2023届甘肃白银市第二中学高三年级上册一月月考数学试题

2023届甘肃白银市第二中学高三上学期一月月考数学(文)试题

一、单选题

1.设集合A={x|x<2},B=则A「B=()

A.(-2,4)B.(-1,2)C.0D.(-1,4)

【答案】B

【分析】先利用指数函数的性质化简集合8,再利用集合交集的定义求解即可.

【详解】：A={x|x<2},8=卜&<2'<16卜{》[-1<》<4},

AB={x|-I<x<2}=(-1,2),

故选：B.

2.某校高三年级共有800名学生参加了数学测验，将所有学生的数学成绩分组如下：[90,100),[100,

110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到的频率分布直方图如图所示，则下列

说法中正确的是()

①成绩不低于120分的学生人数为440；②这800名学生中数学成绩的众数为125；③这800名学生

数学成绩的中位数的近似值为1214④这800名学生数学成绩的平均数为120.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】先由频率分布直方图求出。的值，从而可求出成绩不低于120分的学生人数，平均数和中

位数，然后进行判断即可

【详解】解：由题意得(0.010x2+0.025+a+0.015+0.005)xl0=l,解得“=0.035,

所以成绩不低于120分的学生人数为800x10x(0.035+0.015+0.005)=440,所以①正确；

由频率直方图可知分在[120,130)中最多，所以众数为坦詈=125,所以②正确；

这800名学生数学成绩的中位数为120+。5一(°"10+；3；+。°25)><10-si.*所以③正确；

这800名学生数学成绩的平均数为

10x(95x0.010+105x0.010+115x0.025+125x0.035+135x0.015+145x0.005)=120,所以④正确，

故选：D

【点睛】此题考查频率分布直方图的应用，考查由频率分布直方图求平均数、众数、中位数，考查

运算能力，属于基础题

3.已知复数Z=/二则Z-|Z|在复平面内对应的点所在的象限为()

1—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】先对复数2=言化简，再求出复数Z的模，从而可求出复数Z-|Z|,进而可求得答案

……r2+i(2+i)(l+i)2+2i+i+i213.

【详解】因为Z=7zr砌晒=一2—=2+2!

所以z-|z|=L3i119]_标3.

J-I—=------1—1

1122V4422

所以z-|z|在复平面内对应的点所在的象限为第二象限,

故选：B

A=3y=2"+l,x£R},B=<x注20,则A(C*)=

X—2.

A.[2,+8)B.[1,2]C.(1,2]D.(-8,1]

【答案】C

【分析】由题意，可求出A=(l,y),B=(F,-1]52，E)，进而求出C*,然后与A取交集即可.

x+12。等价于lx2=0

【详解】由题意，y=2*+l>l,故A=(l,+8)；故

x—2

5=依)，则CM=(-1,2],故Ac(CM)=(l,2].

故选C.

【点睛】本题考查了集合的交集与补集，考查了不等式的求法，函数值域的求法，属于基础题.

2■>

5.若双曲线二-与=1(〃>0,。>0)的渐近线与圆(x—2)?+产=2相交，则此双曲线的离心率的取值

ab,

范围是()

A.(2,+?)B.(1,2)C.(1,72)D.(夜，田)

【答案】C

【解析】由圆心(2,0)到渐近线的距离小于半径求出。2</,进而得出H<2/,最后由离心率公式

确定双曲线的离心率的取值范围.

【详解】双曲线渐近线为陵±-=0,与圆(x-2y+V=2相交

2b

•••圆心到渐近线的距离小于半径,<五

故选：C

Y

6.己知〃3，+1)='，则/(5)=

2

A.log,4B.-log,2c-iD.1

【答案】B

【分析】令3，+l=5,求出x=21og32,代入函数解析式计算即可.

【详解】令3*+1=5,则3*=4,所以x=log34=21og32.

•210g322

••./（5）=―广=log?2.

故选:B.

7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()

16〃

A.—

647

B.

"I"

16万

C.F-

64万

D.丁

【答案】C

【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，结合图中所给数据，即可得解.

【详解】

由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分,

观察到正视图中1和2的分界线可知俯视图是圆心角为120。的扇形,

故该几何体的体积为V=1x17tx22x4=y7t,

故选：C.

【点睛】本题考查了三视图，考查了锥体体积的计算公式，属于基础题.

8.在AABC中，内角A,B,。所对的边分别为b,已知。＞匕，。=5,c=6,sinB=-

5

则sin（A+]J=

V13

A,亚BrL•---D

13-I65-f

【答案】A

【分析】根据同角三角函数式，求得cosB,结合余弦定理及正弦定理、诱导公式即可求解.

34

【详解】在ABC中，故由sinB=w，可得cosB=g

4

由已知及余弦定理，W/?2=a2+c2-2accosB=25+36-2x5x6x-=13

:.b=A

由正弦定理」一=上，得$1函=竺逆=独3

SIFLAsinnb13

•-H,4_小力2万

••sin4H—=cosA=11---=--------

I2）V1313

故选A

【点睛】本题考查了同角三角函数关系式、诱导公式及正余弦定理的综合应用，属于基础题.

9.设等比数列｛为｝的前〃项和记为S“，若$4=2,9=6,则“等于

A.8B.10C.12D.14

【答案】D

2

【详解】试题分析：由等比数列性质SK/TJESLS）可得取儿&?=（-）I-4SI2=

【解析】等比数列性质

10.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄

菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

【详解】采取“相邻元素捆绑法，不相邻元素插空法”，把2盆黄菊花看做一个元素有8种方法，

再和红菊花1盆，共两个元素全排列，有-七种方法，

再把2盆白菊花插入到这两个元素全排列后产生的3个空位中的两个，共有一弋种方法.

则根据分步乘法计数原理，这5盆花不同的摆放种数是8=24,选B.

11.已知角&满足1+8$[2[?—&)]=2852(/,则tana的值为()

A.,或-1B.-C.3D.3或T

33

【答案】A

【分析】利用三角函数的基本关系式和二倍角的余弦公式求解.

【详解】由l+cos2(?-a)=l+cos(]-2a)=l+sin2a=(sina+cosa)2,

2cos2«=2(cos2«-sin2tz)=2(cosc-sina)(cosa+sina),

所以(sina+cosa)2=2(cosa-sina)(cosa+sina),

当cosfZ+sinawO时、sin«+cos«=2(cosa-sina),所以tana=§；

当cosa+sina=0时,所以tana=-l,

所以tana的值为;或-1,

故选：A.

12.已知函数y=/(x)的图象与函数y=2'的图象关于直线y=x对称，g(x)为奇函数，且当x>0时,

g{x)=f(x)-x,则g(-8)=()

A.-5B.-6C.5D.6

【答案】C

【分析】先求出=再求出g(8)=-5即得解.

【详解】解：由已知，函数y=/(x)与函数y=2"互为反函数，则/(x)=log2X.

由题设，当x>0时，5(x)=log2x-x,则g(8)=log28-8=3-8=-5.

因为g(x)为奇函数，所以g(-8)=-g(8)=5.

故选：C.

二、填空题

13.己知平面向量a、b、c满足a",且{MMH}={1，2,3},则|a+6+c|的最大值是一

【答案】3+石##6+3

【分析】分别以a,b所在的直线为x,y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{#M}={1,2},\C\=3,

设c=(x,>),贝!]*2+9=9,则a+方+c=(l+x,2+y),有|a+l+c|=J(x+1>+(y+2\的最大值,其几

何意义是圆/+丁=9上点(x,y)与定点(-1,-2)的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况

的最大值进行比较即可.

【详解】分别以a,b所在的直线为x,丁轴建立直角坐标系,

①当帆时卜{1,2},|c|=3,贝岐+力=(1,2),

设c=(x,y),则x2+y2=9,

。+Z?+c=(1+x,2+y),

.1a+b+c|=J(x+l)2+(y+2)2的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9上点(x,y)与定点(-1,-2)的距离的

最大值为3+J(0+2)2+(0+1)2=3+75;

②同理，当{邮「{1,3},©=2,则。+…,3),x2+y2=4,

:\a+h+c[=J(x+l)2+(y+3f的最大值，其几何意义是圆/+_/=4上点(x,y)与定点(-1,-3)的距离的

最大值为2+J(0+l)2+(0+3)2=2+瓦,

③同理，当M，W}={2,3},Ic|=1,则a+A=(2,3),

22

设c=(x,y),则x+y=1

;Ja+6+c|=J(x+2)2+(y+3)2的最大值,其几何意义是在圆/+丁=i

上取点(x,y)与定点(-2,-3)的距离的最大值为1+J(0+2)2+(0+3)2=1十屈

1+屈＜3+技2+加＜3+石，

故|a+b+c|的最大值为3+行.

故答案为：3+逐

14.圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2cm,下底面半径为3cm,圆台母线

长为4cm,则该圆锥的侧面积为cm2.

【答案】36万

【分析】由所截圆台的上下底面半径的比例及母线长，即可求得圆锥的母线长，以及圆锥底面周长,

应用扇形面积公式即可求圆锥的侧面积.

B

【详解】

如上图，圆台的上底面半径为2cm,下底面半径为3cm,圆合母线长为4cm,

...圆锥的侧面积等于扇形OAB面积：S=SOAB,

OCOC2

~—=—KCB=4cm,#OC=8cm,即OB=tt4=12f7〃，又AB=6兀cm，

OBOC+CB3

1,

S=—>OB-AB—36/rcm-.

2

故答案为：36万

15.函数y=sin（7tx+e），3>0）的部分图像如图所示，设尸是图像的最高点，A8是图像与x轴的交

点，记ZAP3=。，则sin2，=.

【答案】登

65

【分析】根据正弦型函数的周期公式及函数的图像，再利用三角函数的定义及两角和的正切公式,

结合二倍角的正弦公式及三角函数齐次式即可求解.

27r

【详解】由题意知函数y=sin（也+协的最小正周期为7=—=2,所以A3=2,

71

过点P作PQ垂直x轴于点Q,如图所示

因为尸是图像的最高点，所以设尸的纵坐标为1,即尸。=1,

在•△A®中，3"尸。=丝=4」

PQI2

2T

在."a中，匕山相=丝=二、，

PQ\2

13

—+—

tan/APQ+tan/BPQ

所以tan夕=tan(ZAPQ+Z.BPQ)=228

113

l-tanZAPQtan/BPQ1—x—

22

2sin9cos。_2tan0_2x8_16

所以sin2。=2sin0cos3=

sin2^+cos20tan2^+l82+165

故答案为：——.

65

22

16.已知椭圆C*+专■=.＞匕＞0）的离心率为A,B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆

C的右焦点，过F的直线/与椭圆C交于不同的两点P,Q,当直线/垂直于x轴时，四边形APBQ的

面积为6,则椭圆C的方程为.

【答案】—+^=1

43

【分析】利用已知条件列出方程，求解“，少即可得到椭圆方程.

【详解】解：椭圆C：E+£=l（a＞力＞0）的离心率为:，可得£=!.

a'b-2a2

A,B分别为桶圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线/与椭圆C交于不同的两点P,

Q,

当直线/垂直于X轴时，如图:

四边形4P8Q的面积为6,

$=扣网・|PQ|=；x2ax^-=6,解得b=布,

a

c1

又£=2=b2+c2,

a2a

解得a—2,

£=1.

则椭圆C的方程为：—+

43

22

故答案为：—+—=1.

43

三、解答题

17.有甲、乙两个班，进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后，得到如下的列联表:

不及格及格总计

甲班1035M

乙班73845

总计1773N

(1)求M,N的值;

（2）写出求/观测值的计算式;

（3）根据（2）中标的观测值，你有多大把握认为成绩及格与班级有关？若修改列联表中的数据得

至II1=7.121又说明什么?

(P(k2>0.455)®0.50,P(八6.635)x0.010)

【答案】(1)M=45,JV=90；(2)3二匚=06527；(3)见解析.

45x45x17x73

【分析】(1)根据列联表即可求得M，N的值；(2)由后的公式可求得结果；(3)比较临界值对应

的概率可得出结论.

【详解】(1)例=10+35=45,217+73=90；

(2)由列联表中的数据，可得

n(acl-bc)290>(I0X38-7>35)2

K?==0.6527>0.455

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)45x45x17x73

(3)由(2)得K?=0.6527>0.455,又尸(公20.455)x0.50,

所以，只有50%的把握认为成绩及格与班级有关，即没有理由认为成绩及格与班级有关.

若N=7.121,贝lj由2公26.635)“0.010可得，有99%的把握认为成绩及格与班级有关.

【点睛】本题考查列联表和独立性检验的应用，根据所给的数据，代入求观测值的公式，得到观测

值，把所得的数值同临界值进行比较，可得到对应的概率，属基础题.

18.在数列｛%｝中,4=1,a„+l=2a„+2",

⑴设S证明:数列UU是等差数列;

(2)求数列｛〃“｝的前〃项和.

【答案】(1)略(2)S„=nx2"-2"+l

【详解】试题分析：(1)题中条件勿=券，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中

所给的SJ的递推公式=2”,,+2"转化为｛"：)的递推公式：留=券+1，从而％产2+1,

"=三-1,进而得证；(2)由(1)可得，a,=〃2"T,因此数列｛a：｝的通项公式可以看成一个等

差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前1:项和，即有：

c14：l

S(,=lx2+2x2+3x2*-..+(n-l)x2*+nx2'-@)［得：

2S.=12+22:+321----(n-1)》②，

②一①得—2752m

试题解析：(1)•.•4u=2a“+2",$=券+1,又•..2=含，：,bn+l=bn+\,

&=坞=1,.•.则｛〃,｝是1为首项1为公差的等差数列；

■

由(1)得2=1+("-1)」=〃，...勺=〃2"T,

14

.5,«lx20+2x2+3/+•••+(”-1)x21+nx2*@；

①.得：2SC=1X»+2X22+3X?+…+(”-l)x2i+〃x2'②，

②一①得鼠k25,…2*1=-+1

【解析】1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.

19.如图所示，已知平行四边形A8C。和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=l,AD=2,

ZADC=60",AF=\,M是线段E尸的中点.

(1)求证：AC±BF；

⑵设点尸为一动点，若点尸从M出发，沿棱按照EfC的路线运动到点C,求这一过程中形

成的三棱锥P-8FD的体积的最小值.

【答案】(1)证明见解析

⑵巫

6

【分析】(1)根据几何关系证明AC_L平面A8尸，进而证明结论；

(2)设AC与8。相交于N,连接尸N、CM,证明CM〃平面班)F,进而得点尸在〃或C时，三

棱锥P-8FD的体积最小，再根据Vc-BtD=匕-BCD求体积即可.

【详解】(1)证明：在平行四边形ABC。中，ZADC=60,CD^AB=\,AD=2,

由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD-CDCOSZADC=3.r.AC=6,

BC=AD^2,：.AB1+AC2=BC2,.-.ZBAC=90,:.AB1.AC,

,••四边形ACEF为矩形，则AF_LAC,

QABIAF=A,

.:AC/平面AB尸，

BFu平面A3尸，

ACYBF；

(2)解：设AC与3。相交于N,连接产N、CM,

•..四边形ABC。为平行四边形，且ACc5£»=N,

...N为AC的中点，

AC//EF5LAC=EF,〃为£尸的中点，

;.CNHFM且CN=FM,

所以，四边形CM7W为平行四边形，则CM〃白V,

/Wu平面8£>F,CM<Z平面万，

:.CMH平面BDF,

由图可知，当点P在M或C时，三棱锥P-8尸£>的体积最小，

(V.,.=KBED=V「=----2-l-sinl20-1=—.

\/~DrU/fninC-DrUr—oCflZCJD326

3

20.己知函数/(x)=V+]x2-4ax+2.

⑴若函数g(x)=61nx—d+(4a—9)x+/(x),求g(x)的单调区间;

⑵若/(x)有两个都小于0的极值点，求实数〃的取值范围.

【答案】(l)g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增

⑵

【分析】(1)根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系即可求解；

(2)根据已知条件及极值点的定义，结合一元二次方程根的分布即可求解.

3

【详解】(1)^(-^)=61nx-x3+(4«-9)x+/(x)=61nx+—x2-9x+2,

且定义域为(O,+8)，

所以g'3=m+3x_9=3.(x7*2)a>0)

令g'(x)<0，得1cx<2；令g'a)>。，得Ovxvl或x>2.

所以g(“在(0,1)上单调递增，在(L2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

(2)因为/(》)=1+；/-4依+2,所以/'(力=3/+3%-44,

又因为/(x)有两个都小于。的极值点，

所以3d+3x-4a=0有两个不相等的负数根飞多,

△=9-4x3x(-4a)>0

八

x,+x=--3<03

所以2，解得一土<"0,

16

4。A

XlX2=__I>0

所以实数a的取值范围为(一得，0).

21.抛物线。的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线/：x=l交。于P,Q两点，且。尸，OQ.已

知点“(2,0),且；M与/相切.

(1)求C,M的方程;

(2)设A，a，4是c上的三个点，直线A4,A4均与IM相切.判断直线&&与(M的位置关

系，并说明理由.

【答案】(1)抛物线C:y2=x,/方程为(》-2尸+丁=1；(2)相切，理由见解析

【分析】(1)根据已知抛物线与x=l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性

设出P,。坐标，由OP，。。，即可求出P；由圆M与直线x=l相切，求出半径，即可得出结论；

(2)方法一：先考虑A4斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若A4，AA，4A斜率存在，

由4出出三点在抛物线上，将直线44,44出4斜率分别用纵坐标表示，再由44,44与圆”相

切，得出为+%，必。％与》的关系，最后求出M点到直线44的距离，即可得出结论.

【详解】⑴依题意设抛物线C：y2=2px(p>0),P(l,%),Q(l,-%),

OPA.OQ,:.OPOQ^\-yl=\-2p=G,:.1p=\,

所以抛物线C的方程为V=x,

M(2,0),M与x=l相切，所以半径为1,

所以M的方程为(x-2>+y2=i；

(2)［方法一］:设4(再%)，4(々,%)，4。3，%)

若A4斜率不存在，则A4方程为x=l或x=3,

若A4方程为X=1,根据对称性不妨设4(1,1),

则过A与圆用相切的另一条直线方程为y=l,

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3,不合题意;

若A4方程为X=3,根据对称性不妨设A(3,百),4(3,-6),

则过A与圆M相切的直线A4为y一G-3),

y-%_1冬，%=°，

又1

不一再y+旷36+%

x3=O,A3(O,O),此时直线A4,4A3关于x轴对称,

所以直线44与圆M相切;

若直线，A4,4$斜率均存在，

,i1i

则=-7—典A=-7—，&A,=一~一，

M+%%+）'3%+

所以直线A4方程为y-y=--（》-斗），

）1十%

整理得x-（X+必”+%%=。，

同理直线44的方程为x-（y+%）y+%%=o，

直线44的方程为x-（%+%）>+>2y3=°，

|2+必力|.

A4与圆M相切，；•八，京=1

{1+（%+%）

整理得（y；-1）及+2yM+3-4=0,

A4与圆M相切，同理（y；-i）*+2y，%+3-y；=0

所以必，力为方程（父-1）>2+2%丫+3-4=0的两根，

2yl3-y；

%+%=--^>y2'>3，

X-1必-1

M到直线A2A的距离为：

一，Lv：+HJ"」

J（y”l）2+4y；X+1'

所以直线44与圆M相切；

综上若直线A4，A4与圆〃相切，则直线44与圆M相切.

［方法二］【最优解】：设4（%,y）,y：=%，Aa，%），*=£，&（%，%），¥=%-

当时，同解法1.

当x产X,时，直线A4的方程为丫-%=互4（》-%）,即y='一+3-

%-%yt+y2x+%

由直线A4与M相切得化简得2y%+（XT）W一再+3=0,

同理，由直线4&与・.M相切得2yly3+（占-1）/一%+3=0.

因为方程2MV+（X「1）X—%+3=0同时经过点儿,43,所以44的直线方程为

|2（%）—1）—X|+3|lx+11

2yy+（%-1）3一%+3=0，点M到直线A4距离为1/,,、？=7/"3=[-

2J4y；+（x「l）-依+1）-

所以直线44与M相切.

综上所述，若直线A4，A4与，M相切，则直线44与：M相切.

【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问

题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用A4，AA的对称性，抽象出为+%，3・%

与必关系，把%，%的关系转化为用M表示，法二是利用相切等条件得到为人的直线方程为

2xy+（x「l）x-5+3=0,利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路

22.在直接坐标系货力中，直线/的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为卜二出烟。.

[y=sina

（1）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点。为极点，以x轴正半轴为极轴）

中，点尸的极坐标为判断点P与直线/的位置关系；

（2）设点。是曲线C上的一个动点，求它到直线/的距离的最小值.

【答案】（1）点P在直线/上；（2）收.

【分析】（1）消去曲线C参数方程中的参数，得到曲线C普通方程，根据公式x=pcos6,y=0sin。，

把点P的坐标化为直角坐标方程，即可判断点P与直线/的关系；

（2）设。（GeosHsin。），由点到直线