结构的内力、位移及影响线计算-力法（建筑力学）

超静定次数的确定17.2超静定次数的确定17.2超静定次数的确定一、超静定次数的概念从前面力法基本原理的介绍中，不难发现，力法求解超静定结构的关键，就是求解多余未知力。因此，对于超静定结构，首先必须确定其有多少个多余约束，引起了多少个多余未知力，以及需要补充多少个位移条件（或者变形协调条件）。上面这三个概念，其数目是相等的，称为超静定结构的超静定次数。二、确定超静定次数的的方法：确定超静定次数的方法,一般是将原结构中的多余约束去掉,使之变成静定结构,则去掉的多余约束个数即为超静定结构的超静定次数,也将原超静定结构称为几次超静定。17.2超静定次数的确定通常，从超静定结构中去掉多余约束的方式有如下几种：1．如图所示，去掉一根支座链杆或切断一根二力杆，相当于于去除一个约束。注意：支座链杆是去除,而二力杆只是切断,二力杆被切断后,杆件仍然存在。17.2超静定次数的确定2．如图所示，将刚性联结变为单铰联结或将固定支座改成固定铰支座，等于去除一个约束。注意：去掉外部约束（支座）,相应替代的未知力是一个,但是去掉内部约束，相应替代的未知力是一对。17.2超静定次数的确定3．如图所示，去掉一个固定铰支座或打开一个单铰以及去掉一个定向支座，都等于去除两个约束。17.2超静定次数的确定4．如图所示，去除一个固定端支座或切断一根梁式杆，等于去除3个约束。17.2超静定次数的确定应用上述去掉多余约束的方式,可以确定任何超静定结构的超静定次数,在确定超静定结构的超静定次数时,对于同一个超静定结构,可用各种不同的方式去掉多余约束而得到不同的静定结构,但不论采用哪种方式,所去掉的多余约束的数目必然是相等的.如图所示连续梁,三根竖向支座链杆只需任意去除一根,就能使原结构变成单跨静定梁。在这里，要注意所去掉的约束必须是多余约束，使得去掉多余约束后，体系成为无多余约束的几何不变体系。因此，原结构中维持平衡的必要约束是绝对不能去掉的。17.8超静定结构的特性17.8超静定结构的特性17.8超静定结构的特性与静定结构比较，超静定结构具有以下一些重要特性：1．超静定结构是具有多余约束的几何不变体系从体系的几何组成上看，无多余约束的几何不变体系是静定的，为静定结构；有多余约束的几何不变体系是超静定的，为超静定结构。从几何组成角度看，多余约束的存在，是超静定结构区别于静定结构的主要特征。17.8超静定结构的特性2．超静定结构仅由静力平衡条件不能完全确定其全部的内力和反力，满足超静定结构平衡条件和变形条件的内力解答是唯一的对于静定结构，满足平衡条件内力解答是唯一的，即仅由平衡条件就可以求出全部内力和反力。而超静定结构由于有多余约束存在，满足平衡条件的内力解答有无穷多种，即仅由平衡条件不能求出全部内力和反力，必须考虑变形条件，即综合应用超静定结构的平衡条件和数量与多余约束力相等的变形（或位移）条件后才能求得唯一的内力解答。力法典型方程实质就是超静定结构的变形条件。17.8超静定结构的特性3．超静定结构在荷载作用下的反力和内力与各杆的相对刚度有关，而与其绝对值无关由于超静定结构的内力须由平衡条件和变形条件求解，而结构的变形与各杆的刚度（弯曲刚度EI、拉压刚度EA等）有关，因此，如果按同一比例增加或减小各杆刚度的绝对值，则力法典型方程中各系数和自由项的比值将保持不变，内力不受刚度绝对值的影响。反之，如果不按同一比例增加或减小各杆刚度的绝对值，则力法典型方程中的各系数和自由项的比值将发生改变，内力数值也因各杆的相对刚度比发生改变而变化。17.8超静定结构的特性4．超静定结构在非荷载因素（支座位移、温度改变等）作用下会产生内力由于超静定结构具有多余约束,支座移动、温度改变等非荷载因素在超静定结构中也会引起内力,而非荷载因素在静定结构中不会引起内力。这种自内力与各杆刚度的绝对值有关,各杆刚度的绝对值增大，内力一般也随之增大。因此，为了提高结构对温度变化、支座位移等因素的抵抗能力，仅增加构件截面尺寸并不是理想的措施，为了减小自内力对结构的不利影响，有时可以采用设置温度缝、沉降缝等构造措施。17.8超静定结构的特性5．超静定结构比静定结构具有较强的防御能力超静定结构由于具有多余约束,与相应的静定结构相比，超静定结构的变形与位移较小,结构的内力分布比较均匀,弯矩峰值较静定结构小,刚度和稳定性都有所提高。对比两种不同的梁,在相同的荷载作用下,前者的最大弯矩值和最大挠度值都比后者小。17.8超静定结构的特性另外，超静定结构在部分或全部多余约束破坏后仍为几何不变体系，能继续承受荷载；而静定结构则不同，静定结构中任一约束的破坏都将导致整个结构变为几何可变体系，从而发生破坏，丧失承载能力。因此，从抵抗突然破坏的观点来说，超静定结构比静定结构具有较强的防御能力。力法小结1．力法的基本原理力法的基本原理是将超静定结构中的多余约束去掉，代之以多余未知力，以去掉多余约束后得到的静定结构作为基本结构，以多余未知力作为力法的基本未知量，利用基本结构在原荷载和多余未知力共同作用下的变形与原结构的变形相同的条件建立力法方程，从而求解多余未知力。求得多余未知力后，超静定问题就转化为静定问题，可用平衡条件求解所有未知力。因此，力法计算的关键是：确定基本未知量；选择基本结构；建立力法方程。力法小结2．确定基本未知量和选择基本结构一般用去掉多余约束使原超静定结构变为静定结构的方法。去掉的多余约束处的多余未知力即为基本未知量，去掉多余约束后的静定结构即为基本结构。所以基本未知量和基本结构是同时选定的。同一超静定结构可以选择多种基本结构，应尽量选择计算简单的基本结构,但必须保证基本结构是几何不变且无多余联系的静定结构。3．建立力法方程根据基本结构在荷载(或温度变化、支座移动等)及多余未知力作用下，沿多余未知力方向的位移应与原结构在相应处的位移相等的变形条件，建立力法方程。要充分理解力法方程所代表的变形条件的意义，以及方程中各项系数和自由项的含义。力法小结4．力法方程的系数和自由项的计算力法方程中的系数和自由项都是基本结构(静定结构)上的位移，系数和自由项的计算就是求静定结构的位移，可用单位荷载法计算。根据不同结构的受力特性，在不同的变形因素(弯曲、剪力、轴力)中，考虑主要变形影响因素。具体计算系数和自由项时，对梁和刚架来说，一般仅考虑弯曲变形的影响，忽略轴向变形和剪切变形的影响。但须注意，在温度改变影响下，计算自由项时，无论哪一种形式的结构或哪一类性质的杆件，其轴向变形的影响都要考虑。5．超静定结构的内力计算与内力图的绘制通过解力法方程求得多余未知力后，可用静力平衡方程或内力叠加公式计算超静定结构的内力和绘制内力图。对梁和刚架来说，一般先计算杆端弯矩、绘制弯矩图，然后计算杆端剪力、绘制剪力图，最后计算杆端轴力、绘制轴力图。力法小结6．对称性的利用应尽量利用结构的对称性以简化汁算。对称结构在正对称荷载作用下，只产生正对称未知力，反对称未知力等于零；在反对称荷载作用下，只产生反对称未知力，正对称未知力等于零。对称结构上作用的任意荷载均可分解为正对称荷载和反对称荷载。对称的超静定结构可以用半边结构的计算简图进行简化。力法小结7．支座移动、温度改变时超静定结构的内力计算支座移动、温度改变使超静定结构产生内力，其内力仅由多余未知力所产生。力法方程中的自由项是由支座移动或温度改变引起的在去掉多余约束处的位移，其余计算过程与荷载作用完全相同。8．超静定结构的位移计算采用单位荷载法计算超静定结构位移时，单位虚拟力可以加在任一基本结构上。为简化计算，应选择单位内力图比较简单的基本结构。17.7超静定结构的位移计算17.7超静定结构的位移计算17.7超静定结构的位移计算一、超静定结构的位移的计算方法超静定结构位移的计算，与静定结构位移计算相同，仍是以虚功原理为基础的单位荷载法。计算超静定结构的位移时，绘制超静定结构在荷载作用下的内力图和虚拟单位力作用下的内力图，需按力法分两次计算超静定结构的内力图，计算比较麻烦。由于基本结构在荷载和多余未知力共同作用下，其内力和变形均与原结构相同，因此，为了简化计算，可利用这一特点，将原来求超静定结构位移的问题转化为对基本结构（静定结构）的位移计算问题，即在按力法求出原结构的多余未知力后，将它与原有荷载均视为相应基本结构的外载，然后再来计算此基本结构的位移。17.7超静定结构的位移计算二、超静定结构的位移的计算要点从上面叙述可知，计算超静定结构的位移，可以在其基本结构上进行。由于原超静定结构的内力和位移并不因所取的基本结构不同而改变，所以，在计算超静定结构的位移时，可将虚设的单位力加在任一基本结构（静定结构上）。为使计算简化，通常可选取单位内力图比较简单的基本结构。17.7超静定结构的位移计算所以，计算超静定结构的位移，可按照以下步骤进行：（1）计算超静定结构在荷载或其他因素影响下的内力，绘制最后内力图。（2）选取适当的基本结构，在该基本结构上虚设相应的单位力并求解内力，绘制内力图。（3）用位移计算公式（或图乘法）计算所求位移。位移计算一般公式：17.7超静定结构的位移计算例17－11如图所示刚架，在例17－2中求解已经求解出其弯矩图，试求其C截面的转角

C。解：（1）选取如图所示的悬臂刚架作为基本结构在基本结构的C点加一单位力偶，并作出单位弯矩图如图。17.7超静定结构的位移计算应用图乘法计算，C截面的转角为结果为负，表示C截面的转角为逆时针方向

17.7超静定结构的位移计算（2）或选取如图所示的简支刚架作为基本结构进行计算在基本结构的C点加一单位力偶，并作出单位弯矩图如图所示。17.7超静定结构的位移计算应用图乘法计算，C截面的转角为：显然，选取两种不同的基本结构，所得C截面的转角是相同的。17.7超静定结构的位移计算例17-12如图所示为A端固定、B端铰支的等截面梁，已知支座A发生顺时针转动φ

，支座B发生下沉a，超静定梁的弯矩图已在例17－8中求得，试求梁跨中C点的挠度。解：

（1）选取简支梁作为基本结构在基本结构的C点加一竖向单位力，并作出单位弯矩图图如图17.7超静定结构的位移计算应用图乘法计算，C点的挠度为：17.7超静定结构的位移计算(2)选取如图悬臂梁作为基本结构在基本结构的C点加一竖向单位力，并作出单位弯矩图图如图。应用图乘法计算，C点的挠度为（两次求得的结果仍然是一致的。）17.5对称性的应用17.5对称性的应用17.5对称性的应用问题的提出：用力法计算超静定结构要建立和解算力法方程，当结构的超静定次数增加时，计算力法方程中的系数和自由项的工作量将迅速增加。如何想法使其简化？在工程实际中有许多对称结构，利用结构的对称性，恰当选取基本结构，可以使力法方程中的副系数尽可能等于零，从而可使计算大为简化。17.5对称性的应用一、对称结构与对称荷载1．对称结构所谓对称结构必须满足以下两个条件：（1）结构的几何形状和支座条件关于某一轴线对称；（2）杆件截面和材料性质也关于此轴对称。如图（左、中）所示刚架具有一根对称轴，如图（右）所示箱形结构有两根对称轴，它们都是对称结构。17.5对称性的应用2．对称荷载对称荷载包括正对称荷载和反对称荷载。（1）正对称荷载：是指作用在对称结构上的荷载，其对称轴一侧的荷载，绕对称轴转180°（对折）后，与对称轴另一侧荷载大小相等，作用线和指向完全重合的荷载，如图所示。正对称荷载以后常简称为对称荷载。17.5对称性的应用（2）反对称荷载：若对称轴一侧的荷载，绕对称轴转180°（对折）后，与对称轴另一侧荷载大小相等，作用线重合，但是指向相反，这种荷载称为反对称荷载，如图所示。17.5对称性的应用另外,还有一些作用在对称结构上的荷载,既不是正对称的荷载,也不是反对称的荷载,称为非对称荷载,如左图所示。对于作用在对称结构上的非对称荷载,可以根据叠加原理进行对称化处理。处理的方法是,首先将非对称荷载一分为二,然后再在对称位置分别施加正对称荷载及反对称荷载,如图所示。17.5对称性的应用二、对称结构的对称性1．对称结构的正对称性如图所示，对称结构受正对称荷载作用。将刚架从横梁中点对称轴处切开，选取如图所示的基本结构。横梁的切口两侧有三对大小相等而方向相反的多余未知力，其中X1、X2为对称的未知力，X3为反对称的未知力。17.5对称性的应用根据基本结构在切口处相对位移为零的条件，建立力法方程：

11X1+

12X2+

13X3+

1F

=0

21X1+

22X2+

23X3+

2F

=0

31X1+

32X2+

33X3+

3F

=017.5对称性的应用显然,如图所示，对称的未知力、和正对称荷载作用所产生的弯矩图图、图及MF图是正对称的；反对称的未知力所产生的弯矩图图是反对称的。17.5对称性的应用因此，用图乘法可计算求得（判断）：而其它系数与自由项不等于0，代入力法方程，可得：

11X1+

12X2+

1F=0

21X1+

22X2+

2F

=0

33X3+

3F

=0解得：X1≠0，X2≠0，X3＝0。17.5对称性的应用结论：X1≠0，X2≠0，X3＝0在这里，由于多余未知力X1、X2及原荷载都是正对称的，因此得出结论：对称的超静定结构在对称荷载作用下,只存在对称的多余未知力,而反对称的多余未知力必为零,从而结构的内力和变形也都是正对称的。17.5对称性的应用2．对称结构的反对称性如右上图所示,对称结构受反对称荷载作用。仍将刚架从横梁中点对称轴处切开,选取如图所示的基本结构。横梁的切口两侧有三对大小相等而方向相反的多余未知力,其中X1、X2为对称的未知力,X3为反对称的未知力。17.5对称性的应用根据基本结构在切口处相对位移为零的条件，建立力法方程：

11X1+

12X2+

13X3+

1F

=0

21X1+

22X2+

23X3+

2F

=0

31X1+

32X2+

33X3+

3F

=017.5对称性的应用显然，对称的未知力和作用所产生的弯矩图图、图是正对称的；反对称的未知力和反对称荷载所产生的弯矩图图及MF图是反对称的。17.5对称性的应用用图乘法同理可求得：代入力法方程，可得：解方程，可得：17.5对称性的应用X1＝

X2＝

0，X3

≠0在这里，由于多余未知力X3及原荷载都是反对称的，因此得出结论：对称的超静定结构在反对称荷载作用下，只存在反对称的多余未知力，而正对称的多余未知力必为零，从而使结构的内力和变形也都是反对称的。17.5对称性的应用特别注意，将对称结构在对称轴位置进行截开研究，则在对称轴截面内力中，弯矩、轴力为正对称力，剪力为反对称力；在对称轴截面上，截面转角、轴向位移为反对称位移，竖向位移为对称位移。三、应用对称性进行简化计算——半结构法计算对称结构对称结构在正对称荷载作用下内力和变形都是正对称的;在反对称荷载作用下内力和变形都是反对称的.根据这一特点,可截取整个结构的一半来进行计算，称为半结构法。下面分别讨论奇数跨和偶数跨两种对称结构的计算。17.5对称性的应用1．奇数跨对称结构的计算如图所示刚架，在正对称荷载作用下，只产生正对称的内力和位移，故在对称轴上的截面C处只有对称内力——轴力和弯矩，而没有反对称的剪力；截面上不可能发生转角和水平线位移，但有竖向位移。因此，截取半边刚架时，在该截面处可用一个定向支座来代替原有的约束，得到如图所示半边刚架的计算简图。17.5对称性的应用如图所示刚架,在反对称荷载作用下,只产生反对称的内力和位移，故在对称轴上的截面C处不可能发生竖向位移，但有转角和水平线位移。从受力情况看，截面上轴力和弯矩均为零，只有反对称内力——剪力。因此，截取半边刚架时，在该截面处可用一个竖向支承链杆来代替原有的约束，得到如图所示半边刚架的计算简图。17.5对称性的应用2．偶数跨对称结构的计算偶数跨对称结构在对称轴处有一竖柱,因此其受力和变形情况与奇数跨不同。（1）如图所示刚架,在正对称荷载作用下,若忽略杆件的轴向变形,则刚架在对称轴上的刚节点C处不仅无转角和水平位移，也无竖向位移。同时,在该处的横梁杆端内力有弯矩、轴力和剪力。因此,截取半边刚架时,在该处可用一个固定支座来代替,得到如图所示半边刚架的计算简图。17.5对称性的应用（2）偶数跨刚架，在反对称荷载作用下，可将中间柱设想为由两根各具有I/2的竖柱组成，它们在顶端分别与横梁刚接，如图所示。17.5对称性的应用设将此两柱中间的横梁截开，由于荷载是反对称的，故截面上只有剪力FsC。当不考虑轴向变形时，这一对剪力FsC对其它各杆均不产生内力，而只使对称轴两侧的两根竖柱产生大小相等而性质相反的轴力，由于原有中间柱的内力是这两根竖柱的内力之和，故剪力FsC对原结构的内力和变形都无影响。于是可将其略去而取一半刚架为计算简图，如图所示。17.5对称性的应用【归纳】利用对称性进行简化计算的要点如下：(1)采用对称的基本结构，将基本未知量分为对称未知力和反对称未知力两组：在正对称荷载作用下，只考虑正对称未知力（反对称未知力等于零）；在反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力（正对称未知力等于零）；非对称荷载可以分解为正对称荷载与反对称荷载的叠加。17.5对称性的应用(2)取半边结构进行计算。对称结构可分为奇数跨和偶数跨两种情形，它们在正对称荷载和反对称荷载作用时在对称轴上的变形和内力是不同。此外，采用半边结构简化计算时，荷载必须是正对称荷载或反对称荷载。如果是非对称荷载，则必须可分解为正对称荷载和反对称荷载两种情形，分别采用半边结构进行计算，然后叠加得到最后的结果。17.5对称性的应用例17-6试作如图所示刚架在水平力F作用下的弯矩图，设各杆的长度都为l，EI为常数。解：此结构为一对称的三次超静定刚架，荷载F是非对称荷载。将荷载F可分为对称荷载和反对称荷载两组，如图。17.5对称性的应用在正对称荷载作用下,如果忽略横梁轴向变形,则横梁只受轴向压力F/2,而其它杆件的内力为零。因此,要作图所示刚架的弯矩图,只需求作图中受反对称荷载作用下刚架的弯矩图。17.5对称性的应用（1）选取基本结构根据对称结构受反对称荷载作用的受力和变形特点,取其半边结构进行分析。该半边结构为一次超静定刚架，如图所示。去掉其中一根竖向链杆约束，代以多余未知力X1，得到基本结构如图。17.5对称性的应用（2）建立力法典型方程根据基本结构在多余未知力X1和荷载的共同作用下，多余约束处竖向位移为零，即力法的方程为：

11X1+

1F

=0（3）计算系数和自由项分别绘基本结构在和荷载单独作用下的图和MF图，如图。17.5对称性的应用利用图乘法，计算系数和自由项，得：（4）代入力法方程求多余未知力。将系数和自由项代入力法方程，得17.5对称性的应用（5）作最后弯矩图由叠加公式,画出半边刚架的弯矩图,再根据对称结构受反对称荷载作用弯矩具有反对称的特点,画出另外半边刚架的弯矩图,从而得到原刚架的弯矩图如图。17.5对称性的应用例17-7试作图示刚架的弯矩图，设各杆的EI为常数。解：此结构为具有两条对称轴的三次超静定封闭刚架.由于荷载是双轴对称的,根据对称结构在正对称荷载作用下受力和变形特点,可取1/4刚架进行计算，如图。17.5对称性的应用（1）选取基本结构1/4刚架为一次超静定结构，若去掉C处的转动约束，并代以相应的多余未知力X1，则定向支座变为链杆支座，基本结构如图。（2）建立力法方程根据基本结构在多余未知力X1和荷载的共同作用下,截面C处转角为零的条件,建立力法方程为：

11X1+

1F

=017.5对称性的应用（3）计算系数和自由项分别绘基本结构分别在和荷载单独作用下的图和MF图，如图。利用图乘法,计算系数和自由项,得17.5对称性的应用（4）由力法方程求多余未知力将系数和自由项代入力法方程，得（5）作弯矩图由叠加公式,画出1/4刚架的弯矩图,再根据对称结构受正对称荷载作用弯矩具有正对称的特点,画出原刚架的弯矩图，如图所示。力法典型方程.17.3力法典型方程17.3力法典型方程前面用一次超静定结构说明了力法计算的基本原理，现在以一个三次超静定结构为例进一步说明力法计算超静定结构的基本原理和力法的典型方程。如图所示为一个三次超静定刚架,去掉固定端支座B处的多余约束,用多余未知力

X1、X2

、X3代替,得到如图所示的基本结构（悬臂刚架）。17.3力法典型方程由于原结构B处为固定端支座，其线位移和角位移都为零。所以，基本结构在原荷载q及多余未知力X1、X2

、X3共同作用下，B点沿X1、X2

、X3方向的位移都等于零，即基本结构应满足的位移条件为：

1=0

2

=0

3

=017.3力法典型方程为了分析方便，分别考虑将原荷载q及多余未知力X1、X2

、X3单独作用于基本结构上,相应的变形情况,如图所示。17.3力法典型方程根据叠加原理，有

1=

11+

12+

13+

1F=0

2

=

21

+

22

+

23

+

2F

=0

（a）

3

=

31

+

32

+

33

+

3F

=0式（a）中：

11、

12、

13、

1F——分别表示基本结构上多余未知力X1作用点沿着X1作用方向由于多余未知力X1、X2

、X3及原荷载单独作用所引起的位移。；

21、

22、

23、

2F；

31、

32、

33、

3F的意义同前。上面位移符号的第一个脚标表示位移发生的地点与方向，第二个脚标表示位移产生的原因。上面所有的位移，规定与各未知力方向一致为正。17.3力法典型方程再令、和各自单独作用在基本结构上，引起基本结构相应的变形分别如图所示。根据叠加原理（胡克定理），有

ij

=

ijXj。17.3力法典型方程将

ij

=

ijXj代入上面的（a）式，可得：

11X1+

12X2+

13X3+

1F=0

21X1+

22X2+

23X3+

2F

=0

31X1+

32X2+

33X3+

3F

=0式（17－2）称为力法典型方程，方程中的符号意义为：

11、

12、

13—分别表示基本结构上多余未知力X1作用点沿着X1作用方向在多余未知力、和单独作用下所引起的位移。17.3力法典型方程

21、

22、

23——分别表示基本结构上多余未知力X2作用点沿着X2作用的方向由于多余未知力、和各自单独作用所引起的位移；

31、

32、

33——分别表示基本结构上多余未知力X3作用点沿着X3作用的方向由于多余未知力、和各自单独作用所引起的位移。上面所有的位移，仍然规定与各未知力方向一致为正。【思考】熟练掌握

ij命名的规律。17.3力法典型方程对于有n个多余约束的n次超静定结构，力法的基本未知力是n个多余未知力X1，X2，…，Xn，力法方程是在n个多余约束处的n个位移条件——基本结构中沿多余未知力方向的位移与原结构中相应的位移相等。根据叠加原理，n个变形条件可改写为

11X1+

12X2+…+

1iXi+…+

1nXn

+

1F=0

21X1+

22X2+…+

2iXi

+…+

2nXn+

2F

=0

i1X1+

i2X2+…+

iiXi+…+

inXn+

iF

=0

n1X1+

n2X2+…+

niXi+…+

nnXn+

nF

=0

这就是n次超静定结构在荷载作用下力法方程的一般形式，称力法一般方程。17.3力法典型方程在式（17-3）中：δii—称为主系数,表示基本结构由单位力单独作用时产生的沿Xi方向的位移，恒为正；δij（i≠j）——称为副系数,表示基本结构由单位力单独作用时产生的沿Xi方向的位移,可能是正值或负值,也可能为零；

iF——自由项,表示基本结构由荷载单独作用时产生的沿Xi方向的位移，可能是正值或负值，也可能为零。即位移的第一个脚标表示产生的地点与方向，第二个脚本表示原因。根据位移互等定理可知，δij=δji17.3力法典型方程力法典型方程中的各系数也称为柔度系数，它们和自由项都是基本结构（静定结构）在已知力作用下的位移,可用的方法求得。将求得的系数和自由项代入力法典型方程,可解出X1，X2，…，Xn,然后利用平衡条件或叠加原理,计算各截面内力,绘制内力图。按叠加原理计算内力的公式为：17.1力法基本原理建筑力学力法【学习目标】【学习目标】1.理解力法基本原理；2.理解超静定次数的意义及其确定；3.理解力法典型方程及其应用；4.熟练掌握用力法计算一般超静定结构；5.掌握超静定结构的位移计算；6.理解超静定结构最后内力图的校核;7.理解超静定结构的特性。17.1力法基本原理17.1力法基本原理

一、超静定结构的概述在前面各章节中，介绍了静定结构的内力及变形的计算。从受力分析方面看，静定结构的支座反力及内力可根据静力平衡条件全部确定；从几何组成分析方面来看，静定结构为几何不变体系且无多余约束，如图所示。17.1力法基本原理

在实际的工程结构中，还有另外一类结构体系，这类结构从受力分析方面看，其支座反力及内力不能完全通过静力平衡条件求出；从几何组成分析角度看，结构虽然也为几何不变体系，但体系内存在多余约束，这类结构即为超静定结构，如图所示连续梁即为超静定结构。17.1力法基本原理

内力不能由平衡方程完全确定且结构有多余约束是超静定结构区别于静定结构的基本特征。计算超静定结构最基本的方法有力法和位移法。力法是以多余未知力作为基本未知量，位移法则是以未知的结点位移作为基本未知量。在此基础上，还有由此发展出来的其他方法，如力矩分配法、无剪力分配法等17.1力法基本原理

二、力法基本原理为了理解力法基本原理，以如图所示超静定结构进行介绍。图示超静定梁,为一次超静定结构,称为原结构。现将支座B处的竖向支座链杆作为多余约束去掉,并以多余未知力X1代替其作用，则原超静定结构就变成了由原荷载及多余未知力共同作用下的一个静定结构，我们将之称为力法求解超静定结构的基本结构。17.1力法基本原理

取得基本结构以后，原结构的反力与内力计算问题就转变为基本结构在多余未知力X1及原荷载q共同作用下的静定结构的计算问题了，如图所示。对于基本结构来说，只要设法求出多余未知力X1，其余的计算就迎刃而解了。因此,力法计算的基本未知量就是多余未知力。

17.1力法基本原理

分析基本结构可知,显然,不论多余未知力X1取任何值,只要梁不被破坏,静力平衡条件都可以满足,因此只依靠静力平衡条件无法求解。但是，取不同的多余未知力X1值，会使X1作用的B点，产生不同大小及方向的位移：当X1较小时，B点产生向下的位移；当X1较大时，B点产生向上的位移；而原结构的B点，由于受到支座的约束，其y方向的位移等于零。17.1力法基本原理

因为多余未知力X1是代替原结构支座B的作用,故基本结构的受力与原结构完全相同,基本结构的变形也应与原结构完全相同。因此只有使B点产生的位移等于零的多余未知力X1,才是符合条件的多余未知力.即基本结构必须满足的位移（变形协调）条件是：

1

=

By（a）式中，

1－基本结构上多余未知力X1作用点沿X1方向在多余未知力X1及原荷载q共同作用下的位移。17.1力法基本原理

如图所示，设

11与

1F分别表示基本结构由于多余末知力X1与原荷载q各自单独作用于基本结构上时引起的X1作用点沿X1方向上的位移。根据叠加原理，有

1=

11+

1F=0（b）17.1力法基本原理

如图，以

11表示单独作用于基本结构上时引起的B点沿X1方向上的位移，根据胡克定理（或叠加原理），有

11=

11X1（c）17.1力法基本原理

将式（c）代入式（b），有

11X1+

1F=0（17－1）式（17－1）称为力法基本方程。方程中只有X1为未知量,而

11和

1F可由所述的位移计算方法求得。因此由力法方程可解出多余未知力X1。根据

11和

1F的物理意义，都是静定结构在已知荷载作用下的位移，计算时可采用图乘法。注意位移符号的两个脚标,第一个脚标表示位移产生的地点及方向,第二个脚标表示位移产生的原因（谁干的？）。17.1力法基本原理

为了求得位移

11和

1F,绘出和荷载q单独作用下的图和MF图。显然，根据位移

11和

1F的意义，求

11时由图与图相乘，称为图形的“自乘”；求

1F时由MF图与图相乘。即哪两个弯矩图进行图乘，主要是看位移符号的两个脚标。17.1力法基本原理用图乘法计算位移

11和

1F,再将

11和

1F代入式（17-1）可得：解得：17.1力法基本原理所得未知力X1为正号，表示反力X1的实际方向与所设的方向相同，为向上。当多余未知力X1求出后，其余反力和内力的计算就可以利用静力平衡条件逐一求出，最后绘出原结构的弯矩图，如图所示。原结构的最后弯矩图，也可以利用已经绘出的图和MF图，根据叠加原理由下式求（绘）得。17.1力法基本原理【归纳力法基本原理】综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知量，以去掉多余约束代之以多余未知力，得到在原有荷载与多余未知力共同作用下的静定结构作为基本结构，根据基本结构在去除多余约束处的位移与原结构完全相同的位移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。17.4力法计算示例17.4力法计算示例17.4力法计算示例用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：（1）选取基本结构。去除多余约束，代之相应的多余未知力，得到一个在原荷载与多余未知力共同作用的静定结构作为基本结构。（2）建立力法典型方程。根据基本结构在去除多余约束处的位移与原结构相应的位移一致的条件，建立力法方程。（3）计算力法方程中各系数和自由项。一般用图乘法计算，为此，应分别制绘出基本结构在单位多余未知力都等于1作用下的内力图和荷载作用下的内力图；如用积分法计算，则需要写出内力表达式。然后按求静定结构位移的方法计算各系数和自由项。（4）解方程求多余未知力。将计算所得各系数和自由项代入力法方程，解出多余未知力。（5）绘制原结构的内力图。17.4力法计算示例一、超静定梁与刚架的计算用力法计算静定梁和刚架时,通常忽略轴力和剪力对位移的影响，而只考虑弯矩的影响。因而,力法方程中系数和自由项的表达式为：

17.4力法计算示例例17-1

如图所示两端固定梁，跨中受集中荷载F作用，作M图和Fs图。解：

(1)选取基本结构：这是一个三次超静定梁，撤去A、B两端的转动约束和B处的水平约束，得到基本结构，即简支梁，如图所示。梁一般不考虑轴力影响，所以可直接判定：X3=017.4力法计算示例(2)列力法典型方程基本结构应满足原结构在A、B端的转角等于零，以及B端的水平位移等于零（已经自动满足）的变形条件，因此力法方程为

11X1+

12X2+

1F=0

21X1+

22X2+

2F

=017.4力法计算示例(3)绘制基本结构的弯矩图分别绘基本结构在、和荷载单独作用下的弯矩图、和MF图，如图所示。

17.4力法计算示例(4)计算系数和自由项：利用图乘法，得17.4力法计算示例(5)解方程求解多余未知力将系数和自由项代入力法方程，整理后得16X1－8X2+3Fl=0

－8X1+16X2－3Fl=0联立求解前两式得：

17.4力法计算示例(5) 作最后内力图利用基本结构的单位弯矩图、图和荷载作用下的弯矩图MF图，按叠加公式绘出最后弯矩图。利用已知的杆端弯矩，由平衡条件求出杆端剪力，并绘出剪力图。如图所示。17.4力法计算示例思考：在本例题中，如果去掉左边或右边固定支座的三个约束，选用悬臂梁作为基本结构，又该如何求解？力法的典型方程、系数和自由项的求解有什么异同点？17.4力法计算示例例17-2

计算如图所示刚架并作最后内力图。解：(1)选取基本结构这是一个两次超静定刚架,撤去刚架B处的两根支座链杆,代之以多余未知力X1和X2,得到基本结构,如图所示。17.4力法计算示例(2)列力法典型方程基本结构在多余未知力和荷载的共同作用下，B点的变形（位移）应与原结构在B处的水平位移及竖向位移为零的变形条件相等，因此力法方程为

11X1+

12X2+

1F=0

21X1+

22X2+

2F

=017.4力法计算示例(3)绘制基本结构的弯矩图分别绘基本结构在、和原荷载单独作用下的弯矩图、和MF图，如图所示。17.4力法计算示例（4）利用图乘法计算系数和自由项（图乘看脚标）17.4力法计算示例(5) 解方程，求解多余未知力将系数和自由项代入力法方程，整理后得联立求解，得：17.4力法计算示例(5)作最后内力图多余未知力X1、X2求出后,便可在基本结构上利用平衡条件计算出其余支座反力和各杆的内力,即得原结构的全部支座反力和内力,再作出内力图。通常作内力图的次序为：先作弯矩图,后利用弯矩图作出剪力图,最后利用剪力图作出轴力图。17.4力法计算示例1) 作弯矩图利用基本结构的单位弯矩图、图和荷载作用下的弯矩图MF图，按叠加公式

即将X1＝36.67kN乘以图加上X2＝－5.93kN乘以图,再叠加MF图，得到最后的弯矩图如图所示。如：

17.4力法计算示例2) 作剪力图和轴力图：将求得的X1＝36.67kN、X2＝－5.93kN

,代入到图基本结构中，求出各杆端的剪力、轴力值后，即可绘制剪力图和轴力图。17.4力法计算示例另外，也可以逐杆取隔离体，根据各杆已知的杆端弯矩值，由平衡条件求出杆端剪力，然后绘剪力图。以杆AC为例，隔离体图如图所示，杆端剪力FSAC、FSCA可由力矩平衡方程求出。17.4力法计算示例绘制完成剪力图以后,可以截取每一结点,考虑其平衡。由各杆端的剪力根据平衡条件可求出各杆的轴力。以结点C为例，隔离体图如图所示，隔离体中作用有已知的杆端剪力FSCB、FSCA，则杆端轴力FNCB和FNCA可由投影平衡方程求出特别指出：剪力图和轴力图均要注明正负号。17.4力法计算示例【思考】在本例题中，基本结构的选取还有哪些结构形式，如采用这些作为基本结构，力法求解的典型方程、系数和自由项有什么区别？17.4力法计算示例二、铰接排架的计算如图为单层工业厂房中承重部分的简化示意图,是由屋架（或者屋面大梁）、柱和基础构成的。在排架中,通常将柱与基础之间的连接简化为刚性连接,将屋架与柱顶之间的连接简化为铰接.当屋面受竖向荷载时,屋架按两端铰支的桁架计算.当柱受水平荷载和偏心荷载（如风荷载、地震荷载或吊车荷载）作用时,屋架对柱顶只起联系作用.由于屋架本身沿跨度方向的轴向变形很小,故可略去其影响,近似地将屋架简化为轴向拉压刚度无穷大（EA→∞）的链杆.另外,在厂房的柱子上,还需要放置吊车梁,因此常常往往做成阶梯形变截面柱。17.4力法计算示例对排架进行内力分析,主要是计算排架柱的内力,如图所示为单跨排架的计算简图。铰接排架的超静定次数,在数目上等于排架的跨数.用力法计算时,一般把链杆作为多余约束,切断各链杆代以多余未知力,得到基本结构,再根据切口处两侧截面的轴向相对位移为零的条件,建立力法方程。因链杆的刚度EA→∞,在计算系数和自由项时,忽略链杆轴向变形的影响,只考虑柱子弯矩对变形的影响.因此,系数和自由项的表达式仍为式（17－5）.17.4力法计算示例例17-3如图所示为一单跨排架,已知柱上、下段的抗弯刚度分别为EI和2EI，排架承受水平风荷载12kN/m，试作该单跨排架的弯矩图。解：(1)选取基本结构单跨排架为一次超静定结构，将横向链杆切断，代以一对水平多余未知力X1，得到基本结构如图所示。17.4力法计算示例(2)建立力法典型方程根据基本结构在多余未知力和荷载的共同作用下，链杆切口处两侧截面的轴向相对水平位移等于为零的变形条件，可建立的力法方程为：

11X1+

1F

=0

(3)作基本结构的弯矩图分别绘出基本结构在和原荷载单独作用下的弯矩图和MF图，如图所示。17.4力法计算示例(4)用图乘法计算系数和自由项17.4力法计算示例(5) 解方程，求解多余未知力将系数和自由项代入力法方程，整理后得：解得：(6) 作内力图按叠加公式得到最后的弯矩图如图所示。17.4力法计算示例三、超静定桁架计算超静定桁架在结点荷载作用下，杆件内力只有轴力，计算力法方程时的系数和自由项时，只考虑轴力的影响。力法方程中的系数和自由项的表达式为：求解力法方程，求出未知量后，各杆的轴力可按叠加公式计算17.4力法计算示例例17-4用力法计算如图所示超静定桁架各杆的轴力，已知各杆EA相同。解：此桁架为一次超静定结构。支座反力可直接由静力平衡条件求得，其多余约束在体系内部。现切断杆CD，代之以多余未知力X1，得到如右图所示的基本结构。17.4力法计算示例根据原结构中切口两侧截面沿杆轴方向的相对线位移等于零的位移条件，建立力法方程：

11X1

+

1F=0

分别求出基本结构在和荷载单独作用下的各杆的轴力和FNF,如图所示。17.4力法计算示例由公式(17－6)计算系数和自由项为

将以上系数和自由项代入力法方程，解得：负号表示X1的方向与假设方向相反,即CD杆的轴力为压力。17.4力法计算示例由叠加公式计算出各杆轴力如图所示17.4力法计算示例四、超静定组合结构的计算组合结构是由梁式杆和链杆共同组成的结构，这种结构的优点在于节约材料、制造方便。在组合结构中，梁式杆主要承受弯矩，同时也承受剪力和轴力；而链杆只承受轴力。在计算力法方程中的系数和自由项时，对梁式杆一般可只考虑弯矩的影响，忽略轴力和和剪力的影响；对于链杆只考虑轴力的影响，因此力法方程中的系数和自由项可由下（右）式计算：17.4力法计算示例各杆内力可按以下叠加公式计算：下面举例说明其计算过程。17.4力法计算示例例17-5用力法计算如图所示的组合结构,并绘制梁的弯矩图。已知横梁的弯曲刚度E1I=1

104kN·m2,链杆的拉拉压刚度E2A=15

104kN。解：组合结构为一次超静定结构。设切断CD杆，以多余未知力X1代替其轴力，选取基本结构如所示。根据切口处两侧截面轴向相对位移为零的条件，建立力法方程为：

11X1+

1F=0

17.4力法计算示例分别绘出基本结构在和荷载单独作用下的弯矩图和MF图，并计算出各链杆的轴力分别如图所示。17.4力法计算示例由公式（17－8）计算系数和自由项为

=5.618

10

4m/kN17.4力法计算示例将求得的系数和自由项代入力法方程，解得根据叠加公式可绘出横梁弯矩图和求出各链杆的轴力，如图所示。17.4力法计算示例讨论：由以上计算结果可以看出，因为与MF的符号相反，故叠加后横梁的M值要比MF值小。这表明由于横梁下部的链杆对梁起加劲作用，使横梁的弯矩峰值大为减小，这种作用随着链杆的截面面积和材料性质的不同而变化，链杆的E2A值越大，加劲作用也越大。如果链杆的E2A

时，则X1

－75kN，横梁的弯矩图变成两跨连续梁的弯矩图，如左图所示；若链杆的E2A

0，则X1

0

，横梁的弯矩图与同跨简支梁的弯矩图相同，如右图所示。17.6支座移动时超静定结构的计算17.6支座移动及温度改变时

超静定结构的计算17.6.1支座移动时超静定结构的计算静定结构在支座移动和温度改变时，会产生变形，但不引起内力。而对于超静定结构，由于存在多余约束，所以，即使结构上无荷载作用，一些外部因素（如支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等）的作用，也将使结构产生内力，这是超静定结构的特性之一。超静定结构在支座移动和温度改变等因素作用下产生的内力，称为自内力。用力法计算自内力时，其基本思路、原理及步骤与荷载作用的情形基本相同，所不同的是力法方程中的自由项计算。17.6.1支座移动时超静定结构的计算一、支座移动时超静定结构的计算力法计算超静定结构在支座移动情况下的内力时，力法方程中的自由项是由支座移动引起的而不是荷载作用产生的，将力法方程中的

iF改为

ic。

ic可按中介绍的公式计算：17.6.1支座移动时超静定结构的计算例17-8如图A端固定、B端铰支的等截面单跨超静定梁，已知支座A发生顺时针转动φ

，支座B发生下沉a，求作梁的弯矩图。解：该梁为一次超静定结构，分别选取两种基本结构计算。选第一种基本结构：（1）选取基本结构去掉支座A处的转动约束,得到的简支梁作为基本结构,并以支座A的反力偶作为多余未知力X1,基本结构如图所示。17.6.1支座移动时超静定结构的计算（2）建立力法方程基本结构在多余未知力X1和支座位移共同作用下，

A处转角

1应与原结构在支座A处的转角φ

相同，即位移条件为：

1=φ据此建立力法方程为：

11X1

+

1C

=φ式中：

1C

——支座B产生竖向位移a时在基本结构中产生的沿X1方向的位移。17.6.1支座移动时超静定结构的计算（3）计算系数和自由项绘出基本结构在作用下的弯矩图图，如图所示。利用图乘法计算系数而自由项为17.6.1支座移动时超静定结构的计算(4)代入力法方程求多余未知力将系数和自由项代入力法方程，得(5)作最后弯矩图由于基本结构是静定结构,支座移动对基本结构不产生内力,内力全部由多余未知力引起,故由弯矩叠加公式,最后弯矩图如图所示。17.6.1支座移动时超静定结构的计算若选第二种基本结构：（1）选取基本结构去掉支座B处的链杆约束,得到悬臂梁作为基本结构,并代以相应的多余未知力X1,基本结构如图。（2）建立力法方程根据基本结构在多余未知力X1和支座位移共同作用下,