人教版六年级下册数学思维训练讲义-第十一讲 表面积和体积一 （含答案）

第十一讲表面积和体积(一)

第一部分：趣味数学

小希帕蒂娅巧算箱子体积

希帕蒂娅是历史上有记载的第一位女数学家,她出生在埃及。希帕蒂娅小时候很聪明,有一

次,父亲的朋友来拜访,送给希帕蒂娅一件礼物,装在一个用绳子捆起来的箱子里。小希帕蒂娅

高兴地解开绳子,正要去打开箱子，父亲对她说：

“别急，你先拿一把尺子量量绳子的长度。”

小希帕蒂娅用尺子量了量散落在地上的3根绳子,一根长210厘米,一根长250厘米,还有

一根长290厘米。父亲说：“假设这些绳子打结的时候，都用去了10厘米，希帕蒂娅，请你算一

算,这个箱子的体积是多少？”

“没问题,爸爸。”小希帕蒂娅拿出一支笔,在地上列起式子来：

长+宽=(290-10)4-2=140厘米,长+高=(250-10)4-2=120厘米

宽十高=(210-10)4-2=100厘米。

怎么才能求出长、宽、高呢?小希帕蒂娅歪着头想了想，低

头算了起来。她用第2个式子减去第3个式子，得到:长一宽

=20厘米,再加上第1个式子,就能求出长=80厘米。知道了长，强

她很快就求出了宽=60厘米,高等于40厘米。所以箱子的体积V；：

\\_j-.

就T

长x宽x高=80X60X40=192000立方厘米。

算完了，父亲笑着点点头，说：“现在，你打开箱子拿出礼

物吧！”

父亲的朋友一直在旁边看着,不禁惊叹道:好聪明的小丫头,将来一定会成为有名的数学家!

第二部分：习题精讲

小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立

体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图

形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时

要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。

在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点:

（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。

（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个

立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。

（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把

几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。

例题1：

从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方

体，剩下部分的表面积是多少？

这是一道开放题，方•法有多种：

①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。

②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。

③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。

图27—3

练习1:

1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方

体，剩下部分的表面积是多少？

2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体

木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米?

3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎

样的变化?

例题2：

把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立

体图形的表面积。

要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上

的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。

从上往下看

图27—5

而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积

可采用（S上+S左+S前）X2来计算。

(3X3X9+3X3X8+3X3X10)X2

(81+72+90)X2

=243X2

=486（平方厘米）

答：这个立体图形的表面积是486平方厘米。

练习2：

1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。

2、一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面

积是多少平方厘米？

3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方

体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

例题3：

把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这

个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？

把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面

积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大,

即减少两个9X7的面。

（9X9+9X4+7X4）X2X2—9X7X2

=（63+36+28）X4—126

=508—126

=382（平方厘米）

答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。

练习3：

1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多

少？

2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个

大长方体。求大长方体的表面积是多少。

3、用6块（如图27-8所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积

最小的是多少平方厘米?

1厘米3厘米

2厘米

例题4：

一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积

增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。

我们知道：体积=长乂宽X高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽X高=40

+2=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长X高=90+3=30（平方

厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长X宽=96+4=24（平方厘米）。而长方

体的表面积=（长X宽+长X高+宽X高）X2=（20+30+24）X2=148（平方厘米）。即

404-2=20（平方厘米）

904-3=30（平方厘米）

964-4=24（平方厘米）

（30+20+24）X2

=74X2

=148（平方厘米）

答：原长方体的表面积是148平方厘米。

练习4：

1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体

积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来厂房体的表面积是多

少平方厘米？

2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一

个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？

3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都

是质数，这个长方体的体积是多少？

例题5：

如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成

一个物体。求这个物体的表面积。

如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三

个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱

的表面积加上中、小圆柱的侧面积。

3.14X1.5X1.5X2+2X3.14X1.5X1+2X3.14X1X1+2X3.14X0.5X1

=3.14X（4.5+3+2+1）

=3.14X10.5

=32.97（平方米）

答：这个物体的表面积是32.97平方米。

练习5：

1、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，各有一个直

径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。

2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？

3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下

侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米

的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（II取3.14）o

第三部分：数学史

难解的立方倍积问题

传说在公元前400多年，古希腊的第罗斯岛上，暴发了瘟疫，大批大批的人被传染，然

后在痛苦中死去。对于瘟疫，人们束手无策，于是只好到神庙去，祈求他们所信仰的太阳神

的保护。太阳神对大家说：这次瘟疫的流行是因为你们不够虔诚。你们的正方体祭台太小

了，不能显示出太阳神的伟大和尊严。如果你们能只利用圆规和直尺，而不利用其他的测

量工具，把祭台体积扩大为原来的两倍，那么，太阳神就可以免除你们的灾难。

人们绞尽脑汁，怎样才能只用圆规和直尺就把祭台体积扩大一倍呢？人们试着把祭台

的棱长扩大了一倍，结果非但祭台的体积没有变成原来的两倍，反而扩大成了原来的8倍。

太阳神又发怒了！嫌祭台造得太大了，说人们在欺骗他，于是降下了更加厉害的灾难。灾难

又笼罩了第罗斯岛……

实际上，这只是一个传说而已，但是它却包含了一个著名的几何问题：已知一个正方

体，只利用圆规和直尺，能不能做出一个新正方体，使它的体积等于已知正方体的两倍呢？

这个问题被称为“立方倍积问题”，是古希腊三大几何作图难题之一。这个问题几千年来

困扰了无数的数学家。到100多年前，一位名叫克莱因的德国数学家证明了只用直尺和

圆规是不可能解决立方倍积问题的。

参考答案：

练习1：1.切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1X1的正

方形，新增加了左右下面三个1X1的正方形，所以表面积大小不变。

2.4X4X6-2X2X2=92平方厘米

3.中心挖去的洞的体积是：/X3X3—〃X2=7立方厘米，挖洞后木块的

体积：3，—7=20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是/X4—12=3平方厘米，挖洞后木

块的表面积：(3?+3)X6=72平方厘米。

练习2：1.(1X1X12+1X1X8+1X1X7)X2=54平方厘米

2.(2X2X9+2X2X9+2X2X7)X2=200平方厘米

3.因为64=4X4X4,所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被，那么大正方体的表

面积是小正方体的4X4=16倍，小正方体的表面积是：384+16=24平方厘米

练习3：1.将正方体分为两个长方体，表面积就增加了2个30+6=15平方厘米，拼成大

正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是1个30+6=15平方厘米，所以大长方体的

表面积是30+30+6=35平方厘米。

2.要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有如图答27

—2两种：表面积都是(3X3+3X4X2)X2=66平方厘米。

3.设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左面和右面的面积就是六平方分米。其

余的面积为2必平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：8X2+8X2X2=600X=5

大长方体的体积是：5X5X2X5=250立方分米

练习4：1.(48+2+65+5+96+4)X2=122平方厘米

2.减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。

把两个合并起来，用120+(2+3)=24厘米，求到正方体底面的周长，正方体的棱长就是24

・4=6厘米。圆长方体的体积是：6X6X(6+3+2)=396立