专题01 翻折问题（解析版）

专题01翻折问题一、解答题1．（2020·江苏南京·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−6）2＋（x−4）2＝102，求出AD＝x＝12．【详解】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45，∴∠EAF=90．又∵AD⊥BC，∴∠E=∠ADB=90，∠F=∠ADC=90，∴四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD，∴AE=AF，∴矩形AEGF是正方形；（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．∵BD=6，DC=4，∴BE=6，CF=4，∴BG=x﹣6，CG=x﹣4，在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102．化简得：x2﹣10x﹣24=0解得：x1=12，x2=﹣2（舍去）所以AD=x=12．2．（2019秋·江苏盐城·九年级校考期中）在初二的数学学习中，我们已经了解了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．张老师在课堂上又提出了这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？（1）经过小组合作交流后，小明代表小组发言，他们发现了AB＝2BC，证明方法如下：证明：如图2，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴点B、C、D三点共线．又∵∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，（请在下面补全小明的证明过程）（2）受到小明“翻折”方法的启发，另一组代表小刚发言：如图3，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．【答案】（1）AB=2BC；补全证明过程见解析；（2）AB=．【分析】（1）根据翻折的性质可得AB=AD，BC=BD，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，即可证明BC=AB；（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，根据翻折的性质可得∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，可得∠BAD=60°，∠BCD=90°，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，根据勾股定理可得BD=BC，即可得答案．【详解】（1）∵把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，∴AB=AD，BC=BD，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=2BC．（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，∵∠ACB＝135°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，∴∠BCD=360°-135°-135°=90°，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，BD=，∴AB=BD=．3．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题：（1）与AE相等的线段是．（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程；②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程．【答案】（1）BD；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）思路见（2）（2）①过E作EF//BC，证明△AEF为等边三角形，再证明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE；②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，得到△EBD≌△EBF，再证明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD；【详解】（1）BD（2）①小聪思路：过点E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC∵EF//BC

∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∠FEC＝∠ECB∵又∠A＝60°

∴△AEF是等边三角形∴AE＝AF＝EF，∠EFC＝∠DBE＝120°，∴CF＝BE∵ED＝EC∴∠D＝∠ECB∴∠D＝∠FEC∴∠FCE＝∠BED在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EFC（SAS）∴BD＝EF∴BD＝AE②小明思路：∵DE＝EC

∴∠ECB＝∠D∵∠ABC＝∠DEB+∠D，∠ACB＝∠ACE+∠ECB∴∠DEB＝∠ACE∵△EBD翻折到△EBF∴△EBD≌△EBF

∴∠DEB＝∠FEB，DE＝EF∴∠DEB＝∠ACE＝∠FEB∵∠CEB＝∠CEF+∠FEB＝∠A+∠ACE∴∠CEF＝∠A＝60°∵DE＝EF＝CE∴△ECF为等边三角形∴CE＝CF，∠ECF＝60°∴∠ACE+∠ECB＝∠ECB+∠BCF∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中∴△ACE≌△BCF（SAS）∴AE＝BF＝BD4．（2022·江苏南京·统考一模）阅读下面的问题及解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题．(1)填写下面的表格．(2)将函数y＝－2x2＋3x＋1的图像沿y轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为．(3)将函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）阅读题干材料，弄清题中材料中图形平移的规律，“左加右减”进行求解即可；（2）根据二次函数图像与几何变换，将换成，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论；（3）利用图像向左平移、关于轴翻折、绕坐标原点旋转的规律进行解答．【详解】（1）解：设平移后新的函数图像上任意点的坐标为，将点向右平移1个单位长度得点平移后的图像对应的函数表达式为：，故答案为：，，；（2）解：将二次函数的图像沿着轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是，即，故答案为：；（3）解：将(a，b，c是常数，a≠0)的图像先向左平移1个单位长度，得，再沿y轴翻折，得，即，最后绕原点旋转180°，得，整理得：，故答案为：．答：所得到的图像对应的函数表达式．5．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在数学活动《折纸与证明》中，有这样的一段活动材料：①如图①，把正方形ABCD对折后再展开，折痕为EF；②如图②，将点A翻折到EF上点处，且使折痕过点B；③如图③，沿折叠，得（如图④）．回答下列问题：(1)判断：的形状为______________；并说明你的理由；(2)若正方形纸片的边长为2，则线段的平方的值为______________．【答案】(1)等边三角形，理由见解析(2)3【分析】（1）由折叠的性质可知垂直平分，结合正方形的性质可知，可判断是等边三角形．（2）利用勾股定理解直角可得．【详解】（1）解：等边三角形．理由如下：∵如图②，把正方形纸片对折，折痕为，∴垂直平分．∵将点A翻折，折痕过点B，且使点A落在的点处，∴．∴是等边三角形．（2）解：∵正方形纸片的边长为2，垂直平分，∴，，，∴，线段的平方的值为3．6．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系．【初步探索】小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）（1）写出图2中全等的三角形____________________；（2）直接写出和之间的数量关系__________________；【类比运用】（3）如图3，在中，，平分，求的周长．小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4）；请帮小明写出解答过程：【实践拓展】（4）如图5，在一块形状为四边形ABCD的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏．【答案】（1）；（2）；（3）的周长为5；（4）需要买长的栅栏【分析】（1）将沿翻折得到，则，即可得答案；（2）由，得，由翻折得，，得，所以，于是；（3）将沿翻折，使点C落在边上的点E处，展开后连接，则，，于是得，则，得，所以，即可得答案；（4）将沿翻折，使点C落在边上的点E处，连接，作于F，设，则，可得方程，解得：，即可求得，，则，可得答案．【详解】解：（1）如图2，沿翻折得到；（2），理由：，，由翻折得，，，，，，；（3）如图4，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，展开后连接，由翻折得，，，，，，，，，的周长为5；（4）如下图5，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，连接，作于F，，，，，，设，则，，，解得：，，，，需要买长的栅栏．7．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有一个，按要求回答下列问题：(1)的面积为；(2)画出将向右平移6格，再向上平移3格后的；(3)画出绕点B顺时针旋转后的图形；(4)画出沿直线翻折后的图形．【答案】(1)3(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）直接利用三角形面积求法得出答案；（2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出；（3）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出；（4）直接利用翻折变换的性质得出对应点位置，进而得出．【详解】（1）的面积为：；故答案为：3；（2）如图所示：即为所求；（3）如图所示：即为所求；（4）如图所示：即为所求；8．（2020·江苏无锡·统考一模）阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．证明如下：将AB沿△ABC的角平分线AD翻折（如图2），因为AB＞AC，所以点B落在AC的延长线上的点B'处．于是，由∠ACB＞∠B'，∠ABC=∠B'，可得∠ACB＞∠ABC．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC的延长线于点N．求证：AM＋AN＞2BD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC，结合中垂线的性质定理与三角形三边长的关系，即可得到结论；（2）延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．易证△ACE≌△CAN，得AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q，结合“三角形中，大角对大边”，得AP＋AQ＞2AC，QE＞CQ，PC＞PM，进而得QE＞PM，即AM＋AN＞AP＋AQ，然后即可得到结论．【详解】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC．将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．∵∠ACB＞∠ABC，∴CD在△ABC的内部，∵DE为BC的中垂线，∴DB=DC．∵在△ADC中，AD＋DC＞AC，∴AD＋DB＞AC．即AB＞AC；（2）如图4，延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．∵∠ACE=∠ACN=135°，CE=CN，AC=AC，∴△ACE≌△ACN（SAS），∴AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q．∵∠ACP=∠ACQ=90°，∴AP＞AC，AQ＞AC，∴AP＋AQ＞2AC．∵∠ACD＞∠E，∠ACD=45°，∠QCE=135°-90°=45°，∴∠QCE＞∠E，∴QE＞CQ．同理可得：PC＞PM．∵△ACE≌△ACN，∴∠CAN=∠CAE，又∵AC=AC，∠ACP=∠ACQ=90°，∴△ACP≌△ACQ（ASA），∴PC=CQ，∴QE＞PM，∴AM＋AN=AM＋AE=AM＋AQ＋QE＞AM＋AQ＋PM=AP＋AQ．又∵AP＋AQ＞2AC，∴AM＋AN＞2AC．∵正方形ABCD中，AC=BD，∴AM＋AN＞2BD．9．（2022秋·江苏·九年级期末）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．【答案】（1）15；（2）△ABD的面积为6；（3）∠CAB＝108°．【分析】（1）利用折叠的性质和三角形的外角性质，即可求出答案；（2）把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，得DC＇=CD=2，即可求出△ABD的面积；（3）把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，求得AB＇＝B＇C，然后得到∠B＇AC＝∠C＝24°，从而得到∠B＝∠AB＇B＝48°，即可求出答案．【详解】解：（1）由折叠的性质，则∠AC′D=∠C=60°，∵∠B=45°，∴∠C′DB＝60°45°=15°；故答案为：15°．（2）如图，把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，∴DC＇＝DC＝2，∠AC＇D＝∠ACD＝90°，∵DC＇是高，∴△ABD的面积为6．（3）如图，把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，∴AB＇＝AB=B＇C，∴∠B＇AC＝∠C＝24°∴∠B＝∠AB＇B＝48°，∴∠CAB＝108°．10．（2021春·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）问题背景如图1，矩形中，，，、分别是、的中点，折叠矩形，使点落在上的点处，折痕为．（1）用直尺和圆规在图1中的边上作出点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接，判断的形状；（3）如图2，若点是直线上的一个动点．连接，在左侧作等边三角形；连接，则的最小值是______；（4）如图3，若点是射线上的一个动点将沿翻折，得，所在直线交直线于点，当是直角三角形时，的长为多少？请直接写出答案．【答案】（1）见详解；（2）是等边三角形，理由见详解；（3）；（4）4或6-2或6+2或12【分析】（1）作∠ABK的平分线交AD于P，点P即为所求；（2）先求出∠BKM＝30°；根据对称性可得∠AKB=60°，进而即可得到答案；（3）由△FBA≌△EBK，因为FM、EH分别是AB、BK上的中线，推出FM＝EH，根据垂线段最短可知，当HE⊥MN时，EH的值最小，进而即可求解；（4）分四种情形分别画出图形，求解即可；【详解】解：（1）如图①中，点P即为所求：（2）连接AK，在Rt△BKM中，∵sin∠BKM＝＝，∴∠BKM＝30°．∵、分别是、的中点，∴MN是矩形ABCD的对称轴，∴∠AKM=∠BKM＝30°，AK=BK，∴∠AKB=60°，∴是等边三角形；（3）如图②中，连接AF，取BK的中点H，连接EH．∵等边三角形中，∴∠FBE＝∠ABK＝90°-∠BKM=90°-30°=60°，又∵BF＝BE，BA＝BK，∴∠FBA＝∠EBK，∴△FBA≌△EBK（SAS），∵FM、EH分别是AB、BK上的中线，∴FM＝EH，根据垂线段最短可知，当HE⊥MN时，EH的值最小，最小值EH＝MB=，∴FM的最小值为．故答案为：．（4）∵MB=AB=2，∠MKB=30°，∴MK=6，如图，当∠TEQ＝90°时，则TE∥MB，∴∠MBQ=∠T=∠MKB=30°，∴MQ=÷=2，设EK=ET=x，则QE=，∴+x+2=6，解得：x=6-2，即：EK=6-2；如图，当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，QE=，∴EK=6-2=4；如图当∠TEQ＝90°时，则∠BEM=45°，∴EM=BM=2，∴EK=6+2，如图：当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，∵∠TEM=90°-∠T=60°，∴∠KEB=×60°=30°，∴∠EKB=∠KEB=30°，∴ME=MK=6，∴EK=12．综上所述，满足条件的EK的值为4或6-2或6+2或12．11．（2022春·江苏扬州·九年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF=°；(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长．【答案】(1)AE＝MN，理由见解析；(2)EQ＝CQ，理由见解析；(3)45；(4)2.【分析】（1）过点B作BF//MN交CD于点F，则四边形MBFN为平行四边形，得出MN=BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE=BF，即可得出结论；（2）在图2中，连接AQ、CQ，易证△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根据垂直平分线的性质得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ（3）连接AQ，过点Q作HI//AB，分别交AD，BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD，HI⊥BC，HI=AB=AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD=HQ，AH=QI，由HL证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH=∠QEI，证∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果；(4)延长AG交BC于E，则EG=AG=5，得AE=10，由勾股定理得：BE，则CE=BC-BE，由折叠的性质即可得出结果．（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示：∴四边形MBFN为平行四边形，∴MN＝BF，BF⊥AE，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∴AE＝MN；（2）解：在图2中，连接AQ、CQ，在△ABQ和△CBQ中，，∴△ABQ≌△CBQ，∴AQ＝CQ，∵MN⊥AE于F，F为AE中点，∴AQ＝EQ，∴EQ＝CQ（3）解：连接AQ，过点Q作HI//AB，分别交AD．BC于点H、I，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥．BC，HI=AB=AD，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDA=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD=HQ，AH=QI，∵MN是AE的垂直平分线，AQ=QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，∵AQ=QE，AH=QI，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)，∴∠AQH=∠QEI，∠AQH＋∠EQI=90°，△AQE是等腰直角三角形，∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF=45°故答案为：∠AEF=45°；（4）解：拓展提高：由(3)延长AG交BC于E，如图4所示：则EG=AG=5，∴AE=10，在Rt△ABE中，BE=CE=BC-BE=8-6=2，由折叠的性质得：AC'=CE=2，故答案为：AC′=2.12．（2022·江苏盐城·校联考一模）（1）背景问题：如图①，已知矩形ABCD，E是边CD上一点，将△BCE沿BE翻折，使得C落在AD上的点F处，求证：△ABF∽△DFE．

（1）尝试应用：如图②，已知四边形ABCD中，∠A=∠D=90°，点E在AD上，∠BEC=90°，2∠BCE+∠ECD=180°，过点E作EF⊥BC垂足为F，若EF=2，BC=5，求AE的长．（2）拓展创新：如图③，已知矩形ABCD，AB=9，BC=12，E是边CD上一动点，将△BCE沿BE翻折至△BPE，连接AP在上取点T，使得PT=2AT，连接DT，求出DT长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）由矩形的性质和翻折得到∠BFE＝∠A＝∠D＝∠C＝90°，由同角的余角相等可推得∠DEF＝∠AFB，证得△EDF∽△FAB；（2）证明△ECF∽△BEF，得CF=1，BF=4

，由△ABF∽△DFE，2∠BCE+∠ECD=180°，构造矩形ABGD，由BG=AD建立方程，解方程求解即可；(3)在AB边上取Q，使得BO=2AQ，连接TQ，则求得，可得T在以Q为圆心4为半径的圆上，根据点圆关系求最值即可．【详解】（1）证明：如图1，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝∠C＝90°，由翻折得∠EFB＝∠C＝90°．∵∠DEF＋∠DFE＝90°，∠AFB＋∠DFE＝180°−90°＝90°，∴∠DEF＝∠AFB，∴△ABF∽△DFE．（1）尝试应用：如图2，过点B作BG⊥CD，交DC的延长线于点G，设DE＝m，CD＝x．∵EF⊥BC，∴∠EFC＝∠BFE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ECF＝90°−∠CEF＝∠FEB，∴△ECF∽△BEF，EF2=CF·BF解得CF=1，或（舍去）CF=1，BF=4，∵△ABF∽△DFE∴设CD=x，则AE=2x∵2∠BCE+∠ECD=180°∴D、C、G共线，在矩形ABGD中则由BG=AD得∴（2）拓展创新：在AB边上取Q，使得BQ=2AQ，连接TQPT=2AT，T在以Q为圆心4为半径的圆上，当点T落在DQ上，即DT＝DQ−4时，DT的值最小，∴DTmin=13．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0<t<3.6），请回答下列问题：(1)求当t为何值时，△EFD∽△ABD?(2)求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；(3)将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t的值为时，△EFD∽△ABD(2)当t的值为或时△EFD为等腰三角形(3)不存在，理由见解析【分析】（1）当△EFD∽△ABD时，得到相似比，解得即可；（2）根据题意，等腰三角形分三种情况：EF＝DE时；EF＝DF时；DE＝DF时；作出相应图形，结合条件求解即可；（3）假设存在这样的菱形，当时，过点E作EQ⊥BC于点Q，利用勾股定理求出两条线段长，根据相等关系列方程求解即可确定结论存在与否．【详解】（1）解：如图所示：在矩形ABCD中，AD＝BC＝8cm，∠A＝∠ABC＝90°，在Rt△ABD中由勾股定理得（cm），由题意得：DE＝2tcm，BF＝tcm，∴cm，∵△EFD∽△ABD，∴，∴，解得∴当t的值为时，△EFD∽△ABD；（2）解：△EFD为等腰三角形有三种情况：①EF＝DE时，点E在DF的垂直平分线上，过点E作EG⊥DF于点G，如图所示：则cm，在Rt△DEG中，，∴5DG＝4DE，∴，解得：；②EF＝DF时，点F在DE的垂直平分线上，过点F作FH⊥AD于点H，如图所示：则cm，在Rt△DHF中，，∴5DH＝4DF，∴，解得，∵，∴不合题意舍去；③DE＝DF时，则2t＝10－t，解得：；综上：当t的值为或时，△EFD为等腰三角形；（3）解：不存在．假设△EMN沿直线MN翻折后点E落在点处，由折叠得：，，当翻折后的四边形为菱形时，，∴EM＝EN，∴，过点E作EQ⊥BC于点Q，如图所示：则四边形EQCD为矩形，∴EQ＝CD＝6cm，CQ＝DE＝2tcm，∴，∴，∵cm，cm，∴，∴，此方程无解，∴不存在这样的菱形．（2022秋·江苏·九年级期中）(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？试证明你的结论”老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答小明：AB=2BC．证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程）(2)【变式拓展】如图2，在△ABC中，把（1）中条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不变，则．(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．如图3，点D是△ABC内一点，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，探求AD、DB、BC三者之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)2(3)，理由见解析【分析】（1）根据翻折的性质得出点B、C、D共线，再由等边三角形的判定和性质即可证明；（2）把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，根据翻折的性质得出∆ABD为等边三角形，由题意确定∠BCD=90°，运用勾股定理即可得出结论；（3）把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，由翻折及各角之间的关系得出△AEC为等边三角形，再由勾股定理及等量代换即可得出结论．【详解】（1）证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D共线，∴AB=AD，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=2BC；（2）如图所示，把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，由翻折得：AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，BC=CD，∴∠BAD=60°，∴∆ABD为等边三角形，∴AB=BD，∵∠ACB=∠ACD=135°，∴∠BCD=90°，，即；（3）；理由：把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，∵∠BAD=∠CAD=20°，∴∠EAB=20°，∴∠EAC=60°，∵∠ACB+∠ADB=210°，∠AEB=∠ADB，∴∠ACB=∠AEB=210°，∴∠EBC=360°-210°-60°=90°，∵AD=AC，AE=AD，∴AE=AC，∴△AEC为等边三角形，∴EC=AE=AD，在Rt△EBC中，，∵BC=BD，EC=AD，∴．15．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）问题情境：如图1，P是外的一点，直线PO分别交于点A，B．(1)探究证明：如图2，在上任取一点C(不与点A，B重合)，连接，求证：；(2)直接应用：如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，则的最小值是．(3)构造运用：如图4，在边长为2的菱形中，，M是的中点，N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值为．(4)综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点，点，分别以1，2为半径作、，M，N分别是，上的动点，直接写出的最小值为．【答案】(1)见解析(2)(3)(4)7【分析】(1)在中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；(2)连接交于点P，根据勾股定理求得，进而求得；(3)的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接，求得，进而求得的最小值；(4)作点A关于x轴的对称点C，连接交x轴于点P，求出的长，进而求得的最小值．（1）证明：如图1，，，，；（2）解：如图2，连接OA，交半于点P，，在中，，∴，的最小值是，故答案是：；（3）解：如图3，连接、，交于点，∵四边形是菱形，，，是等边三角形，∵M是的中点，的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，，，，∴，长度的最小值为，故答案为：；（4）解：如图4，作点A关于x轴的对称点C，连接，交x轴于点P，交于点N，连接PA交于M，，，∵点，点，∴点，，∵分别以1，2为半径作、，，，，故答案是：7．16．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：x…012……4a14…请按要求完成下列各小题：(1)a的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A．函数图像关于x轴对称B．当时，函数有最小值，最小值为C．当时，y随x的增大而增大②直接写出不等式的解集为______．(4)将该函数图像在直线上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线进行翻折，得到新函数图像，若经过点的一次函数图像与新函数图像W只有1个交点时，请直接写出k满足的条件______．【答案】(1)1(2)见解析(3)①BC；②或(4)或或【分析】（1）把代入即可求出a的值；（2）先描点再连线画出函数图像即可；（3）①根据函数图象可以看出函数图像关于y轴对称，关于x轴不对称，即可判断A错误；根据函数图象可判断当时，函数有最小值，最小值为，得出B正确；根据函数图象可判断当时，y随x的增大而增大，得出C正确；②根据函数图象写出不等式的解集即可；（4）根据题意画出翻折后的图像，然后数形结合求出k的范围即可．【详解】（1）解：把代入得：，即，故答案为：1．（2）解：该函数的图象，如图所示：（3）解：①A．函数图像关于y轴对称，故A错误；B．当时，函数有最小值，最小值为，故B正确；C．当时，y随x的增大而增大，故C正确；故答案为：BC；②根据函数图象可知，当或时，；故答案为：或；（4）解：如图所示：设点，，，，，设的解析式为，把，代入得：，解得：，的解析式为：，设的解析式为，把，代入得：，解得：，的解析式为：，设的解析式为，把，代入得：，解得：，的解析式为：，根据图像可知，当直线经过和点时，直线与图像W只有一个交点，把，代入得：，解得：；∵，∴，根据图像可知，当直线与平行时，直线与图像W只有一个交点，且此时直线绕点继续逆时针旋转，直到与平行之前，直线与图像W只有一个交点，∴当或时，直线与图像W只有一个交点；综上分析可知，当或或时直线与图像W只有一个交点．故答案为：或或．17．（2017江苏省宿迁市，第25题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）Q（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．【详解】试题分析：（1）由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点，即直线y=x与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q（x，0），当BC为平行四边形的边时，则有BQ∥PC且BQ=PC，从而可用x表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标．试题解析：（1）在中，令y=0可得x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x=0可得y=﹣3，又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，∴C（0，3），设曲线N的解析式为，把A、B、C的坐标代入可得：，解得：，∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为；（2）设△ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，∵B（3，0），C（0，3），∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，又线段AB的解析式为曲线N的对称轴，即x=1，∴M（1，1），∴MB==，即△ABC外接圆的半径为；（3）设Q（t，0），则BQ=|t﹣3|．①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，∴P点纵坐标为3，即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，当点P在曲线M上时，在中，令y=3可解得x=1+或x=1﹣，∴PC=1+或PC=﹣1．当x=1+时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ=t﹣3，∴t﹣3=1+，解得t=4+；当x=1﹣时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ=3﹣t，∴3﹣t=﹣1，解得t=4﹣，∴Q点坐标为（4+，0）或（4﹣，0）；当点P在曲线N上时，在中，令y=3可求得x=0（舍去）或x=2，∴PC=2，此时Q点在B点的右侧，则BQ=t﹣3，∴t﹣3=2，解得t=5，∴Q点坐标为（5，0）；②当BC为平行四边形的对角线时，∵B（3，0），C（0，3），∴线段BC的中点为（，），设P（x，y），∴x+t=3，y+0=3，解得x=3﹣t，y=3，∴P（3﹣t，3），当点P在曲线M上时，则有3=（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t=2+或t=2﹣，∴Q点坐标为（2+，0）或（2﹣，0）；当点P在曲线N上时，则有3=﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t=3（Q、B重合，舍去）或t=1，∴Q点坐标为（1，0）；综上可知Q点的坐标为（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．18．（2020秋·江苏淮安·九年级校考期末）平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为2，点E、H在对角线AC上，点F、I在BC边上，点G、J在CD边上，且EGHJAD，EFHIAB，求阴影部分的面积；小明将正方形沿AC翻折，得到如图2所示的ABC，他发现图1中阴影部分的面积就等于图2中ABC的面积，所以图1中阴影部分的面积为；(2)如图3，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，且FHBC，EGAB，EG与FH交于点I，求阴影部分的周长；小明将FI平移到BG，IG平移到FB……，快速地求出了阴影部分的周长为；(3)如图4，四边形ABCD中，AB=AD，∠A=120°，∠C=105°，BC=，CD=2，求四边形ABCD的面积．(4)如图5，，且B、C、D在一条直线上，BA=BC=2，设∠ACB=，直线BC上方有一点E满足CA=CE且∠ACE=，连接AE，当=°时，AE取得最大值，AE的最大值为．（注：点A、E、F均在直线BC上方）【答案】(1)2(2)36(3)(4)22.5，4+2【分析】（1）根据翻折的性质，直接求△ABC的面积；（2）根据平移的性质，求矩形ABCD的周长即可；（3）将△ABC绕点A逆时针旋转120°得△ADE，连接CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于H，由∠B+∠ADC=135°，得∠EDH=45°，得出△CDE的面积，在Rt△ECH中，由勾股定理得CE=10，过A作AF⊥CE于F，再求出△ACE的面积即可；（4）将△ABC沿AC翻折得△AMC，△CFD绕点C逆时针旋转，使CD与CE重合，点F的对应点为N，连接MN，可得∠MCN=90°，MN=2，由AE≤AM+MN+NE，即AE最大值为4+2，此时点A、M、N、E四点共线．（1）解：∵正方形ABCD的边长为2，∴×2×2=2，故答案为：2；（2）解：由平移的性质知，=2×（8+10）=36，故答案为：36；（3）解：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得△ADE，连接CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于H，∴DE=BC=6，∠B=∠ADE，∠EAC=120°，∵∠BAD=120°，∠BCD=105°，∴∠B+∠ADC=135°，∴∠CDE=135°，∴∠EDH=45°，∴EH=DH=6，=×CD×EH=×2×6=6，在Rt△ECH中，由勾股定理得CE=10，过A作AF⊥CE于F，∴∠CAF+∠EAF=∠EAC=60°，CF=EF=CE=5，∴∠ACF=30°，∴AC=2AF，∵，即，∴，∴，∴；（4）解：将△ABC沿AC翻折得△AMC，△CFD绕点C逆时针旋转，使CD与CE重合，点F的对应点为N，连接MN，∴CM=CB，CN=CF，∵∠ACB=α，∠ACE=90°+2α，∴∠MCN=90°，∵BA=BC=2，，∴BA=BC=CF=FD=CM=CN=AM=EN=2，∴MN=2，∴AE≤AM+MN+NE，即AE最大值为4+2，此时点A、M、N、E四点共线，∴4α=90°，∴α=22.5°，故答案为：22.5，4+2．19．（2021春·江苏无锡·九年级校考期中）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看着折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作，解决问题(1)如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点．在图1中，①和的数量关系为___________．②连接，和的位置关系为___________(2)若图1中的矩形变为平行