山东省烟台市2022-2023学年高三年级上册期末数学 含解析

2022-2023学年度高三第一学期期末学业水平诊断

数学试卷

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区

书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求.

1.若集合〔>>,II，，则A()

A.{x[0<x<l}B.1x|O<x<C.{x[O<x<2}D.{乂O〈x<2}

【答案】D

【解析】

分析】分别求出集合43,求出交集即可.

[详解]A={x|y=«}=[0,+8),

X?-x—2<0(x+l)(x—2)<0,-1<x<2

故8=卜苗7_2<0}=(_1,2),

r.Ac8={x|0<x<2}.

故选：D.

2.已知“，heR,则“。>6”的一个充分不必要条件为()

A.a2>b2B.lna>ln/?C.—>—D.2">2'

ba

【答案】B

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，利用特殊值法判断AC,利用对数函数的单调性和定义域判断

B,利用指数函数的单调性判断D即可.

【详解】选项A：取a=—2,b=\,满足。2>/,但不成立，A错误；

选项B：由对数函数的定义域和单调性可知若Ina>lnZ?,则。>6；若Ina,In。可能无意义，所以

lna>lnb是“〉万的充分不必要条件，B正确;

选项C：取a=-2,b-\,满足但a>b不成立，C错误；

ba

选项D：由指数函数的单调性可得若2">2"，则。>分；若a>b,则2">2"，所以2">2"是”>人的充

要条件，D错误：

故选：B

3.过点（0,3）且与曲线y=d—2x+l相切的直线方程为（）

A.x-y-3=0B.x-y+3=0C,x+y+3=0D,x+y-3=0

【答案】B

【解析】

【分析】设切点坐标，利用导数表示出切线斜率，得到切线方程，代入切线过的点，求出未知数即可得到

方程.

【详解】由y=/-2x+l,则y=3_?-2，

设切点坐标为（飞，玉）3-2%+1），则切线的斜率左=3々；一2,切线方程为

x2

y~（o~2%0+1）=（3x0—2）（x—拓）,

由切线过点（0,3）,代入切线方程解得飞=-1,则切线方程为y-2=x+l,即x-y+3=0.

故选：B

4.米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、

粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为3（）cm、20cm,

侧棱长为5jHcm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，

A.6.6千克B.6.8千克C.7.6千克D.7.8千克

【答案】C

【解析】

【分析】计算出米斗的高，进而可求得出该米斗的体积，结合题意可求得该米豆所盛大米的质量.

【详解】设该正棱台为ABCD—4耳GD,其中上底面为正方形ABCD,取截面A4CC，如下图所

易知四边形441GC为等腰梯形，且AC=30五，4G=20E，44=。0=5布,

分别过点4、G在平面A4GC内作AELAC,QF1AC,垂足分别为点£、F，

由等腰梯形的几何性质可得A4,=CG，又因为NAAE=ZC,CF,NAE4,=ZCFC,=90,

所以，RtAA^^RtACC.F,所以，AE=CF,

因为4G//AC,易知NE4G=NAM=NEFC]=ZA,CtF=90,

lAC-EFr-

故四边形为矩形，则"=AG=2O0,=b一=5V2,

所以，4E=炉=15,故该正四棱台的高为15cm,

所以，该米斗的体积为V=；x(202+3()2+A/202X302)X15=9500cm3,

所以，该米斗所盛大米的质量为9.5x0.8=7.6kg.

故选：C.

y2

5.设AB分别为椭圆C:，+l(a>0>0)的左顶点和上顶点尸为C的右焦点，若尸到直线A3

F

的距离为方，则该椭圆的离心率为()

A.包B.73-1C1D.V2-1

2-2

【答案】A

【解析】

【分析】根据椭圆的标准方程得到A,3,f的坐标，再利用两点式可得到直线AB的方程，结合点到直线的

距离公式和椭圆的离心率求解即可.

【详解】由题意可得A(-a,0),5(0,6),F(c,0),

所以直线A3的方程/为T=整理得ay-法一。力=0,

0-b-a-Q-

\-cb-ah\cb+ab

所以尸到直线AB的距离d=j丁（京",所以9+。=，/+/①,

/a2+b2

又因为椭圆中a2=/+c2②，e=£③，

a

-1±V3

所以联立①②③得2/+2e—1=0,解得e

2

又因为e>0,所以e=Yl二1,

2

故选：A

6.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作

一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知4B=2，P为

弧AC上的点且NP5C=45°,则8RCP的值为（）

A.4—>/2B.4+V2C.4—25/2D.4+2及

【答案】C

阿斤】

【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解.

【详解】

以8为坐标原点，BC为X轴，垂直于BC方向为y,建立平面直角坐标系,

因为NPBC=45°,m=2,所以P(2cos45,2sin45),即尸(虚,0),

且B(0,0),C(2,0),所以8尸=(©夜),CP=(0-2,何,

所以BP-CP=2-20+2=4-20，

故选:C.

7.过直线2%-〉+1=0上一点「作圆（%—2）2+丁=4的两条切线24,PB,若PAPB=O，则点P

的横坐标为（）

33D.+巫

A.0B.—C.±—

55一5

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得，△P4C三△PBC,则|A4=AC=2,俨。|=正+22=2及，设尸(a,2a+l),

由两点间的距离公式代入解方程即可得出答案.

【详解】如下图，过直线2x-y+l=0上一点p作圆（x—2p+y2=4的两条切线Q4,PB，

设圆心C（2,0）,连接AC,CB,PA±AC,PBA.BC,

可得△PACM^PBC,PAPB=。，则NAPC=NBPC=45°,

所以|R4|=|AC|=2,所以|PC|=j22+22=2a,

因为点P在直线2x-y+l=0上，

所以设P（a,2a+1）,C（2,0）,

1Pq=J（a—2y+（2a+l）2=2血，解得：。=±半.

故选：D.

42x-y+l=0

TT

-8sinx,---W工(0

8.己知定义在R上的函数/（x）满足：/卜一^）为偶函数，且/（力=<2;函数

—>0

^(x)=lgx+—,则当xe[-4»,3句时，函数y=/(x)-g(x)的所有零点之和为()

A-7"B.-6兀C.------D.-3%

2

【答案】A

【解析】

【分析】由题意画出/(x),g(x)的图象，由图知，/(x),g(x)均关于％=对称，/(x)，g(x)有14

个交点，即可求出函数y=/(x)-g(x)的所有零点之和.

【详解】因为—为偶函数，所以/(X)关于x=-1对称，

所以当一匹0)时，/(x)=-8sinx,

当工£(0㈤时，工一乃£(一匹0),/(x)=g・[-8sin(x-〃)]=4sinx,

当兀,2兀)时，彳一万£(0㈤,"X)=g(4sin(x-»)]=-2sinx,

当了£(21,3»)时，x-兀£(兀,2兀),/(x)=^-[-2sin(x-^)]=sinx,

当—乃,0)时，工+乃£(0,"),/(x)=^-[-8sin(x+^)]=4sinx,

函数g(x)=igx+g为y=ig|x|的图象向左平移3个单位,

/(x),g(x)的图象如下图所示,

/。)送(6均关于彳=一/对称，/(x),g(x)有14个交点，

所以函数y=/(x)-g(x)的所有零点之和为：7{-5x2)=-74.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中（)

B.AB//平面AC2

与平面AB、C所成角的正弦值为且

C.48与cq所成角为60。D.

3

【答案】BC

【解析】

【分析】利用ABHCD、即可判断A,B选项，证明.Bg为正三角形即可判断C,建立空间直角坐标系,

利用空间向量法求出线面夹角的正弦值即可.

【详解】将展开图合成空间图形如下图并连接AD1,CD,,AC,8Q,

•;AD,//AD,A,D,=AD,AD//BC,AD=BC,

AD/BC,4。=BC,四边形A,BCR为平行四边形，ABHCD\,

若AB"C'D,则C"〃G。，显然不成立，故A错误,

aBHCD\,CD,u平面ACD},A8Z平面ACR,

.••48〃平面4。2,故B正确,

设正方体棱长为i,则℃=C4=4A=0,故一qc。为正三角形,

故NBC9=60",而45〃C。，...48与C4所成角为60',故C正确,

以。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为1,

则A(l,0,0),C(0,1,0),与(1,1,1),4(1,0,1),8(1,1,0),

则AC=(-1,1,0),儆=(O,l,l)，A5=(O,l,-l),

ACm=Q

设平面ABC的一个方向量=则，

''[A]B-m=0

一x+y=0

即〈.八，令y=l,则x=l,z=-l,则根

y+z=0

设AB与平面A4c所成角为a,

,.m-AtB

则sina=cos（m,AB）=­---厂?厂=,故D错误.

'/可n取6x03

故选：BC.

10.已知函数/（%）=5皿%—4（305%（4€«.）的图象关于直线》=一看对称，则（）

A./（X）最小正周期为2兀

JTTT

B./（x）在一上单调递增

C./（力的图象关于点（方,0）对称

Ojr

D.若）+"w）=0,且/'（X）在（玉,当）上无零点，则k+q的最小值为彳

【答案】ACD

【解析】

【分析】由/（0）=/上热解得a=JL求出/（x）=2sin[x-1）由T=2兀可判断A；求出x—1

的范围，根据正弦函数的单调性可判断B；计算/(三)=0可判断C；2sin(七一三)=一2411］々一三

可得内一§=—*2+Q+左兀或内—§=—工2+§+兀+E，可得I3+的最小值为可判断D.

【详解】因为函数/(x)=sinx-acosx(aeR)的图象关于直线*=一四对称，

6

所以/(0)=/(_三)，即_Q=sin(-；卜acos(_；),解得”=百，

c1.

f(x)-sinx-y/3cosx=2—sinx-——COSX

22

\

且/2sin泻7,

对于A,T-2n,故A正确;

1.71717兀12,712.7兀17i1t

对于B,XG--,所以x——丁‘°'因为y=sinx在xw—飞,-3上单调递减，在

3332

71

xe--,0上单调递增，故B错误；

对于C,/f^=2sinf^--y1=0,故C正确;

对于D,若/(玉)+/(%2)=0，则2sin|x-^J=-2sin[x2-^)=2sin|-4+1

71兀，、.兀兀r

可得%—~=—%2+§+4口或者X—§=—x,+§+兀+4"，女eZ,

27r.__5兀.

%+%=可+%兀或%+%=耳+E，KeZ,

2JT

且/'(x)=2cos的半周期为兀，在(％,W)上无零点，则|%+&|的最小值为丁，故D正确.

故选：ACD.

11.已知a>0,6>o,且。+a=1,贝I()

,/11」,

A.ab<—B.—1-——->4C.sina~+2b<\D.In6/-e^<-l

8a2b+l

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据均值不等式和常见的不等式放缩即可求解.

【详解】。>0,Z>>0,且a+2/?=l,

所以加7=」人28竺]=]，故选项A正确；

22(2J8

fl1]卜贵)["侬+1)]If2HlaJ

>V2+r

[a2b+\)221a2b+\)

故选项B错误；

要证sina2+2b<l>

证sina2<l—2b>

即证sina2<a,

由a>0,b>0,且a+2〃=l,知0<a<i,

22

所以/(a)=a-sina2>a-sin«>0,

故选项C正确；

要证Ina—e^v—l，

即证lna+1<e"T，

因为InxKx—1<x<x+1<e*，

所以lna+l<a<ea~'>

前后取得等号条件分别是a=0和a=1,

所以不同时取得等号，故D选项正确；

故选：ACD.

12.已知过抛物线C:y2=4x焦点F的直线/交。于4,3两点，交C的准线于点其中B点在线段

AM上，。为坐标原点，设直线/的斜率为A,则()

A.当％=1时，AB=8B.当攵=2正时,忸叫=陷

C.存在k使得ZAOB=90D.存在k使得乙403=120°

【答案】ABD

【解析】

【分析】特殊值法分别令4=1和女=2近代入直线/，再由抛物线的定)认过抛物线的焦点的弦长

|AB|=X|+X2+P,选项得解，由ZAOB=90，则。4-08=玉々+乂％=°，联立方程组，结合韦达

定理，可判断选项C,若Z4OB=120°,cosAAOB=.OAOB；.=-1联立方程组结合韦达定理，可判

\OA\-\OB\2

断选项D.

【详解】对于选项A.当k=l时，过抛物线丁二叔的焦点F(1,O)的直线方程为：y=x-1,设该直

线与抛物线交于4(%,弘)，B(与，必)两点，

y=x-l

联立方程组424，整理可得：f一6工+1=0,则百+々=6,

y=4x

由抛物线的定义：|45|二芯+々+〃=6+2=8,故A正确.

对于选项B.当k=2y[2时，过抛物线y2=4x的焦点F(l,0)的直线方程为：y=2j，(x—1),设该

直线与抛物线交于A(%，x),两点，

联立方程组|>=20(x—1),整理可得：2/—5犬+2=0,则内=2,&=,，则氏+&=2，

y=4x22

所以4(2,2血),8(；,—夜),由抛物线的定义：|AB|=x+/+p=g+2=g,

又因为直线y=2j5(x—1)与抛物线的准线尤=一1交于点M(-1,-472),

则忸M=+(-4及+及)2=|,即故B正确.

对于选项C.设过抛物线V=4x的焦点尸(1,0)的直线方程为：y=I)与抛物线交于

),巩声,必)两点，联立方程组\2_4x，整理可得：

、y

/九2-(2&2+4)尤+公=0,则玉+尤2=2+W，玉冗2=1，

=/(%T)(WT)=公[中2—(王+工2)+1]=%2(1_2-\+1]=一4，

所以玉w+y%=1-4=一3.若ZAOB=90,则。4-。8=%%+%%=。，故不存在左，使得

ZAOB=90，故C不正确.

对于选项D.设过抛物线>2=4》的焦点尸(1,0)的直线方程为：y=《(x-1)与抛物线交于

A（^,yI）,B（x2,y2）两点,

<H"-D，整理可得：标(2公+4卜+々2=0,则%+々=2+二,七工2=1，

联立方程组

y=4xk

=长（与22

y%-1）（^-1）=/:[X1X2-（XI+X2）+1]=A:H-2--^-+lU-4,

若NAO8=120°,因为。4.O8=g+y%=—3,Cos4。*器僚广即10Al-|。3|=6,

则（6+犬）（¥+£）=36,即：储+4%J（x；+4马）=36,可得：为刍&+4）（/+4）=36,

lx(l+8+工+16)=36,解得：父=甘,解得:

即：%工2[工1工2+4（X+9）+16]=36,则

k=土巫

11

故存在k使得ZAOB=120",故D正确；

故选：ABD.

【点睛】本题考查了抛物线与直线方程的位置关系，解方程组，焦点弦的应用，对与本题，运算能力,

数形结合思想是关键，属于较难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知2"=3"=6，则工+4=.

ab

【答案】1

【解析】

【分析】

首先利用指数和对数互化得到。=bg26,^=log36,再利用换地公式即可得到答案。

【详解】由2a=3"=6可知a=log26,b=log36,

所以，+?=log62+k)g63=log66=l.

ab

故答案为：1

14.已知向量〃=(sinacos。)，Z?=(3,l),若a〃b、则sin?。+sin2。的值为.

3

【答案】一

2

【解析】

【分析】根据题目条件可得sine=3cos6,代入sii?6+sin26=出二丝刎丝尔化简即可.

sin?。+cos?6

【详解】已知向量a=（sinacos。），Z?=（3,l）,若“〃〃，则有sin6=3cos。，

.._・sin?e+2sin6cos69cos2^+6cos20153

••sin2_0+sin20=--------；--------=----------—=——=一.

sirr，+cos~69cos2cos-0102

3

故答案为：一

2

15.“0,1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A是一个“0,1数列“，定义数列

/（A）：数列A中每个0都变为力，0,1”,A中每个1都变为“0,1,0”，所得到的新数列.例如数列A：

1,0,则数列f（A）：0,1,0,1,0,1.己知数列A：1,0,1,0,1,记数列=/（4）,k=T,2,

3,则数列A4的所有项之和为.

【答案】67

【解析】

【分析】根据题意，依次讨论A，4,4，A4中o与1的个数，从而得解.

【详解】依题意，可知经过一次变换/（A）,每个1变成3项，其中2个0,1个1；每个0变成3

项，其中2个1,1个0,

因为数列A：1,0,1,0,1,共有5项，3个1,2个0,

所以&=/（4）有5x3项，3个1变为6个0,3个1；2个0变为4个1,2个0；故数列为中有7个

1,8个0；

A=/'（A2）有5x32项，7个1变为14个0,7个1；8个。变为16个1,8个0；故数列A3中有23个

1,22个0；

A=.f（A）有5x33项，23个1变46个0,23个1；22个。变为44个1,22个0；故数列中有67

个1,68个0：

所以数列A的所有项之和为67.

故答案为：67.

16.在直四棱柱A3CO-ABC。中，底面ABCZ）是边长为1的正方形，侧棱A&=2,M为侧棱BB1

的中点，N在侧面矩形ADD|A内（异于点。），则三棱锥N-MC。体积的最大值为.

W=旧山，

max62

故答案为：y

【点睛】关键点睛：利用空间点到平面距离公式是解题的关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在一ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,h,c,且acosC+csinA=/?.

（1）求A；

（2）AD=2DC，BD=3,求一ABC面积的最大值.

【答案】（1）A=：

4

627（-+1）

8

【解析】

【分析】（1）由acosC+csinA=8,利用正弦定理结合两角和的正弦公式，得到

sinAsinC=cosAsinC求解.

（2）利用余弦定理结合基本不等式得到A"A。wKlEl，再利用三角形面积公式求解.

一2

【小问1详解】

解：由正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sin3,

因为A+B+C=i,

所以sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）,

即sinAcosC+sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

整理得：sinAsinC=cosAsinC,

因为0<。<兀，所以sinCwO,

所以tanA=l,

因为0<A<TC,所以A=二.

4

【小问2详解】

在△ABO中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA

即9=AB2+AZ)2-夜

整理得,48,4ZJW、），当且仅当A6=AO时，等号成立，

2

△AB。2444

因为4D=2DC，

327（V2+1）

所以q=—S<、______L，

-24ABD一g

所以.ABC面积的最大的为27（>+l）.

8

18.已知数列｛4｝和也｝的各项均不为零，S,是数列｛叫的前〃项和，且4=2%=2,anan+i=2S„,

粼也用，〃eN*.

（1）求数列｛为｝和也｝的通项公式；

（2）设c“=a,/,,求数列｛c,｝的前〃项和7；.

【答案】（1）a,,=n,bn=2"

（2）7；,=（H-1）X2,,+I+2

【解析】

【分析】⑴由用=2S,,得出数列｛对｝的特征求出通项，由0。=%,,得出数列出｝的特征求

出通项公式.

（2）由数列｛c“｝的特征，运用错位相减法求前〃项和

【小问1详解】

因为=2S,（〃eN*）,所以an_xan=2S„_,（H>2）,

两式相减得an（4+1—a,i）=2a“（n>2）.

又因为4力0,所以-4T=2（〃22）,

所以数列｛4,1｝和｛4“｝都是以2为公差的等差数列.

因为4=1,所以在44+1=2S〃中,令〃=1,得电=2,

所以=1+2(〃-1)=2〃-1,生〃=2+(〃—1)x2=2〃,

所以a“=〃.

对于数列｛4｝,因为%=伉也=2",且内产0,所以，iJZSeN*),

所以数列｛仇｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2=2".

【小问2详解】

由c“=a»”=〃-2"，

有T"=1X2+2X2~+3x2，+...+〃x2",

27；,=1X22+2X23+3X24+.+(〃-1)x2"+〃x2””，

no〃+i

两式相减得，—(=2+22++2"_〃x2"i=—〃x2"+i=-2—(〃—l)x2"+l

所以<=(〃-1)X2"M+2.

19.如图，_A8C是以BC为斜边的等腰直角三角形，△8C。是等边三角形，BC=2,AD=>J1.

A

(1)求证：BCLAD-.

(2)求平面的与平面BCD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

力3回

31

【解析】

【分析】(1)取中点。，在_ABC与△88中分别得到。4,5C,OD±BC,根据线面垂直的

判定定理及性质定理即可证明；

(2)在△AQD中，利用余弦定理可得NAO£>=150°,以04,0B及过。点垂直于平面ABC的方向为

x,九z轴的正方向建立空间直角坐标系。一个z,求出两个平面的法向量即可求解.

【小问1详解】

取BC中点。，连接OA,0D,

因为一A5C是以8c为斜边的等腰直角三角形，所以。4LBC.

因为△8C。是等边三角形，所以。。±BC.

OA07）=0,Q4u平面A8,OOu平面AOD,

所以BCJ,平面AOD.

因为AZ>u平面A8,故BC_LAQ.

【小问2详解】

在△AOO中，AO=1,0D=5AD=币，由余弦定理可得,

cosZAOD,故ZAOD=150°.

2

如图，以。4,。8及过。点垂直于平面ABC的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系。-孙z,

可得^高。孝(35.ULUI

,所以50=--,-1,^-,Cfi=(0,2,0),AS=(-1,1,0),

I22J

设”=（5,X,Z］）为平面ABD的一个法向量,

-玉+

n-AB=OX=0

则〈，即«3工0一二

n-BD=0一万玉f+彳4=o

令》=百，可得"=（6,百,5）.

设〃?=（/,%，Z2）为平面BCD的一个法向量,

2y2=。

m-cn二u

则〈一建-%+旦2=0，

m•BD-0

令占=6，可得加=(6,0,3).

GrN/\3+0+153回

'/731x71231

故平面43。与平面BCO夹角的余弦值为名医.

31

ZA

20.某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，

该容器的体积为史竺立方米，且/26厂.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面

3

的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为根（加＞2.25）千元.设该

容器的建造费用为V千元.

（1）写出了关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的建造费用最小时的r.

【答案】（1）y=3万（加―1）产+丝区，（）＜r＜2（2）见解析

【解析】

【分析】（1）由圆柱和球的体积的表达式，得到和厂的关系.再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表

达式中的/用/表示，并注意到写定义域时，利用/之2r,求出自变量厂的范围.

（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0,2］中，极值末必存在，将极值点在区间内和在区

间外进行分类讨论.

【小问1详解】

2

设该容器的体积为V,则丫=乃//+—4/，

3

又丫=图乃，所以/1602

3

因为/26厂，所以0<rW2.

所以建造费用y+3兀』171,

因此y=3万（巾一1）/+240",0<r<2.

【小问2详解】

由（1）得y=6乃（加一l）r----=————-Ir------1,0<r<2.

9

由于加>一，所以〃2-1>0,

4

即〃?>6,当时，y>0,

y(r)为增函数,此时r也是最小值点.

若:旦22,即g<mW6,当re(O,2］时，/<0,y(r)为减函数，此时厂=2是y(r)的最小值点.

V-14

9/40

综上所述，当一<m<6时，建造费用最小时尸=2；当机>6时，建造费用最小时r二；——.

4Vm-1

22

21.己知双曲线C：2■一方=1(4>01>0)的焦距为26，A,8为。的左、右顶点，点尸为C上异于

A,8的任意一点，满足左八户・原户=；.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过。的右焦点/且斜率不为。的直线/交C于两点"，N,在x轴上是否存在一定点。，使得

DM-DN为定值?若存在，求定点。的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由.

9

【答案】(1)--^2

4

775，。，使得丽・丽为定值得

(2)存在定点。

~8~

阿斤】

【分析】（1）根据心」可得4=工，结合c=有即可求解；（2）利用韦达定理表示出£>〃.ON即

4矿4

可求解.

【小问1详解】

设.,。），蛇,。），始内），则配嗫=铝*合=春=；

22

又因为点尸（3,y）在双曲线上，所以驾一与=1

6rb

于是犬一?=勺¥—〃，对任意恒成立,

b21

所以:=_L,即/=4。2.

a24

又因为c=逐，c2=a2+b2,

2

可得。2=4，6=1,所以双曲线。的方程为土•—：/=]

4

【小问2详解】

设直线/的方程为：x=ty+>/5,〃（％3，%），"（王，%），由题意可知「。±2,

2

X2_]

了一）",消X可得，（/一4）;/+28+1=0,

联立《

X=ty+y[s

则有％+”=31，％”1

-2

t—4?-4

假设存在定点£>（m,0）,

则DM-DN=（%,一机）（/一m）+y3y4=（“3+石一加）（y+逐一根）+y3y4

=（产+1）%%+（百一/"），（%+5）+（有一加『

r+12V5—rnjt,2"-4）r2Y4m2&西〃+19）

一+（6一时

「一4/一4t2-4

7V5

令4机2-