圆锥曲线的综合问题（讲）数学一轮复习讲练测（浙江版）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第九章解析几何第九节圆锥曲线的综合问题【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测圆锥曲线的综合问题（1）会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题。（2）了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法。（3）理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用。2013•浙江文22；理21；2014•浙江文17，22；2015•浙江文19；理19;2016•浙江文19;理19;2017•浙江21。1。考查直线与椭圆的位置关系;2。考查直线与抛物线的位置关系；3.考查直线与圆、圆锥曲线的综合问题,如取值范围、最值、定值、定点、存在性问题等。4。备考重点：(1)掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质；(2）熟练掌握常见直线与圆锥曲线综合问题题型的解法；（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题。【知识清单】1.圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果（题中未告知，可用特殊值探路求之）,解答这类题要大胆设参,运算推理,到最后参数必清，定值显现．对点练习：【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（=2\＊ROMANII)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。【答案】（Ⅰ）(）（=2\＊ROMANII）【解析】试题解析：（Ⅰ）因为,,故,所以,故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：().（Ⅱ)当与轴不垂直时，设的方程为，,。由得.则,。所以。过点且与垂直的直线：,到的距离为，所以.故四边形的面积。可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为。当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12。综上，四边形面积的取值范围为.2。圆锥曲线中的最值与范围问题与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等;二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用．对点练习：【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点，则｜AB｜+｜DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A3.圆锥曲线中的探索性问题探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在,也可以采用反证法．对点练习:【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；(2）设点Q在直线上，且。证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。【答案】(1)。（2）证明略.【解析】（2）由题意知。设,则,.由得,又由（1)知，故。所以,即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。【考点深度剖析】圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点．命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题;三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题．命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点．【重点难点突破】考点1圆锥曲线中的定点、定值问题【1-1】【2016年高考北京理数】已知椭圆C：(）的离心率为，，，,的面积为1.（1）求椭圆C的方程;（2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点M,直线PB与轴交于点N。求证：为定值.【答案】（1）；(2）详见解析.【解析】（1）由题意得解得.所以椭圆的方程为.直线的方程为。令，得.从而.所以.当时，，所以。综上，为定值.【1—2】【2016高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆C：

的离心率是，抛物线E:的焦点F是C的一个顶点。

（=1\＊ROMANI）求椭圆C的方程;（=2\＊ROMANII）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M。（=1\*romani）求证：点M在定直线上;(=2\＊romanii)直线与y轴交于点G，记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点P的坐标。【答案】（Ⅰ）;(Ⅱ）(=1\*romani）见解析;（=2\＊romanii）的最大值为，此时点的坐标为（Ⅱ）（i）设，由可得，所以直线的斜率为,因此直线的方程为，即。设，联立方程得,由,得且，因此，将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为,即点在定直线上.(ii)由（i）知直线方程为，令得，所以,又，所以，,所以,令,则，当,即时，取得最大值,此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为。【领悟技法】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的。定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理,到最后必定参数统消，定点、定值显现。【触类旁通】【变式一】【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】在平面直角坐标系中,已知椭圆,如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点。(1）求的最小值;(2）若,求证:直线过定点.【答案】(1）。(2）见解析（2)由（1）知所在直线方程,和椭圆方程联立，求得点的坐标，并代入，得到，因此得证直线过定点；试题解析：（1）设直线的方程为，由题意，，由方程组,得，由题意,所以，设,由根与系数的关系得，所以，由于为线段的中点，因此,此时,所以所在直线的方程为，又由题意知，令，得，即,所以，当且仅当时上式等号成立，此时由得，因此当且时，取最小值.（2）证明：由(1）知所在直线的方程为,将其代入椭圆的方程，并由，解得，又,由距离公式及得，，，由,得,因此直线的方程为，所以直线恒过定点.【变式二】【2017届北京市东城区东直门中学高三上学期期中】如图,椭圆E:x2a2（1）求椭圆E的方程．（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），判断直线AP与AQ的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值;若不是定值，请说明理由．【答案】（1）x22+y2（2）由题设知，直线PQ的方程为y=将直线方程与椭圆方程联立，y=k(由已知Δ>0设P(x1,y则x1+x从而直线AP，AQ的斜率之和：k=2k故直线AP、AQ斜率之和为定值2．考点2圆锥曲线中的最值与范围问题【2—1】【2018届江苏省仪征中学高三10月检测】椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上。不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为S.（1)求椭圆C的方程.（2)试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S的范围.【答案】（1)（2）5(3）设直线的方程为,代入椭圆方程,消去,根据、、恰好构成等比数列,求出,进而表示出，即可得出结论。表示出的面积，利用基本不等式，即可求出的范围。解析:(1）由题意可知，且，所以椭圆的方程为

（2）依题意，直线斜率存在且,设直线的方程为（）,、由，因为、、恰好构成等比数列，所以，即；所以

此时得，且(否则：，则，中至少有一个为，直线、中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）

所以；所以所以是定值为5;

(3）(,且）所以

【2—2】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】如图，已知抛物线x2=y，过直线l:y=-1（I)求证：MA⊥（II）求△MAB【答案】(1）见解析(2）ΔMAB面积取最小值1【解析】试题分析:（1）设Mx0,-14，MA,MB的斜率分别为k1,k2,由切线条件，易得Δ=0，即k2（II)由(I）得Ak1MA=1+所以S=综上，当x0=0时，ΔMAB面积取最小值【综合点评】1。(1）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2）对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理,最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求"“整体代入”“点差法"的灵活应用．2。解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想,其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．【领悟技法】圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围;②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．【触类旁通】【变式1】【2018届浙江省名校协作体高三上学期联考】设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（）【答案】A

当椭圆的焦点在轴上时，，

当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足,,，解得:，的取值范围是故选A．【变式2】【2018届浙江省名校协作体高三上学期联考】如图,已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点,求面积的最小值．【答案】（Ⅰ)的方程为其准线方程为；(Ⅱ)2。联立由韦达定理得,可求得．进而求得点到直线的距离．则的面积所以当时，取最小值为。即面积的最小值为2。．试题解析：（Ⅰ）的方程为其准线方程为．(Ⅱ）设,，,则切线的方程：，即，又，所以,同理切线的方程为，又和都过点，所以，所以直线的方程为。联立得，所以。所以．点到直线的距离．所以的面积所以当时，取最小值为。即面积的最小值为2。考点3圆锥曲线中的探索性问题【3—1】【2017届湖南省长沙市长郡中学高三下学期临考冲刺】在平面直角坐标系中,点,圆，以动点为圆心的圆经过点,且圆与圆内切.(Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）若直线过点，且与曲线交于两点,则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在,求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1)（2）在轴上存在一点,使得轴平分。试题解析：解:（Ⅰ)圆的方程可化为：,故圆心，半径，而，所以点在圆内。又由已知得圆的半径，由圆与圆内切可得，圆内切于圆，即,所以，故点的轨迹,即曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆.显然,所以，故曲线的方程为(Ⅱ）设,当直线的斜率不为时,设直线，代入得：，恒成立.由根与系数的关系可得，,设直线的斜率分别为,则由得，。∴，将代入得,因此，故存在满足题意。当直线的斜率为时,直线为轴，取,满足，综上，在轴上存在一点，使得轴平分。【3—2】【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知点在椭圆内,过的直线与椭圆相交于A，B两点，且点是线段AB的中点，O为坐标原点．（Ⅰ)是否存在实数t，使直线和直线OP的倾斜角互补？若存在，求出的值,若不存在，试说明理由；(Ⅱ)求面积S的最大值．【答案】(Ⅰ)存在;（Ⅱ）.【解析】试题分析：试题解析:（Ⅰ）存在.由题意直线的斜率必存在,设直线的方程是代入得：.（1）设，，则,即，解得：,此时方程(1）即由解得，，（或由解得，）当时，显然不符合题意；当时，设直线的斜率为，只需，即，解得,均符合题意.（Ⅱ)由（1）知的方程是，所以,，因为，所以当时,。【领悟技法】解析几何中存在性问题的求解方法：1．通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在,否则（点、直线、曲线或参数）不存在．2．反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．【触类旁通】【变式一】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】如图，已知椭圆经过不同的三点在第三象限),线段的中点在直线上．（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；（Ⅱ）设点是椭圆上的动点（异于点且直线分别交直线于两点，问是否为定值？若是,求出定值；若不是，请说明理由．【答案】(1）；（2）．试题解析：（Ⅰ）由点在椭圆上，得解得所以椭圆的方程为………3分由已知，求得直线的方程为从而（1）又点在椭圆上，故(2)由（1）（2)解得（舍去）或从而所以点的坐标为………6分（Ⅱ）设因三点共线,故整理得因三点共线，故整理得……………10分因点在椭圆上，故，即从而所以为定值．………15分【变式二】【2018届云南省大理市云南师范大学附属中学月考卷二】已知点A为圆x2+y2=8上一动点，AN⊥x轴于点N(1）求动点Q的轨迹方程；（2）若Γ是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当m=22时，得到动点Q的轨迹为曲线C，过点P(-4,0)的直线l与曲线C相交于E,F两点，当线段【答案】（1）x28+（Ⅰ）设动点Q(x，  y又OQ=mOA代入①得动点Q的轨迹方程为x2（Ⅱ）当m=22时,动点Q的轨迹曲线C直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k(得(1+2k由Δ=解得-2设E(x1，  则x'由题设知，正方形Γ在y轴左边的两边所在的直线方程分别为y=x+2，y=-x-2,注意到点G不可能在y'≤解得-3于是直线l的斜率的取值范围为-3考点4直线、圆及圆锥曲线的交汇问题【4-1】【2017届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期第六次模拟】已知椭圆,直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆的另一个焦点是,且.(1)求椭圆的方程；(2)直线过点,且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值。【答案】(1）；（2）3。【解析】试题分析:（1）由题意求得,所以椭圆的方程为；(2）由题意求得内切圆的面积函数：，换元之后结合对勾函数的性质可得面积的最大值为3。(2）由（1）知，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为，则（为三角形的内切圆半径）,当面积最大时,其内切圆面积最大设直线的方程为：由得所以令,则，所以，而在上单调递增，所以，当时取等号，即当，面积的最大值为3【4—2】已知圆M：(x＋1）2＋y2=1，圆N：(x－1）2＋y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C(Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求｜AB|.【答案】（1）；（2）。若直线l不垂直于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，解得，故直线l：;有l与圆M相切得，解得;当时，直线,联立直线与椭圆的方程解得；同理，当时，。【领悟技法】直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．【触类旁通】【变式一】【2018届江西省南昌市上学期高三摸底】已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程;（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证:点在定圆上。【答案】(1）椭圆的标准方程为(2）证明见解析②，由①②得点在定圆上。试题解析：(1）设焦距为，由已知，，∴，,∴椭圆的标准方程为。（2)设，联立得，依题意，,化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【变式二】【2017届云南省昆明市高三下学期第二次统测】在直角坐标系中，动圆与圆外切，同时与圆内切.（1）求动圆圆心的轨迹方程;（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，设是曲线上两点，点关于轴的对称点为(异于点），若直线分别交轴于点,证明：为定值。【答案】（1)；（2）详见解析.，所以动圆圆心的轨迹方程为。（2)设，则，由题意知。则,直线方程为，令，得，同理，于是，又和在椭圆上，故，则.所以。【易错试题常警惕】易错典例：中，B，C坐标分别为（-3，0）,（3,0)，且三角形周长为16,求点A的轨迹方程．易错分析：没注意检验曲线上的点是否都满足题意．温馨提示：1.要注意完备性和纯粹性的检验．2.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x，