平面向量基本定理高一下学期数学人教A版（2019）必修二

平面向量基本定理第六章平面向量及其应用思考

已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．类似地，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？

e1e2a移到同一起点；向量a可以分解为两个向量的和作平行四边形OACBMNa

e1e2一、平面向量基本定理问题1

如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.请你将向量a按e1，e2的方向分解，并用e1，e2表示出a.e1aa=λ1e1+0e2e2aa=0e1+λ2e2追问1

当a是与e1或e2共线的非零向量时，a也可以表示成λ1e1+λ2e2的形式吗？

结论：一般地，对给定不共线的向量e1，e2，任意一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．追问2

当a是零向量时，a可以表示成λ1e1+λ2e2的形式吗？为什么？表示形式是唯一的若a=μ1e1+μ2e2，则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2．得（λ1－μ1）e1+（λ2－μ2）e2=0．理由：则λ1－μ1，λ2－μ2全为0，即λ1=μ1，λ2=μ2．问题3

平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式，这种表示形式是唯一的吗？假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则

．由此可得e1，e2共线，与已知e1，e2不共线矛盾．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a=λ1e1+λ2e2．

如果e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）．(1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可.(2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的.注意点：C

二、例题解析跟踪训练1因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，

已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝_____.3所以x－y＝3.例2

如图，CD是△ABC的中线，且CD＝

AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示．CADB可选为基底，表示，．证明，从而证得△ABC是直角三角形．例2

如图，CD是△ABC的中线，且CD＝

AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．CADB证明：如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b．．因为CD＝AB，所以CD＝DA．因为a2＝CD2，b2＝DA2，所以．因此CA⊥CB．结论成立．例2

如图，CD是△ABC的中线，且CD＝

AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．CADB结论：可以，基地的选取要灵活，选择合适的基底解决问题跟踪训练2用基底表示向量的一般方法(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.反思感悟例3课堂小结1.知识清单：(1)平面向量基本定理.(2)用基底表示向量.(3)平面向量基本定理的应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.1.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).所以λ不存在.故a与b不共线，可以作为一个基底.三、课堂练习(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.设c＝ma＋nb