2.3 三角形的内切圆（6大题型）（分层练习）（解析版）

第2章直线与圆的位置关系2.3三角形的内切圆（6大题型）分层练习考查题型一直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系1．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，则阴影部分面积是（

）A．2 B．π C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理求出，设与分别相切于，连接，利用切线的性质和等面积法求出，再证明四边形是正方形，得到，最后根据进行求解即可．【详解】解：∵在中，，∴，如图所示，设与分别相切于，连接，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四边形是正方形，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了直角三角形内切圆半径与直角三角形三边的关系，勾股定理，正方形的性质与判定，求不规则图形面积，正确求出圆O的半径长是解题的关键．2．（2022上·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（

）

A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，利用勾股定理可得，设，则，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解．【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，

根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，，，，，设，则，，，，，，，设，，，，，．故选：C．3．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）勾股容圆最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”意思是：今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是步．【答案】6【分析】本题主要考查三角形的内切圆，连接圆心和切点，把三角形的面积分成三个三个角形的面积得到关于r的方程是解题的关键，与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为，利用面积相等可得到关于的方程，可求得内切圆的半径，则可求得内切圆的直径．【详解】如图，

根据勾股定理得：斜边，∴，设内切圆的圆心为，分别连接圆心和三个切点，及、、，设内切圆的半径为，解得该内切圆的直径是6步，故答案为：6．4．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形的边长是，，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处，分别与，，相切，切点分别为F、G、H，则的半径为．

【答案】2【分析】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定．如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可．【详解】解：如图所示，延长交于M，连接，∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴，由折叠的性质可得，∴，又∵，∴，

∴，

设，则，，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，如图所示，连接

∵分别与，，相切，切点分别为，，，∴，∵，∴，∴，∴的半径为，故答案为；2．5．（2022上·甘肃平凉·九年级校考期末）如图，已知为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，求的半径．

【答案】的半径为2．【分析】连接，由勾股定理可计算出AC的长，根据面积关系，即可求得半径．【详解】解：如图，连接，

∵为的内切圆，切点分别为D、E、F∴，且，在中，由勾股定理得，∴，∵∴即∴，即的半径为2．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理，图形的面积等知识，利用面积关系解答是关键．考查题型二圆外切四边形模型1．（2021·九年级课时练习）下面图形中，一定有内切圆的是（

）A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形【答案】C【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案．【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角，所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆，选项中只有菱形，对角线平分对角．故选C【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键．2．（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；【详解】解：∵是四边形的内切圆，∴，，，，∵，∴，∵，，，∴，故选：A；【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到．3．（2021上·江苏南京·九年级统考期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝．【答案】62°【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．故答案为：62°．【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．4．（2022上·浙江温州·九年级校考期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在上，若，则的直径为．

【答案】【分析】连接，由题意可知过点，，且，列出方程求解即可．【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，

∵正方形，正方形和正方形都在正方形内，∴，∵分别与，，，相切，∴四边形是正方形，∴过点，，四边形为正方形，，，．．．设的直径为，则．，．，，（）解得：．即的直径为．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：.【答案】见解析.【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB.【详解】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形，∴AD+BC=AB+CD=2AB，∵梯形中位线为EF，∴AD+BC=2EF，∴EF=AB.【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键.考查题型三三角形内心有关应用1．（2023上·山东济宁·九年级校考期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再利用正方形的判定确定四边形是正方形，进而利用圆的切线性质可知线段的关系，进而求出阴影部分的面积．【详解】解：∵，，，∴，∴为直角三角形，，∵与分别相切于点、，∴，，，∴四边形是正方形，设，则，∵的内切圆与、、分别相切于点、、，∴，，∴，∴，∴阴影部分的面积是：，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心到顶点的连线平分这个内角；勾股定理的逆定理和切线性质等相关知识点．熟练运用知识点是解决问题的关键．2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．【详解】解：如图，连接．∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，∴，∴，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．3．（2023上·九年级课时练习）如图，在中，，，点是的内心，则的度数为．

【答案】/117.5度【分析】由点是的内心，可得分别为，的角平分线，由，，可得，，由三角形的内角和可求出答案．【详解】解：点是的内心，，分别为，的角平分线，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内心，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键．4．（2023上·九年级课时练习）如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于．

【答案】/104度【分析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案；【详解】解：∵是的内切圆，∴，，∵，∴，∴；【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形内切圆的定义，解题的关键是根据内切圆得到，．5．（2022上·贵州黔西·九年级统考期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积．【答案】12【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果．【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，，∴，∵的周长为12，∴，∴的面积为：．【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示．考查题型四一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系1．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题．【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，

，，，的长为，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键．2．（2022上·湖北襄阳·九年级襄阳四中校联考自主招生）圆内切于正三角形，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（

）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，求出，根据三角形内切圆的性质可得，，且点在一条直线上，从而可得，由此即可得．【详解】解：如图，设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，

∵圆与圆相切，圆的半径为，圆的半径为，，圆内切于正三角形，，，，平分，，，∵圆与，均相切，，，是的角平分线，，且点在一条直线上，，即，解得，则，故选：C．【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、角平分线的判定定理、等边三角形的性质、圆与圆的位置关系，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．3．（2022上·天津北辰·九年级校考阶段练习）如图，在中，内切与边相切于点，，，，则的长是．【答案】6【分析】设内切与边，分别相切于点E，F，根据切线长定理可得，从而得到，即可求解．【详解】解：如图，设内切与边，分别相切于点E，F，∵是的内切圆，∴，∴，∵，，，∴，解得：．故答案为：6【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理列方程是解题的关键．4．（2022上·江苏扬州·九年级统考阶段练习）如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径．【答案】【分析】利用勾股定理求出，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出,即可求解．【详解】解：如图，连接，，，，，、与分别相切于点、，，，四边形为正方形，设，则，的内切圆与、、分别相切于点、、，，，，，即．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心．5．（2021上·安徽亳州·九年级校考阶段练习）如图，圆是的内切圆，其中，，求其内切圆的半径．【答案】．【分析】过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，根据勾股定理BD=，根据△ABC面积两种求法列等式得出即可．【详解】解：过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，设AD=x，CD=8-x,其内切圆的半径为r，根据勾股定理，即，解方程得，∴BD=，∵圆是的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，OE=OF=OG=r，∴S△ABC=，∴，∴．【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积，掌握三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积公式是解题关键．考查题型五三角形内切圆与外接圆综合1．（2023下·河北承德·九年级校联考阶段练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先根据题意画出图形，的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，求出，根据面积法求出，进而得出，可得，根据勾股定理即可得出答案．【详解】解：如图所示：的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，

设，，∴，∵的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，∴，，根据三角形的面积可得：，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴内心与外心的距离为，故选：D．【点睛】本题考查三角形的内心与外心，勾股定理，得出三角形的内心与外心的位置是解题的关键．2．（2022上·黑龙江绥化·九年级校考期末）正三角形的边长为，那么该正三角形的内切圆半径为（

）A．2 B．1 C． D．3【答案】B【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质和三角形的内切圆性质求解即可．【详解】解：如图，是等边三角形，，，

由题意，平分，平分，∴，，，∴为内切圆的半径，∴，故选：B．【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的内切圆性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质和三角形内切圆性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．3．（2022上·江苏南通·九年级统考期中）直角三角形的外接圆半径是3，内切圆半径是1，则该直角三角形的周长为．【答案】14【分析】切于E，切于F，切于D，连接，得出四边形是正方形，则，根据切线长定理，得到，然后根据线段的和差关系，即可得到答案．【详解】解：如图，设切于E，切于F，切于D，连接，，则，∴四边形是正方形，∴，∵切于E，切于F，切于D，∴，∵直角三角形的外接圆半径是3，内切圆半径是1，∴，即的周长是，故答案为：14．【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆与外心，内切圆与内心，正方形的判定和性质，切线的性质，切线长定理等知识点的综合．解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．4．（2022上·湖北恩施·九年级校考阶段练习）如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为．【答案】/24度【分析】连接，先计算出，再利用外心性质和等腰三角形的性质得到，则，利用圆周角定理得到，接着计算出，再根据三角形内心即可解决问题．【详解】解：连接，如图，∵，∴，∵O点为的外心，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵I为的内心，∴平分，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握内心与外心定义．5．（2022上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；（2）连接，证出即可得证；（3）连接，，，证出即可得证．【详解】（1）证明：点I是的内心，平分，，，，．（2）证明：如图，连接，点I是的内心，平分，平分，，又，，，，，．（3）证明：如图，连接，，，，．，∴点D是的外心．【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.考查题型六圆的综合问题1．（2022上·河北邯郸·九年级校考期末）如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图所示，作点关于的对称点，连接，交于于点，此时的值最小，即，连接，根据点在上，，为弧的中点，可得，根据圆周角定理可得，可得是等腰直角三角形，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，交于于点，此时的值最小，即，连接，∵点在上，，为弧的中点，∴，，∴，∴，∵是的半径，即，∴是等腰直角三角形，∴，∴的最小值为，故选：．【点睛】本题主要考查圆的基础知识，对称图形求对短路径，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．2．（2022上·山西大同·九年级统考阶段练习）如图，正方形内接于半径为2的中，过点作的切线交的延长线于点，过点作的切线交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正多边形与圆的性质，以及切线的性质判定出四边形是正方形，是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出，根据图形中面积之间的关系进行计算即可．【详解】解：如图，连接、、，正方形是的内接正方形，，与相切于点，与相切于点，，，四边形是正方形，是等腰直角三角形，，由对称性以及图形中阴影部分面积之间的关系可得，，故选：D．

【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质是正确计算的前提，判定四边形是正方形，是等腰直角三角形是解决问题的关键．3．（2022上·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为．

【答案】【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，∴，由圆周角定理得，，故答案为：．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．4．（2022上·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图，中，，，，以上的一点O为圆心为半径作，若与边始终有交点（包括B、C两点），则线段的取值范围是．【答案】【分析】分情况讨论，当经过点C时，则是直径，根据锐角三角形函数即可得，当圆O经过B点时，作于点D，根据和直角三角形的性质得，根据锐角三角形函数得，即与边始终有交点（包括B、C两点），即可得线段的取值范围．【详解】解：如图所示，当经过点C时，则是直径，∵中，，，，∴，∴，当圆O经过B点时，如图所示，作于点D，∵，∴，∴，∴，∴与边始终有交点（包括B、C两点），则线段的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，圆的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，分情况的讨论．5．（2023上·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学周测）如图，中，，为线段上异于B、C的一动点，以为圆心，的长为半径作与分别交于．

(1)若，随着点的运动，的值是否为定值？若不是，请说明理由，若是，求出该定值；(2)从下列提供的条件中选择不超过两个条件，求的度数，（供选择的条件：①，②与相切，③为的中点）解：你的选择是：______________________（填序号）【答案】(1)(2)①③，【分析】（1）在上取任意一点G，连接，，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得可得，再根据圆内接四边形的性质即可求解．（2）根据等腰三角形的性质可得，，，再根据平行线的性质可得，进而可得，进而可求解．【详解】（1）解：，理由：在上取任意一点G，连接，，如图：

四边形是圆内接四边形，，，，，，，、分别是、的一个外角，，，，，，，，为定值．（2）选择①，③为的中点为条件，，为的中点，，，，，，，，，，，故答案为：①③．【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关的性质，借助适当的辅助线是解题的关键．1．（2023上·广东江门·九年级校考期中）下列命题是真命题的是（

）A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；C．等弧所对的圆心角相等 D．三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．【答案】C【分析】根据垂径定理、内心的定义和性质、弧和圆心角之间的关系分别进行判断即可，熟练掌握垂径定理、内心的定义和性质是解题的关键．【详解】解：A．平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误，不符合题意；B．三角形的内心到三角形三条边的距离相等，故选项错误，不符合题意；C．等弧所对的圆心角相等，故选项正确，符合题意；D．三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故选项错误，不符合题意．故选：C．2．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，点是的内切圆的圆心，若，则度数等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案．【详解】解：∵O是的内心，∴，，∵，∴，∴，∴．故选：D．3．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在中，，则内切圆的半径是（

）

A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】此题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，直角三角形内切圆的性质，以及切线长定理．设、、与的切点分别为D、E、F；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出r的长．【详解】解：如图，

在中，，根据勾股定理.四边形中，，，∴四边形是正方形，由切线长定理，得：，，；∴；∴．故选：C．4．（2023上·河北邢台·九年级校联考期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得分别是的角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键．【详解】解：连接，

∵是的内心，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵点又是的外心，∴，故选：．5．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．以下结论中正确的结论有（

）个

（1）平分；（2）；（3）；（4）；（5）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】此题考查相似三角形的判定，根据三角形的内心的性质和圆周角定理，相似三角形的判定逐项判断即可．【详解】解：∵点E是的内心，∴平分，故（1）正确；∴，∴，故（2）正确；∴，故（3）正确；∵，，∴，故（4）正确；如图，连接，

∵点E是的内心，∴平分，平分，∴，，又∵．∴，，即，故．故（5）正确；故选：A．6．（2023上·山东日照·九年级统考期中）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接．若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据三角形内心的定义可得平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据圆周角定理得出，最后根据等边对等角和三角形内角和定理进行求解即可．【详解】解：连接，

∵点I是的内心，∴平分，∵，∴，∵点O是外接圆的圆心，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．7．（2023上·山东滨州·九年级期中）是直角三角形，，，，则的内切圆半径．【答案】【分析】本题主要考查三角形内接圆的半径的计算，掌握内接圆的性质，切线的性质，勾股定理的运用的综合是解题的关键．根据题意作图，再根据圆的切线的性质可得，四边形是正方形，设，可用含的式子表示出，在直角三角形中根据勾股定理可求出，由此即可求解．【详解】解：如图所示，是直角三角形，，，，是的内切圆，分别于切于点，连接，

∴，，，∵，，∴四边形是正方形，设，∴，，∴，在中，，∴，解得，，∴的内切圆半径为，故答案为：．8．（2023上·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在中，，是的内切圆，切点分别为、、．若，，则．

【答案】【分析】本题考查了内切圆的性质，勾股定理；根据切线长定理可得，在中，，，列出方程求解即可．【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为、、．，，∴，在中，，解得：（负值舍去）∴,∴故答案为：．9．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十中学校考期中）如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则的半径r为．【答案】2【分析】连接，由勾股定理的逆定理求得是直角三角形，根据面积关系，即可求得半径．【详解】解：如图，连接，∵，，，，∴，∴是直角三角形，∵为的内切圆，切点分别为D、E、F，∴，且，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：2．10．（2023上·江苏南京·九年级南京师范大学附属中学江宁分校校考阶段练习）如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为．

【答案】【分析】延长交于M点，连接，通过中位线定理可求出的长，再通过角的关系可求得，进而求证直角三角形为等腰直角三角形，求得的长，的长，利用勾股定理求出的长．【详解】解：延长交于M点，连接，

在中斜边经过圆心O，，又，∴为的中位线，，，在中，I为三个角平分线的交点，，即，为等腰直角三角形，，根据勾股定理可得，，即．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形中位线，三角形内切圆圆心，直角三角形以及勾股定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，三角形内切圆圆心，直角三角形性质以及勾股定理．11．（2023上·山东滨州·九年级校联考期中）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为2，大正方形的面积为，则小正方形的面积为．

【答案】【分析】本题考查了三角形的内切圆、勾股定理及完全平方公式的应用，根据内切圆半径得到，结合勾股定理，运用整体思想是求解问题的关键．【详解】解：设直角三角形的三边长分别为，其内切圆半径为，面积为，则，∵，∴∵大正方形的面积为，∴，∴，由①②可得：或（舍）∴∴小正方形的面积为：故答案为：12．（2023上·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的选项是．【答案】①③④【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧和等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断．【详解】解：∵点是的内心，∴平分，∴，故①正确；如图，连接，，∵点是的内心，∴，，∵，∴，∴，∴，故②不正确；

∵，∴，∴，∵点为的中点，∴，∴，故③正确；∵点是的内心，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴，故④正确，∴一定正确的是①③④，故答案为：①③④．【点睛】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心的定义是解题的关键．13．（2023上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数

【答案】【分析】连接，．由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得由圆周角定理可求得．【详解】解：如图所示；连接，．

，，．是圆的切线，．同理．．．．【点睛】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得的度数是解题的关键．14．（2023上·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）如图，是的外接圆，直径于点．

(1)求证：；(2)连接并延长，交于点，交于点，连接，，若点恰为中点，补全图形并求的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)补全图形见详解，的长为【分析】（1）运用垂径定理即可求解；（2）根据圆的基础知识，的关系可确定的度数，根据含角的直角三角形即可求解．【详解】（1）解：∵在中，是直径，，∴，，∴．（2）解：根据题意作图如下，

∵是的外接圆，直径，，∴，在中，，∴，∵连接并延长，交于点，∴是直径，即，∴，且，∴，∴的长为．【点睛】本题主要考查圆的基础知识，等腰三角形，含角的直角三角形的性质，掌握垂径定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键．15．（2023下·河北沧州·九年级校考期中）如图，的直径，弦，的平分线交于点，过点作交延长线于点，连接．

(1)的面积是多少；(2)求证：是的切线．【答案】(1)的面积为(2)详见解析【分析】（1）求出是等腰直角三角形，求出的长，即可得出答案；（2）求出，根据平行线性质求出，根据切线的判定求出即可；【详解】（1）解：∵的平分线交于点，∴，∴，∴，∵直径，∴，则是等腰直角三角形，∴，∴的面积为，∴的面积为．（2）证明：如图，连接，

∵为直径，平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切线；【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础知识，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质，平行性的性质，证明切线的方法等知识的综合是解题的关键．16．（2023上·山东枣庄·九年级校考期中）如图，中，已知，以为直径作个，交于点．(1)与的大小关