2023年北京燕山初二（下）期中数学试卷（教师版）

第1页/共1页2023北京燕山初二（下）期中数学一、选择题（每题2分，本题共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．在▱ABCD中∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50° B．130° C．40° D．100°2．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，133．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（）A．（6，3） B．（3，6） C．（0，6） D．（6，6）4．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．5．下列二次根式中，能与合并的是（）A． B． C． D．6．下列运算正确的是（）A． B． C． D．7．如图，数轴上点A表示的数为﹣1，点C表示的数为1，BC⊥AC，且BC＝1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B′，则点B′所表示的数为（）A．﹣1 B． C． D．8．如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线l上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．6 B．16 C．41 D．55二、填空题（每题2分，本题共16分）9．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是．10．比较大小：．（填“＞”、“＝”、“＜”）．11．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则该菱形的周长是．12．如图，A，B两点被池塘隔开，为测得A，B两点间的距离，在直线AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，若测得D，E两点间的距离为15m，则A，B两点间的距离为m．13．在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，只需添加一个条件，即可证明▱ABCD是矩形，这个条件可以是（写出一个即可）．14．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，D是AB的中点，则∠ADC的度数为．15．一艘船以20海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船以15海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距海里．16．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是1；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+；④四边形OECF的面积是1．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17题～第22题，每题各5分；第23题～第26题，每题各6分；第27题～第28题，每题7分）17．（5分）计算：．18．（5分）计算：．19．（5分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，BC＝10cm．求△BOC的周长．20．（5分）已知，求代数式x2+2x﹣3的值．21．（5分）下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a，b，及∠MAN＝90°．求作：矩形ABCD，使AB＝a，AD＝b．作法：如图2，①在射线AM，AN上分别截取AB＝a，AD＝b；②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C；③连接BC，DC．∴四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝DC＝a，AD＝＝b，∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）．∵∠MAN＝90°，∴四边形ABCD是矩形（）（填推理的依据）．22．（5分）如图，在菱形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF∥BC，交BD于点M，交CD于点F．求证：CF＝EM．23．（6分）如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，且∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．24．（6分）在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一首诗，也称“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生荷花；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．25．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知△ABC的顶点都在格点上，且三边长分别为4，，．（1）在图中画出一个满足条件的△ABC；（2）直接写出（1）中所画△ABC的面积．26．（6分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．（1）求证：四边形AEBO是菱形；（2）若AB＝OB＝4，求四边形AEBO的面积．27．（7分）如图，正方形ABCD中，DE是过点D的一条直线，点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P．（1）依题意补全图形；（2）连接DC′，判断△DAC′的形状并证明；（3）连接PC，用等式表示线段PA，PC，PD之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的两点A和C，给出如下定义：若A，C是某个矩形对角线的顶点，且该矩形的每条边均与x轴或y轴垂直，则称该矩形为点A，C的“对角矩形”．如图1为A，C的“对角矩形”的示意图．已知点A（2，0），C（t，3）．（1）：①当t＝4时，在图2中画出点A，C的“对角矩形”，并直接写出它的面积S的值；②若点A，C的“对角矩形”的面积是15，求t的值；（2）若点B（0，1），在线段AB上存在一点D，使得点D，C的“对角矩形”是正方形，请直接写出t的取值范围．

参考答案一、选择题（每题2分，本题共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出∠B的度数．【解答】解：∵在▱ABCD中∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．故选：B．2．【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，不符合题意；B、52+42≠62，故不是直角三角形，符合题意；C、62+82＝102，故是直角三角形，不符合题意；D、52+122＝132，故是直角三角形，不符合题意；故选：B．3．【分析】利用正方形的性质求出OB，BC，CD即可．【解答】解：∵四边形OBCD是正方形，∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），∴OD＝6，∴OB＝BC＝CD＝6，∴C（6，6）．故选：D．4．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．【解答】解：A、＝2，故该选项不符合题意；B、＝，故该选项不符合题意；C、是最简二次根式，故该选项符合题意；D、＝，故该选项不符合题意．故选：C．5．【分析】先化成最简二次根式，再判断即可．【解答】解：A、不能和合并，故本选项不合题意；B、，能和合并，故本选项符合题意；C、，不能和合并，故本选项不合题意；D、，不能和合并，故本选项不合题意；故选：B．6．【分析】只有同类二次根式才能合并，去判断A，根据二次根式的乘，除运算法则判断B，C的正误，根据算数平方根的非负性判断D的正误．【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故答案A错误，×＝＝4，故答案B错误，漏掉了根号，两个二次根式相除，根指数不变，被开放数相除，故答案C正确，＝3，因为是求算数平方根，故答案D错误，故选：C．7．【分析】根据勾股定理可以得到AB的长，再根据AB＝AB′，可以得到AB′的长，然后根据数据，即可写出点B′所表示的数．【解答】解：由图可得，AC＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2，BC＝1，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝，∵AB＝AB′，∴AB′＝，∴点B′所表示的数为﹣1，故选：A．8．【分析】根据正方形的性质得出∠EFG＝∠EGH＝∠HMG＝90°，EG＝GH，求出∠FEG＝∠HGM，证△EFG≌△GMH，推出FG＝MH，GM＝EF，求出EF2＝7，HM2＝15，求出B的面积为EG＝EF2+FG2＝EF2+HM2，代入求出即可．【解答】解：根据正方形的性质得出∠EFG＝∠EGH＝∠HMG＝90°，EG＝GH，∵∠FEG+∠EGF＝90°，∠EGF+∠HGM＝90°，∴∠FEG＝∠HGM，在△EFG和△GMH中，，∴△EFG≌△GMH（AAS），∴FG＝MH，GM＝EF，∵a和c的面积分别为5和11，∴EF2＝5，HM2＝11，∴b的面积为EG＝EF2+FG2＝EF2+HM2＝5+11＝16，故选：B．二、填空题（每题2分，本题共16分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：x﹣3≥0，据此求出实数x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．10．【分析】先把2平方后移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．【解答】解：∵2＝，∴＞．故答案为：＞11．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长，然后根据菱形的四条边都相等求解即可．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，∴两对角线的一半分别为3、4，由勾股定理得，菱形的边长＝＝5，所以，菱形的周长＝4×5＝20，故答案为：20．12．【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，DE＝10m，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝30m，故答案为：30．13．【分析】由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：这个条件可以是AC＝BD，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．14．【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出CD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠DCB＝∠B，再根据三角形的外角性质求出答案即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵∠B＝35°，∴∠DCB＝35°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝70°，故答案为：70°．15．【分析】根据题意画出图形，根据题目中AB、AC的夹角可知它为直角三角形，然后根据勾股定理解答．【解答】解：如图，∵由图可知AC＝20×1＝20（海里），AB＝15×1＝15（海里），在Rt△ABC中，BC＝＝＝25（海里）．故它们相距25海里．故答案为：25．16．【分析】①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴OE＝OF，∵∠BOE＝∠COF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴△OEF是等腰直角三角形；故①正确；②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，故②错误；③∵BE＝CF，∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+，则EF＝，由①得△OEF是等腰直角三角形，∴OE＝＝．∵OB＝，OE的最小值是1，∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+．故③正确；④由①知：△OBE≌△OCF，∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，故④正确；故答案为：①③④．三、解答题（本题共68分，第17题～第22题，每题各5分；第23题～第26题，每题各6分；第27题～第28题，每题7分）17．【分析】先算除法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．【解答】解：﹣+÷＝2﹣+＝+＝2．18．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝1++5﹣4＝6﹣3．19．【分析】由AC＝14cm，BD＝8cm，根据“平行四边形的对角线互相平分”得OC＝OA＝AC＝7cm，OB＝OD＝BD＝4cm，而BC＝10cm，即可求得△BOC的周长是21cm．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，∴OC＝OA＝AC＝×14＝7（cm），OB＝OD＝BD＝×8＝4（cm），∵BC＝10cm，∴OB+OC+BC＝4+7+10＝21（cm），∴△BOC的周长是21cm．20．【分析】把x2+2x﹣3化成（x+1）2﹣4，代入求出即可．【解答】解：∵，∴x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，＝（﹣1+1）2﹣4＝2﹣4＝﹣2．21．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．【解答】（1）解：如图，矩形ABCD即为所求；（2）证明：∵AB＝DC＝a，AD＝BC＝b，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），∵∠MAN＝90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：BC，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．22．【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝AD，再证四边形BCFE是平行四边形，EF∥AD，得BE＝CF，然后证∠ABD＝∠EMB，则BE＝EM，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，EF∥AD，∴BE＝CF，∠ADB＝∠EMB，∴∠ABD＝∠EMB，∴BE＝EM，∴CF＝EM．23．【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：连接AC，如下图所示：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×5×12＝36．24．【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可．【解答】解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理，得：（x+0.5）2＝x2+22，解之得：x＝3.75，答：湖水的深度3.75尺．25．【分析】（1）利用勾股定理，数形结合的思想画出图形即可；（2）利用三角形面积公式求解．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）△ABC的面积＝×4×2＝4．26．【分析】（1）由AE∥BD，BE∥AC，得出四边形AEBO是平行四边形，由矩形的性质得出AO＝BO，即可证明四边形AEBO是菱形；（2）连接EO交AB于点F，由菱形的性质得出AO＝BO，AB⊥EO，EO＝2OF，由AB＝OB＝4，证明△ABO是等边三角形，求出AF＝2，由勾股定理求出OF＝2，进而EO＝4，代入菱形面积公式计算，即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，∴AO＝BO，∴四边形AEBO是菱形；（2）解：如图2，连接EO交AB于点F，∵四边形AEBO是菱形，∴AO＝BO，AB⊥EO，EO＝2OF，∵AB＝OB＝4，∴AB＝BO＝AO＝4，∴△ABO是等边三角形，∴AF＝AB＝×4＝2，∴OF＝＝＝2，∴EO＝2×2＝4，∴S菱形AEBO＝AB•EO＝×＝8．27．【分析】（1）根据题意补全图形；（2）根据正方形的性质得到AD＝DC，根据轴对称的性质得到DC＝DC′，进而证明结论；（3）延长PA至点M，使得AM＝PC，连接DM，证明△DAM≌△DCP，根据