2.2-全等三角形的判定（1）-2023年升初二人教版暑假衔接教材

❊2.2全等三角形的判定（1）考点先知考点先知知识考点“SSS”判定三角形全等1.与“SSS”有关的添条件问题2.“SSS”判定三角形全等“SAS”判定三角形全等3.与“SAS”有关的添条件问题4.“SAS”判定三角形全等题型精析题型精析知识点一全等三角形的判定原理知识点一全等三角形的判定原理内容全等三角形的判定原理全等三角形的判定实际上是根据给定的三个条件，是否能够作出唯一的三角形.题型一全等三角形的判定原理题型一全等三角形的判定原理例1例1（1）AB=3，AC=4，BC=5；（2）∠A=40°，AB=5，AC=7；（3）∠A=40°，AB=5，BC=7；（4）∠A=50°，∠B=70°，∠C=60°.变1根据给定的条件作三角形，并判断是否只能画出一个三角形：变1（1）∠B=60°，∠C=45°，BC=4；（2）∠A=40°，∠C=50°，AB=3；（3）∠C=90°，AB=5，BC=4；（4）∠A=50°，BC=3，AB=6.例2在△ABC中，若∠B=45°，AB=10，AC=5，求△ABC的面积．请问该题的三角形是否唯一？有几个解？（不需求解，只需回答后两个问题即可）例2变2在△ABC中，若∠B=45°，AB=10，BC=5，求△ABC的面积．请问该题的三角形是否唯一？有几个解？（不需求解，只需回答后两个问题即可）变2知识点二“知识点二“SSS”全等三角形的判定原理内容全等三角形的判定（一）两个三角形的三条边对应相等（SSS），则两个三角形全等.题型二添条件问题题型二添条件问题例1如图，已知AC=BD，要使得△ABC≌△DCB，根据“SSS”判定方法，需要再添加的一个条件是例1【分析】要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等．【解答】解：添加AB=DC．在△ABC和△DCB中，AB=DCBC=CB∴△ABC≌△DCB（SSS）．∴添加一个适当的条件是AB=DC．故答案为：AB=DC．例2如图，AB=AC，DB=DC则直接由“SSS例2A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△ACEC．△EBD≌△ECDD．以上答案都不对【分析】本题已知AB=AC，DB=DC，AD是公共边，具备了三组边对应相等，所以即可判定△ABD≌△ACD．【解答】解：在△ABD与△ACD中，AB=ACDB=DC∴△ABD≌△ACD（SSS）．故选：A．变1如图，已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，还可以添加的一个条件是（）变1A．AD=FBB．DE=BDC．BF=DBD．以上都不对【分析】由题意AC=FE，BC=DE，根据SSS即可解决问题．【解答】解：∵AC=EF，BC=DE，∴要根据SSS证明△ABC≌△FDE，∴需要添加AD=BF即可．故选：A．变2如图，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（）变2A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④【分析】要利用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，还需要条件AB=FE，结合题意给出的条件即可作出判断．【解答】解：由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB=FE，若添加①AE=FB，则可得AE+BE=FB+BE，即AB=FE，故①可以；若添加AB=FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以．若添加AE=BE，或BF=BE，均不能得出AB=FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以．故选：A．题型三“边边边”判定三角形全等题型三“边边边”判定三角形全等例1如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：．例1【答案】证明见详解【分析】根据线段的和差求出，利用即可证明．【详解】证明：∵，∴，即，在和中，，∴．例2如图，点A、、、在同一条直线上，，，，求证：．例2【答案】证明见解析【分析】根据，，，利用定理证明，从而得到，再根据内错角相等，两直线平行，得证．【详解】证明：∵∴∴在和中，∴∴∴（内错角相等，两直线平行）变1如图，在和中，，求证：．变1【答案】见解析【分析】直接利用全等三角形的判定方法：求出即可．【详解】证明∶在和中，变2如图，，，，点E、B、D、F在同一条直线上．求证．变2【答案】见详解【分析】根据，两边同时减去BD，可得，再由，证明即可．【详解】证明：∵，∴，∴，∵在和中，∴．例3如图，在和中，点C在边上，边交边于点F，若，，．求证：．例3【答案】证明见详解【分析】先根据SSS定理得出(SSS)，故，再根据是的外角，可知，可得出，故可得出结论．【详解】解：在和中（SSS）；，变3如图，AB=AC，AD=AE，CD=BE．求证：∠DAB=∠EAC．变3【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，可用SSS判定两个三角形全等．【解答】证明：在△ADC与△AEB中，AB=ACAD=AE∴△ADC≌△AEB（SSS），∴∠DAC=∠EAB，∴∠DAC﹣∠BAC=∠EAB﹣∠BAC，∴∠DAB=∠EAC例4如图，已知：AB=AC，BD=CD，E为AD例4（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）若∠BED=50°，求∠CED的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据SSS即可证明△ABD≌△ACD；（2）只要证明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED=∠CED，进而得到答案．【详解】（1）证明：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；（2）解：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，在△EDB和△EDC中，，∴△EDB≌△EDC（SAS），∴∠BED=∠CED，∵∠BED=50°，∴∠CED=∠BED=50°．变4已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：变4（1）△AEC≌△BFD；（2）DE=CF.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由线段的和差可得AC=BD，继而利用“SSS”即可求证结论；（2）由（1）可知∠A=∠B，继而利用“SAS”求证△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质即可求证结论．【详解】（1）证明：∵AD=BC，∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD，在△AEC和△BFD中，∴△AEC≌△BFD（SSS），（2）由（1）可知△AEC≌△BFD，∴∠A=∠B，在△AED和△BFC中，,∴△AED≌△BFC（SAS），∴DE=CF知识点三“知识点三“SAS”全等三角形的判定原理内容全等三角形的判定（二）两个三角形的两条边及其夹角对应相等（SAS），则两个三角形全等.题型四添条件问题题型四添条件问题例1如图，AD与BC交于点O，，添加一个条件后能使用“边角边”基本事实判定的是（）例1A．B．C．D．【答案】B【分析】根据全等三角形的判定对四个选项进行依次判定即可.【详解】已知A，时不构成全等的条件，故错误，不符题意；B，时，在△AOC和△BOD中∴(SAS)，使用了“边角边”，故符合题意；C，时，在△AOC和△BOD中∴(AAS)，使用了“角角边”，故不符合题意；D，时，在△AOC和△BOD中∴(ASA)，使用了“角边角”，故不符合题意，故选B例2如图，若已知，用“”说明，还需要的一个条件是（）例2A．B．C．D．【答案】B【分析】找到根据“”判定需要条件，作出证明即可．【详解】解：还需添加的条件是，理由是：在和中，，∴，故选：B．变1如图，与相交于点，，若用“”证明，还需添加的条件是（）变1A．B．C．D．【答案】B【分析】利用对顶角相等，则要根据“”证明，需要添加对应边与相等即可．【详解】解：，当时，可利用“”判断，故选：B．变2如图，B、A、D、E在同一直线上，，，利用“”使得，则只需添加的一个条件是．变2【答案】【分析】由平行线的性质得出，由的判定方法求解即可．【详解】解：添加条件：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴；故答案为：．题型五“边角边”判定三角形全等题型五“边角边”判定三角形全等例1如图，，，，，求证：．例1【答案】见解析【分析】如图，先证明再利用证明即可．【详解】证明：又，，在与中，∴．例2如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．例2【答案】见解析【分析】根据“”证即可．【详解】证明：∵，∴，即，在和中，，∴．变1已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：变1【答案】见解析【分析】由“SAS”可证．【详解】证明：∵∴即∴在和中，，∴（SAS）变2如图，已知EC=BF，AC=DF，∠C=∠F，求证：．变2【答案】见解析【分析】先证得，再利用证明．【详解】证明：∵，∴，即，在和中∴．例3如图，已知，，，求证：．例3【答案】见解析【分析】根据证明，即可得出结论；【详解】解：∵∴即：在和中∴∴例4已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE例4（1）如图1，点E在BC上，求证：BC=BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC=BD﹣BE．【分析】（1）先证∠DAB=∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），得出BD=CE，则可得出结论；（2）证明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD=CE，进而得出结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠DAB=∠EAC，又∵AB=AC，AD=AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=CE，∴BC=BE+CE=BD+BE；（2）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB，即∠DAB=∠EAC，又∵AB=AC，AD=AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=CE，∴BC=CE﹣BE=BD﹣BE．变3如图，已知，，，求证：．变3【答案】见解析【分析】先证明，从而可以利用来判定．【详解】证明：∵，∴，即，在和中，∴．变4如图，在和中，，点C在上．求证：变4（1）；（2）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等式的性质，可得，根据SAS，可得两个三角形全等；（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得，根据等量代换，可得证明结论．【详解】（1）证明：，，即．在和中，，；（2）证明：，例5如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点C处，，，连接、，点A恰好在线段上．例5（1）求证：；（2）当，则AE的长度为cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)8(3)，理由见解析【分析】（1）求出，根据证明即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）如图，与相交于点O，根据全等三角形的性质可得，结合求出即可．【详解】（1）证明：∵，∴，即，在与中，，∴；（2）解：∵，∴，故答案为：8；（3）解：，理由：如图，与相交于点O，∵，∴，又∵，∴，∴．变5如图，，，，．变5（1）求证：；（2）图中、有怎样的关系？试证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)，，理由见解析【分析】（1）根据，并结合图形可推出，再根据，，结论即可得证；（2）如图，设交于点，交于点，由（1）的结论可推出，，由，，可得出，可得，由此即可解决问题．（1）证明：∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴．（2）解：结论：，．理由如下：如图，设交于点，交于点，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴．课后强化课后强化1.如图，在四边形中，，，若连接相交于点，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可；【详解】解：由，，可以判定；∴，由，，可以判定；由，，可以判定；共对全等三角形；故选：C．2.如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是．【答案】【分析】由图形可知为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．【详解】解：∵，，∴可补充，在和中，，∴；故答案为：．3.如图，已知AB=AC，AD=AE，要证明△ABD≌△ACE，还需要添加条件为（只写一种）．【答案】（答案不唯一）【分析】根据已知条件选择合适的全等三角形的判定方法，添加合适的条件即可．【详解】解：添加条件为，理由是：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SSS）．故答案为：4.如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．（1）求证：；（2）求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由证明即可；（2）由全等三角形的性质得出，再由平行线的判定即可得出结论．【详解】（1）解：证明：，，即，在和中，，；（2）由（1）知，，．5.如图，，，相交于点．（1）求证；（2）求证．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质可知角相等，再根据全等三角形的判定可知，进而得出线段相等．【详解】（1）解：在和中，∴，∴，（2）解：∵，∴，∴在和中，∴，∴，∴，6.已知，如图，在四边形中，，平分，E为上任意一点，连接，求证：．【答案】见解析【分析】先证明，得出，再证明即可【详解】证明：∵平分，∴在与中，∴∴在与中，∴7.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（）A．∠B=∠E，BC=ECB．∠B=∠E，AC=DCC．∠A=∠D，BC=ECD．BC=EC，AC=DC【分析】由AB=DE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一组对应边相等及其对应夹角相等．【解答】解：A、若AB=DE，∠B=∠E，BC=EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合题意．B、若