于X的一元二次方程（根+2）/-2/nx+m=1有实数根，则m的取值范围为（）

A.m<2且mW—2B.m<2

C.m<1且？n。—2D.Tn>2

10.有3人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有363人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人

数是（）

A.7B.8C.9D.10

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11.若关于％的方程/一k%+2/c=-2的一个根是一4,则常数k的值为

12.计算Gxf一厅的结果是.

13.已知a是正整数，是整数，则a的最小值为.

14.写出一个两个根分别为1和-3的一元二次方程.

15.用87n长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为10巾2,

并且在垂直于墙的一边开一个Im长的小门(该门用其他材料)，若墙长4.5m,

则该长方形场地的长为m.___J

三、解答题(本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤)

16.(本小题10.0分)

解下列一元二次方程：

(l)(2x+3)(x-2)=3x-5；

(2)x2-81=2x-18.(因式分解法)

17.(本小题10.0分)

计算：

(1)(<6+3)(C—3)+(2AT5-O；

(2)5<^2+2>M53V~108.

o

18.(本小题9.0分)

已知关于x的方程/-(/c+l)x+2fc=3.

(1)求证：无论k为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)若该方程有一个根为1,求该方程的另一个实数根.

19.(本小题7.0分)

一个两位数，个位数字比十位数字大4,把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位

数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数.

20.(本小题8.0分)

观察下列各式：

2J1+1=V22+2：

3J1+i=732+3；

4J1+3=742+4;

(1)根据你发现的规律填空：711+；=;

(2)请用n(n为正整数)来表示含有上述规律的等式，并证明该等式成立.

21.(本小题11.0分)

“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购

进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售

价不变的基础上，九月的销量达到288个.

(1)求八，九两月销量的月平均增长率；

(2)十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销

量的基础上增加3个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利1800元？

22.(本小题8.0分)

请阅读下列材料，并完成相应的任务.

如果关于x的一元二次方程a/+取+c=0(aH0)有一个根是1,那么我们称这个方程为“方正方程”.

(1)判断一元二次方程3M—5x+2=0是否为“方正方程”，请说明理由；

(2)已知关于x的一元二次方程5/-bx+c=0是“方正方程”，求炉一2c的最小值.

23.(本小题12.0分)

如图，在直角AaBC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=10cm,现有动点P从点B出发，沿射线BC运动，速

度为2cm/s,动点Q从点4出发，沿线段4c运动，速度为lcm/s,到点C时停止运动，它们同时出发，设运

动时间为t秒.

(1)当t=3时，求的面积；

(2)多少秒时，△PQC的面积为2cm2?

答案和解析

1.【答案】c

解：J］、口1=几，它们都含有分母，都不是最简二次根式，

故选项4、B不符合题意；

C=被开方数中含有能开得尽方的因式，它不是最简二次根式，

故选项。不符合题意；

n?符合最简二次根式的定义，故选项c符合题意.

故选：C.

利用二次根式的定义逐个判断得结论.

本题考查了二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键.

2.【答案】B

解：将一元二次方程8/—3x—5=2化为一般形式为8/-3%—7=0,

•••二次项系数和常数项分别为8,-7,

故选：B.

根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bY+c=0(a,b,c为常数且a力())，即可解答.

本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.

3.【答案】A

解：A.+C15+5=所以月选项符合题意；

B.3A/-2-V-2=2y/~2,所以B选项不符合题意；

C.\l~2Xy/~5=V2X5=V10＞所以C选项不符合题意；

D/亏与，7不能合并，所以。选项不符合题意.

故选:A.

根据二次根式的除法法则对4选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的

乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的加法运算对。选项进行判断.

本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题

的关键.

4.【答案】B

解：由题意得：6%+12>0,

解得：x>—2,

故选：B.

根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案.

本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤.

两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得.

【解答】

解：v%2-6%+1=0,

X2-6x=—1,

WJx2-6x+9=-1+9,即(x-3)2=8,

故选。.

6.【答案】D

解：(x+1)2=2(x+1),

移项，得(x+l)2-2(x+1)=0,

(%+1)(%+1—2)=0.

・・.(%+1)(%—1)=0.

A%4-1=。或%—1=0.

AX=-1或％=1.

故选：D.

先移项，利用提公因式法得一元一次方程，求解即可.

石=-1,x2=1-

7.【答案】C

解：根据题意得：写9=28.

故选：C.

利用比赛的总场数=参赛班级数x(参赛班级数-1)+2,即可列出关于久的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

8.【答案】A

解：J(a—兀)2+|a-2|

=\a-n\+\a-2\,

2<a<3,

•,•原式=n—a+a-2

=7T—2.

故选：A.

利用二次根式的性质先化简J(a-兀产,再利用绝对值的定义化简得结论.

本题主要考查了二次根式，掌握二次根式的性质"G=|a|"及绝对值的定义是解决本题的关键.

9.【答案】A

解：:关于x的一元二次方程(m+2)x2-2mx+m=1有实数根，

4=(-2m)2—4x(?n+2)(m—1)>0且m+2r0,

解得m<2且znM-2.

故选：A.

根据方程根的情况，利用根的判别式及一元二次方程的定义列出关于rn的不等式，解之可得.

本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程a/+bx+c=0(a#0)的根与A=b2-

4ac有如下关系：

①当4>0时，方程有两个不相等的实数根；

②当4=。时，方程有两个相等的实数根；

③当4<0时，方程无实数根.

10.【答案】D

解：设每轮传染中平均一个人传染x人，

则：3+3x+(3+3x)x=363,

解得：％=10,小=一12(不合题意，舍去)，

故选：D.

根据“经过两轮传染后共有363人患了流行性感冒”列方程求解.

本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系是解题的关键.

11.【答案】一3

解：：关于x的方程K-kx+2k=一2的一个根是一4,

二(一4产-kx(-4)+2k=-2,

解得：fc=-3.

故答案为:-3.

将x=-4代入x的方程/—kx+2k=—2之中即可求出k的值.

此题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是解答此题的关键.

12.【答案】\

解：

4

V20x34-15

二4

V-4

二丁

2

=4

_1

一2,

故答案为：p

利用二次根式的乘除法法则，按从左往右的顺序计算即可.

本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘除法法则是解决本题的关键.

13.【答案】7

解：V112a=V16x7a=4V灰，

・••a是正整数，是整数，

・•.a的最小值为7.

故答案为:7.

因为是整数，且「1^=4/元，则7a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为7.

本题主要考查了二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.二次根式的运算法

则：乘法法则，解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式.

14.【答案】x2+2x-3=0（答案不唯一）

解：•••1-3=-2,1x（-3）=-3,

•••以1和一3为根的一元二次方程可为/+2%-3=0.

故答案为：/+2乂­3=0（答案不唯一）.

先计算出1与-3的和、积，然后根据根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程.

本题考查了根与系数的关系：若与，X2是一元二次方程。/+以+，=0(£1。0)的两根时，％1+次=一，

%1小=

15.【答案】4

解：设该长方形场地的长为xm,

解得：%!=4,x2=5(不合题意，舍去)，

故答案为：4.

根据“场地的面积为1062”列方程求解.

本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系是解题的关键.

16.【答案】解：(l)2x2-4x+3%-6=3x-5,

方程整理为2M—4x—1=0,

x2-2%=

%2—2x+l=|+l,

(%-1)2=£

X-1=土竽，

所以与=14-丫，x2=1—了；

(2)x2-81=2x-18,

(%+9)(%—9)—2(%—9)=0,

(x-9)(%+9—2)=0,

x-9=0或％+7=0,

=

所以％i=9,x2一7.

【解析】Q)先把方程化为一般式，再利用配方法得到1)2=1，然后利用直接开平方法解方程；

(2)先移项得到(x+9)(x-9)-2(%-9)=0,再利用因式分解法把方程转化为x-9=。或x+7=0,然后

解两个一次方程即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简

便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法.

17.【答案】解：(1)(/石+3)(，石一3)+(2，石一O

=6-9+20-4>/-15+3

=20-47^5:

(2)5>Tl2+2/75-e-^7^5-3/

=IOC+16<^-180

=8V-3.

【解析】(1)利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；

(2)先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答.

本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键.

18.【答案】解：(I)/-(fc+l)x+2/c-3=0,

4=[-(/c+I)]2-4(2fc-3),

—1—6k+13

=(/C-3)2+4,

v(fc-3)2>0,

4=(/c-3)2+4>0,

・•.无论k为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)把x=1代入原方程得：1一(k+1)+2k-3=0,

解得k=3,

:,x2—4%+3=0,

•••两根之和为4,

4-1=3,

该方程的另一个实数根为3.

【解析】(1)先计算出Z=[-(fc+I)]2-4(2fc-3),然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根

的情况；

(2)把尤=1代入原方程，通过解新方程可以求得k的值，根据两根之和求解可得方程的另一根.

本题考查了一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)的根的判别式d=b2-4ac及根与系数的关系，①当A>

0,方程有两个不相等的实数根；②当4=0,方程有两个相等的实数根；③当』<0,方程没有实数根.

19.【答案】解：设原来的两位数的十位数字为x,

x(10x+x+4)+10=10(x+4)+尤,

整理得：11X2-7X-30=0

解得：%1=2,%2=-1|(不符合题意，舍去)

x+4=6,故原来的两位数为26.

答：原来的两位数为26.

【解析】先设原来的两位数的十位数字为X,再根据题意列出等式，最后进行计算即可.

本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

20.［答案］272+7

解：(1)根据上面的规律，可得：7J1+|=.72+7.

故答案为：V72+7-

(2)nJ1+；=弋n2+n(n为正整数);

证明：:n为正整数，

n=Vn2-

—Vn2+n-

(1)通过观察先发现规律，利用规律得结论；

(2)先猜想规律，再利用二次根式的性质和二次根式的乘法法则证明.

本题主要考查了二次根式，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则等知识点是解决本题的关键.

21.【答案】解：(1)设八，九两月销量的月平均增长率为x,

由题意可得:200/2+x)2=288%,

解得：Xj-0.2—20%,x2=—2,(不符合题意，舍去)，

答：八，九两月销量的月平均增长率为20%；

(2)设该品牌头盔售价降低a元，

(30-a-20)(288+3a)=1800,

整理得：a2+86a-360=0,

解得：的=4,=-90(不符合题意，舍去)，

30-a=30-4=26(元)，

答：该品牌头盔售价为26元时，超市十月能获利1800元.

【解析】(1)设八，