力法-力法的典型方程（建筑力学）

力法以上我们以一次超静定梁为例，说明了力法原理，下面我们讨论多次超静定的情况。如下图(a)所示的刚架为二次超静定结构。下面以B点支座的水平和竖直方向反力X1、X2为多余未知力，确定基本结构，如图(b)所示。

力法的典型方程力法按上述力法原理，基本结构在给定荷载和多余未知力X1、X2共同作用下，其内力和变形应等同于原结构的内力和变形。原结构在铰支座B点处沿多余力X1和X2方向的位移(或称为基本结构上与X1和X2相应的位移)都应为零，即

(12-2)式12-2就是求解多余未知力X1和X2的位移变形协调条件。如下图所示，表示基本结构上多余未知力X1的作用点沿其作用方向，由于荷载单独作用时所产生的位移；表示基本结构上多余未知力X2的作用点沿其作用方向，由于荷载单独作用时所产生的位移；表示基本结构上Xi的作用点沿其作用方向，由于=1单独作用时所产生的位移。式(12-3)就是为求解多余未知力X1和X2所需要建立的力法方程。其物理意义是：在基本结构上，由于全部的多余未知力和已知荷载的共同作用，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等。在本例中等于零。在计算时，我们首先要求得式(12-3)中的系数和自由项，然后代入式(12-3)，即可求出X1和X2，剩下的问题就是静定结构的计算问题了。根据叠加原理，式(12-2)可写成以下形式(12-3)用同样的分析方法，我们可以建立力法的一般方程。对于n次超静定的结构，用力法计算时，可去掉n个多余联系，得到静定的基本结构，在去掉的多余联系处代以n个多余未知力。相应地也就有n个已知的位移件。据此可以建立n个关于多余未知力的方程：上式就是力法方程的一般形式。通常称为力法典型方程。

（12-4）在以上的方程组中，位于从左上方至右下方的一条主对角线上的系数称为主系数，主对角线两侧的其他系数称为副系数，最后一项称为自由项。所有系数和自由项都是基本结构上与某一多余未知力相应的位移，并规定以与所设多余未知力方向一致为正。（12-4）由于主系数代表由于单位力的作用，在其本身方向所引起的位移，它总是与该单位力的方向一致，故总是正的。而副系数则可能为正、为负或为零。根据位移互等定理，有，它表明，力法方程中位于对角线两侧对称位置的两个副系数是相等的。（12-4）力法方程在组成上具有一定的规律，其副系数具有互等的关系。无论是哪种n次超静定结构，也无论其静定的基本结构如何选取，只要超静定次数是一样的，则方程的形式和组成就完全相同。因为基本结构是静定结构，所以力法方程和式(12-4)中的系数和自由项都可按静定结构求位移的方法求得。对于梁和刚架，可按下列公式或图乘法计算。式中，、和MP分别代表在Xi=1、Xj=1和荷载单独作用下基本结构中的弯矩。（12-5）从力法方程中解出多余力Xi(i=1,2,…,n)后，即可按照静定结构的分析方法求原结构的反力和内力。或按下述叠加公式求出弯矩（12-6）再根据平衡条件即可求其剪力和轴力。例题12-1

右图是一水电站金属蜗壳外围钢筋混凝土结构示意图。试计算其内力，并绘制出内力图。其外围钢筋混凝土结构在进行力学计算时，计算简图可取如下图所示的超静定刚架。原结构EI=常数解：(1)取基本结构，确定基本未知量X1、X2，如下图所示。

(2)建立力法典型方程。（3）计算系数和自由项。作出图、图和图。取各