3.3 垂径定理（7大题型）（分层练习）（解析版）

第3章圆的基本性质3.3垂径定理（7大题型）分层练习考查题型一垂径定理的概念1．（2023春·黑龙江大庆·九年级大庆外国语学校校考阶段练习）下列命题是假命题的是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形【答案】B【分析】根据平行四边形的性质、垂径定理及其推论、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，不符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法是假命题，符合题意；C、垂直于弦的直径平分这条弦，是真命题，不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．（2023·浙江·九年级假期作业）下列几个命题：①圆是轴对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④三点确定一个圆．其中是真命题的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根据圆周角定理、垂径定理及确定圆的条件，结合题意进行判断即可．【详解】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故①正确；垂直于弦的直径平分这条弦，故②正确；平分弦的直径垂直于弦，这个弦需要排除直径，故③错误;不在同一直线上的三点确定一个圆，故④错误；综上可得正确的是①②故选A【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解答本题关键是熟练掌握圆周角定理及垂径定理，另外要注意各定理成立的条件．3．（2023·浙江·九年级假期作业）请完善本课时的知识结构．垂径定理（1）定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径，并且．∵是直径，，垂足为点，∴，∴．

【答案】平分这条弦平分这条弦所对的弧【分析】根据垂径定理内容进行作答即可．【详解】解：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．∵是直径，，垂足为点，∴，∴．故答案为：平分这条弦，平分这条弦所对的弧，，【点睛】本题主要考查的是垂径定理内容，正确掌握垂径定理内容是解题的关键．4．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）用准确的文字语言描述“垂径定理”：垂直于弦的直径平分．【答案】这条弦及其所对的两条弧【分析】根据垂径定理的内容解答即可．【详解】解：“垂径定理”的内容为：垂直于弦的直径平分这条弦及其所对的两条弧．故答案为：这条弦及其所对的两条弧．【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；（2）求证：．【答案】（1）直线EO与AB垂直．理由见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；（2）易证，由垂径定理可得结论.【详解】解：（1）直线EO与AB垂直．理由如下：如图，连接EO，并延长交CD于F．∵EO过点O，E为AB的中点，．（2），，．∵EF过点O，，垂直平分CD，．【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键.考查题型二垂径定理的推论1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法中正确的个数有（）①平分弦的直径一定垂直于弦；②圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；③直径是弦；④长度相等的弧是等弧A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据垂径定理，等弧的定义，圆的性质一一判断即可．【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，原说法错误；②圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴，原说法错误；③直径是弦，正确；④长度相等弧是不一定是等弧，原说法错误；综上，只有③的说法正确，故选：A．【点睛】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．2．（2023·浙江·九年级假期作业）下列语句中不正确的有（）

①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】根据垂径定理及圆的有关概念和对称性对每个语句分别进行判断即可.【详解】因为能够完全重合的弧是等弧,故①不正确；垂直于弦的直径平分弦说法正确；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③说法不正确；平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，故④说法不正确；半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，故⑤说法不正确；不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故⑥说法正确，∴不正确的语句有4个，故选：B【点睛】本题主要考查了圆的有关概念及垂径定理，正确理解题意是解题的关键.3．（2023春·九年级课时练习）垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的．【答案】垂直于弦两条弧【分析】根据垂径定理的推论的内容直接得出答案．【详解】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．故答案为：垂直于弦，垂直于弦．【点睛】本题考查了垂径定理的推论，解答时熟悉垂径定理的推论的内容是关键．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是．【答案】（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知在半圆中，，，，求的长．【答案】【分析】连接交于，根据垂径定理的推论得出，根据题意得出，继而得出为等边三角形，即可求解．【详解】解：连接交于，如图，∵，∴，∴，∴，∵，∴，而，∴为等边三角形，∴．【点睛】本题考查了垂径定理的推论，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．考查题型三利用垂径定理求值1．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，的半径为5，弦，，垂足为点P，则CP的长等于（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】A【分析】如图，连接，由垂径定理得，，由题意知，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，连接，

由垂径定理得，，由题意知，由勾股定理得，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，过点O作于点C，根据垂径定理可得，即可求得，再利用勾股定理求得的值，再利用勾股定理即可求得的值．【详解】如图，过点O作于点C，连接，则，

，，，，，在中，根据勾股定理得：，在中，根据勾股定理得：,故选：C．【点睛】本题考查了圆的垂径定理和勾股定理，正确作辅助线，熟练利用勾股定理是解题的关键．3．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）已知的直径为，圆心O到弦AB的距离为，则．【答案】【分析】首先根据题意画出图形，然后连接，根据垂径定理得到平分，即，而在中，根据勾股数得到，即可得到的长．【详解】解：如图，连接，∵，，，∴，∴在中，，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为．

【答案】【分析】由题意易得，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．【详解】解：连接，

∵是的直径，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴,故答案为．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．5．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积．【答案】【分析】设的半径是r，由勾股定理，垂径定理求出圆的半径，由三角形的面积公式即可计算．【详解】解：设的半径是，点是的中点，过圆心，，，，，，，，，，的面积．【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是应用勾股定理求出圆的半径长．考查题型四利用垂径定理求平行弦问题1、（2021春·九年级课时练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（)A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定【答案】A【详解】因为在同圆中,平行弦所夹弧是等弧.故选A.点睛:本题主要考查圆中平行弦所夹弧,解决本题的关键是要熟练掌握平行弦定理.2．（2022春·九年级课时练习）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（）A．若平分，则 B．若，则平分C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分【答案】C【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；D、若也是直径，则原说法不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，

过点O作，垂足为F，交于点E，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②当弦与在圆心异侧时，如图，

过点O作于点E，反向延长交于点F，连接，同理，，，所以与之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．4．（2022·九年级单元测试）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为．【答案】17或7/7或17【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，∵ABCD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5，在Rt△CEO中，OE==12；同理，OF==5，故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；故答案为：17或7．【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．5．（2021春·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长．【答案】【分析】如图所示作出辅助线，由垂径定理可得AM=3，由勾股定理可求出OM的值，进而求出ON的值，再由勾股定理求CN的值，最后得出CD的值即可．【详解】解：如图所示，因为AB∥CD，所以过点O作MN⊥AB交AB于点M，交CD于点N，连接OA，OC，由垂径定理可得AM=，∴在Rt△AOM中，，∴ON=MN-OM=1，∴在Rt△CON中，，∴，故答案为：【点睛】本题考查勾股定理及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．考查题型五利用垂径定理求同心圆问题1．（2023春·九年级课时练习）已知△ABC的边BC=，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（）A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【答案】C【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况.【详解】①当△ABC时锐角三角形时，连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，∴

，∵OB=2∴∴∠BOD=60°∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°，∵=，∴；②当△ABC时钝角三角形时，如图，由①可知∠E=60°，∵四边形ABEC是圆内接四边形，∴∠E+∠A=180°，∴∠A=180°-60°=120°.故∠A的度数为60°或120°.故答案为：C【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键.2．（2022春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.3．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为．【答案】【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．【详解】解：由题意得：，，，，，是等腰直角三角形，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．4．（2022浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是．【答案】16【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论．【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，∴S矩形APND=S矩形ABCD∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4故S△AOD的最大值为4∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16故答案为：16．【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．(1)求证：．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．【答案】(1)证明见解析(2)小圆的半径r为【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论；（2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长；【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1，由垂径定理可得∴∴（2）解：连接，如图2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圆的半径r为．【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．考查题型六利用垂径定理求解其他问题1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点的坐标即可求得答案．【详解】如图所示，连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心．

∵点的坐标为，∴该圆弧所在圆的圆心坐标是．故选：C．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、垂径定理的推论，牢记垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）是解题的关键．2．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，，∴点D、E、F分别是的中点，∴，∵的周长为21，∴即，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．3．（2022·浙江·九年级专题练习）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为cm．【答案】12【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为60cm，∴OB＝OC＝30cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm），∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm），即水的最大深度为12cm，故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是．【答案】（3，1）【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点D即为圆心，且坐标是（3，1）．故答案为：（3，1）．【点睛】此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心．5．（2022秋·江西南昌·九年级深圳市南山外国语学校校联考阶段练习）如图，中，，，，以为半径的交于D，求的长．【答案】．【分析】先根据勾股定理求出的长，过C作，交于点M，由垂径定理可知M为的中点，由三角形的面积可求出的长，在中，根据勾股定理可求出的长，进而可得出结论．【详解】解：∵在中，，，，∴．过C作，交于点M，如图所示，∴M为的中点，∵，且，∴，在中，根据勾股定理得：，即，解得：，∴．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．考查题型七垂径定理的实际应用1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（

）

A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】由三角形有一个外接圆可得答案．【详解】解：∵要恢复圆形镜子，则碎片中必须有一段完整的弧，才能确定这条弧所在的圆的圆心和半径，∴只有③符合题意，故选C【点睛】本题考查的是根据残弧确定残弧所在圆的圆心与半径，理解题意是解本题的关键．2．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（

）

A．厘米/分 B．厘米/分 C．厘米/分 D．厘米/分【答案】D【分析】首先过的圆心作于，交于，连接，由垂径定理，即可求得的长，继而求得的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【详解】解：过的圆心作于，交于，连接，

∴（厘米），在中，（厘米），∴（厘米），∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，∴（厘米/分）．∴“图上”太阳升起的速度为厘米/分．故选：D．【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．3．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为寸．

【答案】26【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．【详解】解：连接，

，且寸，寸，设圆的半径的长为，则，，，在中，根据勾股定理得：，化简得：，即，（寸）．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．4．（2023·浙江·九年级假期作业）课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面内径，球的最高点到瓶底的距离为，则球的半径为．

【答案】【分析】连接，构造相应的直角三角形，利用勾股定理即可求得长．【详解】解：如图所示，连接，设圆的半径为，

，，，，，在中，，即，解得：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，在圆内利用垂直于弦的直径构造直角三角形是常用的辅助线方法．5．（2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，求点C到弦所在直线的距离．【答案】点C到弦所在直线的距离为米．【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．【详解】解：如图2，连接交于，连接，点为运行轨道的最低点，，米，（米，在中，（米，点到弦所在直线的距离米，点C到弦所在直线的距离为米．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，是的直径，是弦，于点，则下列结论中不成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂径定理及线段垂直平分线的性质可知，，进而即可解答．【详解】解：∵是的直径，，∴，∴AB是CD的垂直平分线，∴，故项不符合题意；∵是的直径，，∴，故项不符合题意；∵是的直径，，∴，∴AB是CD的垂直平分线，∴，故项不符合题意；无法证明和的大小关系，故项符合题意；故选．【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定与性质，掌握垂径定理是解题的关键．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，连接．若，，则的长为（）

A．10 B．5 C． D．【答案】C【分析】连接，由是的直径，是的弦，且，可得的长，再根据勾股定理可得的长，从而得出的长，最后再由勾股定理进行计算即可得到答案．【详解】解：连接，

，是的直径，是的弦，且，，，，，在中，，，在中，，故选：C．【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，的弦垂直于，点为垂足，连接．若，，则的值是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如图所示，过点作于点，于点，连接，根据垂径定理可求出的值，再证，可得，根据正方形的判定可得四边形为正方形，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，连接，

∴根据垂径定理得，，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴四边形为正方形，是正方形的对角线，∴，故选：．【点睛】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础值，垂径定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．4．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm【答案】A【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．【详解】解：是的一部分，是的中点，，，．设的半径为，则．在中，，，，，即的半径为．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．5．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为(

)

A． B．7 C．8 D．【答案】B【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长．【详解】解：作于点M，

在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴∠，∴，，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．6．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，是的直径，弦于点，，，则．

【答案】2【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设，则，在中，由勾股定理得，，即，解得，即，故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．7．（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为．

【答案】/厘米【分析】连接，延长交弧于，可证，从而可求，由，即可求解．【详解】解：如图，连接，延长交弧于，

由折叠得：，是的中点，，，，，，在中，．故答案：．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心距、半径组成的直角三角形是解题的关键．8．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，的半径是，是的内接三角形，过圆心分别作，，的垂线，垂足为，，，连接．若，则．【答案】【分析】连接，利用勾股定理求出，再结合垂径定理及三角形的中位线求解．【详解】解：连接，如图．在中，．，，，且是的圆心，，，，是的中位线，．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧（虚线）沿弦折叠后交弦于点D，连接．若，则线段的长为．

【答案】【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为，则⊙O与⊙设等圆，是公共的圆周角，所以可以证得，设⊙O的半径为R，过O作于G，可得，，即，根据勾股定理可得，即可求得．【详解】设折叠后的所在圆的圆心为，连接，∴连接，

同理，∴∵⊙O与⊙是等圆∴设⊙O的半径为R过O作于G∵，∴，∴∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了圆中的折叠变换，垂径定理等，注意等圆中的公共角，公共弦，公共弧，这些都是相等的，利用这些等量关系，是解决此类题的突破口．10．（2023·广东东莞·虎门五中校联考一模）如图，是直径，点C在上，垂足为D，点E是上动点（不与C重合），点F为的中点，若，，则的最大值为．【答案】7.5【分析】延长交于点G，连接、，根据垂径定理得到，推出，得到当取最大值时，也取得最大值，然后在中利用勾股定理即可求解．【详解】解：延长交于点G，连接、，∵，即，且是的直径，∴，∵点F为的中点，∴，∴当取最大值时，也取得最大值，设的半径为r，则，在中，，∴，解得：，∴的最大值为15，∴的最大值为7.5，故答案为：7.5．【点睛】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．11．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．

(1)求的长；(2)若大圆半径为，求小圆的半径．【答案】(1)(2)【分析】（1）作，垂足为E，根据垂径定理得到，，即可得到的长；（2）连接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到即可．【详解】（1）解：作，垂足为E，

由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点，∴，，∴；（2）连接，∵在中，，∴．在中，∵，∴．即小圆的半径为．【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．12．（2023·江苏盐城·统考二模）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．

(1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由；(2)如图②，若，画出的平分线．【答案】(1)画图，理由见解析(2)画图见解析【分析】（1）作直径，作射线即可，理由见解析；（2）连接，交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论．【详解】（1）如图①，即为所求的平分线；