第5练 基本不等式（解析版）-2023届高三数学一轮复习五层训练（新高考地区）

第5练基本不等式

一、课本变式练

1.（人A必修一P48习题2.2T1（1）变式）已知x>l,则函数〃耳=鼻的最小值为（）

A.2+夜B.2C.2拒D.4

【答案】D

【解析】当时/（引=工=［（'/）+11=@_1）+-^+2.2/,_［）—^+2=4,当*=2时取等号,

x-1x-1x-iVx-1

故选D.

2.（人A必修一P48习题2.2T1（2）变式）已知0<x<g,则2x（1-3x）取得最大值时x=（）

1n1-1nl

AA.—B.—C.—D.—

6548

【答案】A

【解析】2x（l-3x）=2-3x（l-3司432£土1二灰丫=1.，当3x=l-3x,即x=1时取等号，故选A.

3312J66

3.（人A必修一P48习题2.2T5变式）x<0,y<0,则土耳+—--的最小值为____.

x+y2x+3y

【答案】26-2

【解析】—J=2x+3y+3x+3y_2226_2,当（2犬+3»=3（3+.）2时取等号.

x+y2x+3yx+y2x+3y

4.（人A必修一P57复习参考题2T5变式）若a>0,力>0,且曲=。+。+3,则最小值为.

【答案】6

【解析】因为"=a+6+3,所以（°一1）传一1）=4,所以4+6=（〃一1）+0-1）+222小（」一1）（6-1）+2=6,当

a=6=3时取等号.

二、考点分类练

（一）利用基本不等式求最值

5.（2022届安徽省“皖东县中联盟”高三期末联考）已知x>0,y>0,2x+y=3,则9，+3>的最小值为（）

A.27B.12A/3C.12D.

【答案】D

［解析］因为X>0,y>。,2x+y=3,则9*+3、=32x+3y>2-j32x+y=，

a

当且仅当2x=y=］时，等号成立，因此,9、+3-'的最小值为.故选D.

41

6.（2022届天津市红桥区高三下学期一模）设4>0*>1,若°+方=2,则2+1、的最小值为（）

ao-l

A.6B.9C.34D.18

【答案】B

【解析】。>0,〃>1,且。+。=2,「.匕一1>0且4+(力-1)=1,

.41414(/?-1)a=、/4(Z?-1)~a~.

•・-+-)［t/+(^-l)］=5+———-+---..5+2/--------------7=9,

ab-\ab-\ab-1Vab-\

当且仅当迎二2=二,即4=］目/,=2时取等号，故&+工的最小值为9；故选B

ah-\33ah-i

7.(2022届天津市南开区高三下学期一模)若”>0,6>0,00,4+6+。=2,则’7+史史的最小值为

a+bc

【答案】2+2叵

【解析】由题意,。>0./?>（）,<:>0,。+/?+。=2得：a+b=2-c,

设2-c=m,c=〃,Q〃>0,〃>0)，则加+〃=2,

4a+b

故----------F--------

a+bc2-cc2-ccmn

=WX(±+2)_I=3+&+%*2+2、耳=2+2&

2mnmn\mn

当且仅当/=2/,即%=4-2&,“=C=2&-2时取得等号,

故」7+色也的最小值为2+2应

（二）利用基本不等式判断不等关系

8.（2022届宁夏银川高三二模）下列不等式恒成立的是（）

A.x+—>2B.a+b>2\fab

x

c/tz+6丫、Cl~4-b~n272C,

C.------>---------D.a~-^b2>2ab

I2）2

【答案】D

【解析】对于A选项，当x<0时，不等式显然不成立，故错误；对于B选项,〃+此2疝成立的条件为

此0,心0,故错误；对于C选项，当。=-30时,不等式显然不成立，故错误；对于D选项，由于

a2+/-2H?=(a-Z?y之o,故。2+〃之2",正确.故选D

9.(2022届四川省攀枝花市高三5月统考)已知函数/(刈=€,+b-28$巴若不相等的实数4力,。成等比数歹1」,

〃+「

/?="(号),S=/S),7=/(0),则R、S、T的大小关系为()

A.R<S<TB.T<R<S

C.S<R<TD.T<S<R

【答案】D

【解析】y=e*+ef,y=8sx均为偶函数,故函数f(x)为偶函数，

/'(x)=e*-e«+2sinx,令g(x)=e*-e«+2sinx,g'(x)=e*+e-v-2cosx,

e'+e「.2>/^F=2-cosxe“1,l],.,.g'(x)..O,故g(x)单调递增，即/(x)单调递增，

又•尸(0)=0,...在(0,y)上/''(x)..0恒成立，故在(0,+8)函数f(x)递增，且/(0)=0,

故函数在(-oo,0)递减，在(0,+8)递增,且函数/(X)..0恒成立，。功,C成等比数列,.•0=ac

当a.c均为正数时一，由均值不等式有：a+g晟2屹|,①，

当C均为负数时，由均值不等式有：a+c=-[(-a)+(-c)l,-2疝=-2|回，②，

由①②有：|专|…SI.又.互不相等，故专>|以，故/(等)>/3)>/(0),

:.T<S<R,^&D.

10.(2022届江苏省泰州市靖江市高三调研)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”

作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和">"符号，并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等

式的发展影响深远.若a>0,6>0,则下面结论正确的有()

149

A.若—F—=4,则4+2N—

ah4

口\la2+b2-Jl

〃+b2

C.若a+b=2,则必有最大值1

D.若就+从=2,则a+b24

【答案】AC

【解析】因为a>0,6>0,若:+，4厕a+b=*+/心+4=；(5+3+扑[+2哙耳卜\,当且仅当

”半且，+2=4.即1时取等号,A正确；

ahah42

因为当£之(甲J,即行否2日(a+3,当且仅当a时取等号，

所以‘"+"22也,B错误;若a+b=2,则"d字丫=1,当且仅当。=6=］时取等号,c正确;

a+b2＜2）

若而+廿=2,则“二?一。〉。,解得0＜人＜血，所以a+6=?＞0,D错误.故选AC.

bb

（三）利用基本不等式求参数范围

X

IL

（2侬届山西省吕梁市高三核心模拟）“玉＞。,使得Z中？成立，，的充要条件是（)

A.a<-B.a>-C.aW-D.a>—

3322

【答案】A

x

【解析】玉＞O,aW，等价于aW

x2+x+\

x1I1

---------------、-----=^=-=-

又f+x+11+%+£1+2FT3,当且仅当x=I时等号成立,

=：,故故选A.

max°3

12.（2022届上海市复兴高级中学高三4月自我定位检测）已知芯＞0,已＞0,〃=曰+人。=丁学+孙+/,

c=四国.若。力,c构成三角形的三边，则m的取值范围是.

【答案】（2-后2+6）

【解析】若a,b,c为三边可构成三角形，则A+c＞a.目.。+Z?＞c成立，即yjx2+xy+y2+my［xy＞x+y,且

x+y-yjx2+xy+y2

x+y+^jr+xy+y2成立，即桃〉成立，而

2

x+y-yjx+孙+;/1,令〃=1+32,

R=

则灭=〃一，—1=---1、11,易知在［2,+oo）上递减,

w+Vw-1

所以R=〃—\Ju2—1<2—V3，所以机>2—^3.

又小》尸碎五成立，而、+产学^孙+y72历歹=2+3

gyjxyy/xy

当且仅当x=y时，等号成立,所以机＜2+百；所以2-6＜机＜2+石.

（四）基本不等式在其他知识中的应用

13.（2022届重庆市中学校高三下学期月考）己知生,0为平面的单位向量,且其夹角为手，若

"乌+民卜&（x,yeR）,则2x+y的最大值为（）

A.2上B.2夜C._布＞D.-2百

【答案】B

【解析】在等式Rxq+yej=&两边平方得.[2咫+丹2『=4/+y2+4xyq-e?=4x2+y2-2xy=2,

所以（2x+4-2=6xy＜3（笥？＞=3（2x；y）2，得42x+y42&,当2x=y=夜时，满足题意,

故选B

14.已知点尸为抛物线V=4x上一动点,A。,。）,8（3,0）,则N4P3的最大值为（）

【答案】B

【解析】根据抛物线的对称性，不妨设P（x,y）（y＞0）,若x=l,则2（1,2）.|?川=2,|四|=2,所以

tanZAPS=|=l=>ZAPfi=^;若x=3.则PB|=J40=2,所以

tanZAPB=-4==—=>ZAPB=-;若xw1且XH3,此时）w2且y*26,

2>/336

y____y_

%二=弋,所以tanZAPB=X-32y

Ix-31+』.yx2-4x+3+y2

x~3x—1

_2y_2_2<_______2_______=

因为y2二叔,所以tanl3111，则

16'16'y16'yyy\16?yyy

0<ZAPBV；,当且仅当另3=J.=y=2时取“=”，

416y

TT7T

而"2,所以。＜ZAM〈“综上：旃的最大值为“故选B.

三、最新模拟练

22

15.（2022届安徽省宣城市高三下学期第二次调研）已知正实数〃力满足2〃+匕=4,则一+7的最小值是

a+2b

993夜

应

A-十4C-+

4B.2D.4-2

【答案】D

［解析】设x=a+2,y=0,则a=x_2,/?=y,故2x+y=8,其中x>2,y>0,

当且仅吟wny=VIrnx=4（2-0）,y=8（忘-1）时等号成立,

此时x>2,y>0满足，

故焉+；的最小值为:（6+40）=5+],故选D.

16.（2022届湖北省十堰市高三4月月考）函数/（x）=6+（+击的最小值为（

）

A.4B.2&C.3D.472

【答案】A

【解析】因为⑹+*2停=2x2\当且仅当16,=/，即x=0时等号成立,

2x2，+击=2x2，+924=4,当且仅当2x2，=*即x=0时等号成立，

所以,f（x）的最小值为4.故选A

17.（2022届安徽省“皖南八校”高三下学期第三次联考）已知tanatan尸=1,则cosecos尸的最大值为（）

A.；B.-C.—D.—

2424

【答案】A

【解析】'**tancrtan/7=1,sinasin=cosacos/7,

2222

/m2..Q“sina+coscrsin>?+cos/71/也口e小

/.（cosacosp）=sinacosa-sinpcos----------------------------------------=—=>cosacosp<—.（当JI仅当

tana=tan4=1时等号成立），故选A.

18.（2022届广西南宁市高三第二次适应性测试）已知〃?>0,”>0,命题。：2机+/1=〃?〃,命题4：根+〃23+2夜,

则p是4的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析]因为相由2m+〃=得—I■—=1，贝ijm+n=（m+〃）—H—=3H-----n—•3+2>/2,

mn\rnn）mn

n_2m

当且仅当，二一丁，即%=应+1，〃=2+0时取等号，因此

2nl+〃=inn

因为加>0.〃>0,由机+〃23+2夜,可取加=l,"=10，

则2m+〃=12,〃”?=10,此时2«7+〃h〃?”，因此夕4P,

所以P是4的充分不必要条件.故选A.

19.（2022届黑龙江省哈尔滨市高三下学期第三次模拟）己知x,y都是正数，且x*y,则下列选项不恒成立的

是（）

A.B.—+—>2

2yx

【答案】D

【解析必，都是正数，由基本不等式,苫八向（+已2,奈忘患=而,这三个不等式都是当且仅当

x=y时等号成立,而题中xxy,因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立：

口+,22中当且仅当个=1时取等号，如x=!，y=2即可取等号,D中不等式不恒成立.故选D.

孙2

20.（多选）（2022届广东省韶关市高三综合测试）已知10"=2,贮嚏5则下列结论正确的是（）

A.a+2b=\B.ah<-

8

C.ab>lg22D.a>b

【答案】ABC

【解析】由题可知a=lg2,6=；lg5=lg石，又石>2,所以a<b,D错误；因为10".IO?"=io"+2〃=1（）,有

a+2b=\.所以A正确；由基本不等式得a+2822同，所以仍当且仅当时，取等号；又因为

a=lg2,26=lg5,所以，故必<：,B正确；由于。=电2>0为=1g有>怆2,所以而>lg22c正确.故选

8

ABC.

21.（2022届江西省萍乡市高三二模）已知函数〃x）是R上的奇函数，且〃x）=x3+3x,若非零正实数机〃满

足/（〃?—2〃加）+/⑺=0,则—+-的小值是.

mn

【答案】2

【解析】因为函数“可为奇函数，可得/（—x）=-f[x）,

由/(〃Z—2/M+F(")=0,可得/(m-2,加)=-/(〃)=/(-"),

乂因为〃x)=V+3x,可得/'(x)=3x2+3>0,所以函数/(x)为单调递增函数,

所以〃2-2mn=一〃.即+〃=2mn，即一+—=2,

mn

1111I、，、1小〃机、、1小八Intn、八

贝MlUl—i—二—z•（—i—）（加+〃）=—•（2H1—）2—•（2+2、----）=2,

mn2mn2mn2\mn

当且仅当即加=〃=1时，等号成立，

mn

所以_L+_L的小值是2.

mn

22.（2022届广东省潮州市高三下学期二模）设函数/（力=手；,点4（〃,/（叫（〃€通）在〃》）图象上，

4+64

点4为坐标原点,设向量i=（1，0）,若向量a“=AM+A4++AiA，且必是£与，的夹角，则tan，的最大值

是.

【答案】72

16

【解析】由向量的线性运算，得=44+A4++A,-,A,=44，

因为点4黑在函数/（、）=直为的图象上，

4为坐标原点，向量：=（1,0）,6,是£与，的夹角,

\

所以=「2"2"+%2疯16.

4"+64X

（当且仅当2"=詈64，即”=3时取等号），即tan4的最大值是I白.

216

23.（2022届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试）已知x、yeR,且2'+2'=4,给出下列四个结

论：

①x+y<2；②孙21；③2*+y43；@4'+4V>8.

其中一定成立的结论是（写出所有成立结论的编号）.

【答案】①④

【解析】对于①,•••2,>0,2>>0,

二由2"+2'=4得,4=2*+T>2$2*-2y=2万7,

即422历，解得x+y<2（当且仅当x=y=l时取等号），故①一定成立：

对于②，当x=0,y=log23时,2'+2'=4成立，但x”1不成立，故②不一定成立；

对于③,当y=g时，由2*+2〉=4得2*=4-忘，

则2*+y—3=4-&+g-3=g—&>0,即2*+y>3,故③不一定成立；

④将2*+2>=4两边平方得4*+4，+2*+刈=16,

xvv+y+,

二4+4=16-2,

由①可知：x+y42nx+y+143n2**刈<23=8=>-2t+y+l>-8

=16-2”刑216-8=8,

.•.4，+4）28,当且仅当*=〉=1时取等号,因此@一定成立.故答案为①④.

四、高考真题练

22

24.（2021新高考I卷）已知小鸟是椭圆C：5+?=l的两个焦点，点〃在C上,则|加不.|屿1的最大值

为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】£,尸2是椭圆C:、■+?=1的两个焦点，点M在C匕|时用+15|=6,

所以|A/片|.|帼|（改上士返彳=9.当且仅当|=|ME|=3时，取等号，

所以|〃耳卜|肥耳|的最大值为9.故选C.

25.（2020新高考山东卷）11.己知。>0力>0,且。+%=1,则（）

A.a2+b2>-B.2--b>-

22

c.log,«+log2Z>>-2D.4a+\/b<y/2

【答案】ABD

/-I、2]]

【解析】对于A,tz2+Z;2=a2+（l-6z）2=2a2-2a+\=2a——,

'，I22

当且仅当a=〃=L时，等号成立，故A正确；

2

对于B,。=加一1>一1,所以2"“>2一|=1，故B正确；

2

对T'C,log2a+log2b=log2ah<log2-------=log2—=-2,

\2J4

当且仅当a=b=L时，等号成立，故C不正确；

2

对于D,因为（6+北『=1+2«^<1+4+方=2,

所以&+振Wx/5,当且仅当a=b=；时，等号成立，故D正确：故选ABD

五、综合提升练

26.（2022届新疆高三第二次适应性检测）实数x,y,z分别满足log^%=—,21'=22,20：=21,则》，V,z的

2021

大小关系为（）

A.x>>>zB.x>z>yC.z>x>yD.y>%>z

【答案】B

22

【解析】由题意得,y=log2122,z=log2021,则

1g21lg22lg221-lg20-lg22

z-y=log21-log22=

202llg20lg21—一lg20.lg21

因为lg20/g22<g(lg20+lg22)=(|lg440

所以城21g20.叱121-2440)回+蓊可回小时海

lg201g21>lg201g21-lg201g21

所以z>y,

设/(x)=—，则/(X)=匕毁，当X6(e,+8)时J'(x)<0,所以f(x)在(e,+8)上单调递减，所以

X厂

/(21)</(20),即电包〈生型，所以201n21<211n20,

2120

2|21

所以ln2P<ln2(P,所以2产<202',所以2]<20次所以¥>1°g2o21=z,

22

因为X=(且¥>>里,所以x>z,所以x>z>y,故选B

U0J20

27.（上海市中学高三下学期期中）设AM为_ABC中BC边上的中线，且AP=PM.若NBAC*,BC=2,

则PBPC的最大值为

【答"

【解析】PBPC=(AB-AP\(AC-AP]®

"为8C中点，尸为AW中点(由AP=PM得至IJ)

AP=-(AB-^AC),代入①式

4、

A8+AC、

得尸3PC二AB_^AC}•AC-

4A

—AB1-—\Acf+-AC-AB

1616l18

又AB-AC=kBHAC|-cosA=kBHA4cosq=J~U~~

代入得瓯无啕河阿舄阿-得阿

由余弦定理,cosA=n得b2+c2=be+4,\AB\=c,\AC\=b,\BC\=a

:.PB-PC=-—(b2+c2}+—-bc=-—(bc+4]+—bc=~~-

16v71616'71684

由b24-c2=bc+4结合基本不等式得bc+4=/+c2..2bc

所以历44

当且仅当b=c=2取等

131311

PB-PC=-/?c--<—x4--=--PBPC最大值为一:

848444

28.(2022届江西省八所重点中学高三4月联考)已知正数满足

：=个一氏2=(x+y)(J12-x2+J12_y2),则z的取值范围是.

【答案】(6+6/,120]

【解析】由三+“=---6可得:f+y2+&=6,因为x>0,y>0,以及炉+,2>2xyy

y工个

可得0V孙K3(2-0),故Z?=(/+y2+2盯)[24-(f+y2)+2

=(6+(2—码同[(2+夜)孙+18+120]

=2/>2+(12夜+24)町+108+7272,

令冲一则对0,3（2-夜））,

乂y=2产+（120+24》+108+72也在（0,3（2-啦））单调递增,

故可得36（3+2码<z2«288.于是6（夜+1）<Z412亚

29.（2022届内蒙古赤峰市高三模拟）已知“8C为非直角三角形，鬻=cos（A+3）.

（1）证明：上吆=一2

tanB

⑵求cosA的最小值.

sinA

【解析】⑴.•.^=COS(A+B),A+B+C5

sin(B+C)=-sinBcosC,sinBcosC+sinCeosB=-sinBcosC,

/.cosBsinC=-2sinBcosC.

又丁A3c为非直角三角形,

/.tanC=-2tanB.

(2)由^^=cos(A+B),4+8+C=TT,得

sinB

sinA=-cosCsin8及正弦、余弦定理，得

a=一一/.3a2+尸=/，即a2c2-b2

lab3

22

,22C~b破2

»2.220+C-------------------------------1-----22

,b+c-a333厂2h+c2y/2bc2>/2.

cosA=--------------=---------------------=-------—=----2--------