2024届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣数学冲刺卷一（含答案）

届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣冲刺卷一数学全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级，考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．圆的圆心到直线与直线的距离相等，则实数（）A． B．1或 C．或3 D．32．下图为某地区2013~2023年移动电话普及率（单位：%）发展情况统计：A．114.4 B．112.9 C．112.55 D．119.23．在数列中，已知，且，则（）A．256 B．196 C．144 D．964．二项式的展开式中所有项的系数和为243．则展开式中含项的二项式系数为（）A． B． C．5 D．105．已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，F为其焦点，P为C上一点，Q是C的准线与x轴的交点，若，，则抛物线C的方程为（）A． B． C． D．6．（）A． B． C． D．7．如图，在直三棱柱中，，P为线段的中点，Q为线段（包括端点）上一点，则的面积的最大值为（）A． B． C．2 D．8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C左支相交于A，B两点，若，，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．已知i为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是（）A．B．的共轭复数为C．若，则D．使成立的，10．已知函数的图象的一个对称中心为，且与此对称中心相邻的一条对称轴为，则下列结论正确的是（）A．的振幅为2频率为B．在上单调递减C．在上只有一个零点D．若，则11．已知定义在R上的函数满足：对任意x，，恒成立，且，则（）A．函数的图象过点B．函数的图象关于原点对称C．的图象关于点对称D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是______．13．现将一个高为4，体积为的圆柱削成一个空间几何体ABCD，其中棱AB，CD分别为圆柱上、下底面上相互垂直的两条直径，则被削去部分的体积为______．14．若不等式或只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式．已知不等式为单元集不等式，则实数a的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．16．（15分）近期一个被网友戏称为“科目三”的魔性舞蹈横空出世，欢快的场景、强烈的节奏加上夸张、土味的肢体动作，成为年轻人争相模仿学习的舞蹈新宠．然而任何事物都有其两面性，丝滑魔性的舞蹈动作在吸引人模仿的同时，脚踝的循环内翻、外翻这个动作，如果平衡节奏把握不当，就容易引起脚踝处的损伤：为了解小学生是否知道“科目三”舞蹈会带来损伤，志愿者随机走访了90名小学生，得到相关数据如下：知道不知道总计低年龄段142640高年龄段351550总计494190（1）根据统计数据，依据小概率值的独立性检验，分析“知道‘科目三’舞蹈会带来损伤”与“学生的年龄段”是否有关；（2）为了解小学生们对待新鲜事物的态度，按低年龄段、高年龄段进行分层，用分层随机抽样的方式从上述走访的知道“科目三”舞蹈会带来损伤的学生中邀请了7名学生，从这7名学生中随机抽取3名填写调查表，记X为这3名学生中为高年龄段的人数，求X的分布列和数学期望．附表及公式：0.10.050.010.050.0012.7063.8416.6357.87910.828，其中．17．（15分）在三棱锥中，D为线段PA的中点，，．（1）证明：；（2）若，平面平面ABC，求平面PBC与平面DBC的夹角的余弦值．18．（17分）已知P为椭圆上一点，过原点且斜率存在的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点且斜率存在的直线（与不重合）与椭圆C相交于M，N两点，且点P满足到直线和的距离都等于．（1）求直线和的斜率之积；（2）当点P在C上运动时，是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．19，（17分）有序数组是指数组里的数是按规定次序排列的，虽然仍然是同样一些数，但排列次序不同，看作是不同的数组．已知有序数组：，由此数组变换可得到一个新的有序数组：．如果有序数组中的数满足：当时，恒成立，则称有序数组为“首差不减数组”．（1）已知有序数组P：，Q：，试判断有序数组P，Q是否为“首差不减数组”，并说明理由；（2）有序数组是数1，2，3，…，m的一个排列，有序数组，若有序数组M，N均为“首差不减数组”，列举出所有满足条件的有序数组M．2024届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣冲刺卷一参考答案数学1．C【解析】由题意知，解得或．故选C．2．B【解析】这11年移动电话普及率从小到大排列为90.8，92.5，94.5，95.6，102.0，112.2，112.9，114.4，116.3，119.2，182.5．因为，由此可知第60百分位．数是第7个数，即112.9．故选B．3．D．【解析】由，知为等差数列，所以由等差数列的性质知．故选D．4．C【解析】展开式所有项的系数和为243，所以令得，解得，所以展开式的通项公式为，由，得，所以含项的二项式系数为．故选C．5．B【解析】设抛物线C的方程为．如图所示，作PH垂直准线于H，则由抛物线的定义可知，．在中，，则在抛物线C上，所以，解得．故选B．6．A【解析】原式．故选A．7．A【解析】取AB的中点压，连接CE，过Q作，垂足为M，过M作，垂足为N，连接QN，PE，则，且，点E到BC的距离为．由直三梭柱的性质知平面ABC，所以平面ABC，MN，平面ABC，则，，且，QM，平面QMN，所以平面QMN，且平面QMN，则，可知，当且仅当点Q与点P重合时，等号成立，所以△BCQ面积的最大值为．故选A．8．C【解析】如图由，，结合正弦定理得，，由双曲线的定义分析可得，，，，．在中，由余弦定理有．又因为，于是在中，由余弦定理有，整理，得，所以，所以故选C．9．BD【解析】对于A，由题意，得，所以，故A不正确；对于B，，其共轭复数为，故B正确；对于C，若，则，故C不正确；对于D，因为，，若，则，解得，故D正确．故选BD．10．BC【解析】对于A，由题意，得，所以，所以函数的振幅为2，频率为，故A不正确；对于，所以．由，得．又，所以，所以．当时，．因为，所以在上单调递减，故B正确：对于C，令，得，解得，所以函数在只有一个零点，故C正确；对于D，若，则，则，故D不正确，故选BC．11．ACD【解析】对于A，令，则．因为，所以，故A正确；对于B，用代替y，得．又，整理得，所以为偶函数，且，故B不正确；对于C，用代替x，代替，y，得．又，所以，即，进一步可得．又，，故，所以，由此规律可得．用2x代替x，0代替y，得①．代替x，0代替y，得②，由①+②得．又为偶函数，所以，所以函数的图象关于点对称，故C正确；对于D，由对C选项的分析知，，故D正确，故选ACD．12．【解析】因为，，若中有2个元素，所以，所以，解得．13．【解析】如图所示，设圆柱的底面米径为r，则由，解得．设圆柱上、下底面的圆心分别为，O，则．又，，，平面AOB，所以平面AOB，所以空间几何体ABCD的体积为，所以被削去部分的体积为．14．【解析】根据题意可转化为满足的整数x的个数为1．令，，当时，数形结合得，的解集中整数的个数有无数多个，不符合题意；当时，，所以，解得，只有一个整数解，所以符合题意；当时，作出函数和的图象，如图所示，要使的整数解只有一个，只需满足，即，结合可得．综上所述，实数a的取值范围是．15．解：（1）由题意知函数的定义域为，，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在．上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）因为不等式在区间上有解，所以在区间上有解，即在区间上有解．令，则．令，则，所以函数在上单调递增，所以．当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，综上可知，实数a的取值范围是．16．解：（1）提出零假设：“知道‘科目三’舞蹈会带来损伤”与“学生的年龄段”无关，根：据列联表中的数据，得．根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“知道‘科目三’舞蹈会带来损伤”与“学生的年龄段”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．（2）由题意得，邀请的7名学生中，低年龄段的有2人，高年龄段的有5人，所以X的所有可能取值为1，2，3，可得，，，所以随机变量X的分布列为X123P．17．解：（1）证明：在△PAC中，因为D为线段PA的中点，且，则△PAC为直角三角形，且．取AC的中点O，连接DO，BO，则，所以．因为，所以．因为，BO，平面BOD，所以平面BOD．因为平面BOD，所以．（2）因为平面平面ABC，平面平面，，平面PAC，所以平面ABC，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OD所在直线为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面PBC的法向量为，则,取；则．设平面DBC的法向量为，则，取，则，所以,即平面PBC与平面DBC的夹角的余弦值为．18．解：（1）设直线的方程为，直线的方程为，，则根|据点到直线的距离公式可得，化简得，同理可得，所以，是一元二次方程的两实数根，，则有．又因为点在C上，所以，即，所以（定值）．（2）是定值，且定值为12．理由如下：设，，联立方程组，解得，所以，同理可得．由椭圆的对称性知，，所以．由（1）知，所以（定值）．19．解：（1）对于有序数组P有，，满足题意，所以有序数组P是“首差不减数组