山东省烟台市第一中学2023-2024学年高二年级上册开学考试数学试题

2023-2024学年暑假假期作业检测

一、单选题

L设tan(α+6)=g,»则匕伞+/的值为()

31

x13

C-

I_-D.6

A822

2.在三棱锥P-BC中，〃是平面破上一点，且5两=2PA+廊+而,则，=()

A.1.B.2C.-D.ɪ

3.已知向量el,.不共线，AB=el+e2,AC=2el+8e2,AD=^iex-5e1,则()

A.而与就共线B.万与丽共线

C∙A,B,C9。四点不共面D.A9B9C1。四点共面

4.如图，在三棱柱彳中，E、F分别是宛、CG的中点，G为

四C的重心，则而=()

A.-⅛⅛⅛,1—2—1—

++B.-AB÷—√4C+-AA

332,1

2—1—I—1—2—1—

C.——AB+-AC--AA.D.-AB——AC+-AA.

332,332,

5.已知复数Z满足IWIZ-(I-i)∣≤2,则复数Z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为

)

A.”B.2τrC.3πD.4"

6.如图，在AABC中，已知AB=5,AC=6,=,初.前=4,则荏•就=()

A.-45B.13C.-13D.-37

7.若AASC的内角A,B,。所对的边分别为α,b,c,且满足b-2α+4α∙τl2g2=。，则

下列结论正确的是()

答案第1次

2

Λ.C一定为锐角B,α+2fr2-c2=O

C.3tanA+tanC=OD.tanB的最小值为—

3

&已知向量能了满足同=LB了»2,则B叫的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

二、多选题

9.已知“，A,B,C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使［总,而,比）成为空间

的一个基底的是（.）

A.OM=^OA+^OB+^OCB.MA≈MB+MC

Xɔ*τ

c∙OM=OA+OB+OCD.6OM≈OA+2OB+3OC

10.已知«3,4是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（）

A.存在不全为零的实数X,y,z,使得x5+yB+zU

B.对空间任一向量万，存在唯一的有序实数组（xj,z）,使得7=∕+M+z）

C.在£,b,士中，能与£+否，Z-E构成空间另一个基底的只有Z

D.不存在另一个基底?',从c'},使得。+2力+3：=3+21+3》

11.如图，正方体ABCo-4BGDI的棱长为1,线段52上有两个动点E,F,且EF=；,则

下列结论中正确的是（）

A.EF//平面ABCD

B.直线BC1与平面ABCD所成的角等于ɪ

C.ΔAEF的面积与ABEF的面积相等

D.三棱锥A-BEF的体积为定值

1页，共2页

12.如图，已知二面角C的大小为三，G1H分别是BC,CD的中点，E,F分别在A£）,

4B上,翼=尊=4,且必L平面BCD,则以下说法正确的是（）

zix√zl£/O

A.E,F,G,H四点共面

B.FG//平面ADC

C.若直线FG,HE交于点P,则P,A,C三点共线

D.若的面积为6,则ABCD的面积为3

三、填空题

13.如图，平行六面体抽CD-4BICa中，AB=AD=AAi=2,

o

ZB∕jD=Z5∕L4t=120,ZzM4=60。，则线段∕C∣的长度

14.某单位对全体职工的某项指标进行调查.现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，

其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1,以此估计总体方

差为.

15.如图，在直三棱柱ABC-AiB1Ciφ,AC1BC,AC=2,BC=√3,

CCI=3,则该直三棱柱外接球的表面积为:设P为线段BlC

上的动点，则AP+PC1的最小值为•

16.如图，在三棱锥木块U-ABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=VC=1,点F为

△匕4。的重心，沿过点P的平面将木块锯开，且使截面平行于直线VC

和AS,则该截面的面积为.

答案第2页,

17.(2022•安做单元测试)6如图，直三棱柱ABC-AIBlG中，.4(RBC,AC=BC=CG=2,

N.”分别为4C,BIG的中点.

(I)求证："N〃平面ABBMi;

(2)求直线AB与平面AiBCl所成角的大小：

(3)线段CG上是否存在点Q,使4B工平面“NQ?若存SE,求落若不存在，说明理由.

18.(2021•安徽精选题)已知函数/(6=2阮皿工+3)业1(3-工)+288?(工-3-1,χ∈R

(I)若函数U=∕(H)的图象关于直线工=α(α>0)对称，求α的最小值；

(∏)若函数9(H)=/(ɪ)-l<‰m在网软上有零点，求实数m的取值范围.

■7W

2022-2023学年暑假假期作业检测参考答案

tan(α+外)—tan(3

tan(ɑ+/?)-l)j

【参考答案】【试题解析】解:

1.C1+tan(α÷β)tan(6-ɪj

2.B【详解】因为5所=2成+廊+无，所以丽=∙∣成+(而+产，因为〃是平面戒上

一点，即4,8,C,M四点共面，所以/+g+]=l,所以f=2.故选：B.

3.D【详解】对于A,∙.∙gwj,不存在实数；I,使得万=Zl就成立，二而与k不共线，A

2O

错误；对于B,14C=2q+8e2,AD=3el-5e2,CD-AD-AC=el-1⅛29又;力士"・'・不存

1—13

在实数兀，使得益=2而成立，二而与而不共线，B错误；对于C、D,若A,B,C,。四

点共面，则有3=^4+)^。=^+2^)^+々+%)^=^-5^，

17,

/∙X=*~^

χ+2y=33—17—4—

二〈OL即W故AD=FAB-；AC,故A，B,C,D四点共面，C错误，D正

卜+町=-5433

I3

确.故选：D.

333IUUrluɪɪr11UITUITIULIrULUr

4.A【详解】解：由题意可得：G9=GE+E尸='丝+不BG=WX]("+4C)+2(8C+BBJ

32322

IIUr1air1airιuruuurIIUrɔuljlγ1υuurIULIr2uιrIUlr

=：N8+-4C+-(4C-/B+B4)=--A5+—4C+-8q=--/B+-/C+±/4故选：A.

662332332

5.【参考答案】C解：因为MIz-(IT)R表示以(IT)为圆心，I为内圆半径，2为

外圆半径的圆环区域，点Z所在区域的面积为π(2≈-f)=3π故选配

6.【参考答案】。【解答】解：码配=电.(初-硝=蓊,而-褶，∙.∙初=滤，

4

2

.∙.A0-AS=-ʌð)933P=+A§,整理可得「.初・前.我+：前=4,

.∖A&,A(y=—129.∖iA∙Bd=A⅛∙(AS—"AS)A3=⅛5+=ʌrf∙4d-4⅛2=-12-25=-37.故选：D„

UO

tan(α+0-tan(3_E)

tan(α+:

【参考答案】【试题解析】解:tan(α+0)-,)1----------------7~

LC/Jl+3n(α+⑶tan(s3f

2.B【详解】因为5丽=2成+r而+京，所以丽=|⑸+，丽+厚，因为"是平面仍C上

一点，即4,8,C,M四点共面，所以/+g+]=i,所以r=2.故选：B.

3.D【详解】对于A,.∙.不存在实数;I,使得在=4万成立，••.布与元不共线，A

2o

错误；对于B,丁4C=2q+8e2,AD≈3el-5e2,.∖CD=AD-AC=el-1⅛29又1工一^；•不存

1—13

在实数人使得丽=Jl而成立，...而与而不共线，B错误；对于C、D,若A,B,C,。四

点共面，则有40=*45+)4。=仅+2了/+々+型丹=耳-生2，

■X=--1'7,

x+2y=33—17—4—

Λ∙0即一，故3=g"-"c,故A,B,C,。四点共面，C错误，D正

卜+8%-5433

I3

确.故选：D.

3UUuLUUaIuIrlUUr11"LUT1UHrIUr

【详解】解：由题意可得：

4.AGF=GE^EF=-AE+-BCl=-×-(AB+^C)+^(BC+^1)

IlUrIcur1iurUirιurιuɪr2υuιrIUJUrIuIr2lUr1ŋuur

=ZNB+74。+—(4C-48+B8])≡≡-∙ς∙45+-4C+—88]=-ς∙4B+-NC+—44.故选：A.

662332332

5.【参考答案】C解：因为l≤∣z-Q-i)∣42表示以(L-I)为圆心，1为内圆半径，2为

外圆半径的圆环区域，点Z所在区域的面积为π.(2≡.P)≡3π故选配

6.【参考答案】。【解答】解：加配=荏.(我-硝=荏,而一错，∙.∙初=源，

4

；.A®-A3=^*9.二?=；玄-，3+荏，整理可得.我=#3.而+：而2=4,

—12—25=—37,故选：

.∖A6∙A(y=-129.*tɪð∙©d="AS∙(Ad—A^)46≡+≡AA∙A()-了才2Dβ

7.【参考答案】BC【解答】解：由题得

ð—2α+40sin2-ɪ-=b—2α(l—2sin2)=b-2acoβ(√4+B)=0CoS(J4+B)=oos(π-C)=-coβC,

LA1

.∙.6+2acosC=0对于A,由题可得，a>O,匕>Oτb+2CICOHC=O,.∙.coβC<O又vC(∈(0,π),Λ∣<C,<∏,,

故C为钝角，A错误.对于8,由MeC=笔C."+2Z⅛C="立誓=号W=o,

ZaoZabb。

:好O,.∙.a2+262-r=O,故B正确,对于C,t.,6+2acosC=0由正弦定理得βinB+2sinAcoeC=0,

即Sin(A+C)+2sinAcosC=0,即3sinAcosC+cosAsin(7=0,.,.3tanΛ+tanC=0,故C正确.对于。，

2

CtanΛ+tan<7工+35,UnA>°，白+3twQ2√J,当且仅当

to小菽

°B=-闻4+C=1-tan

tan4

2则的最大值为，故错误故选

5Y时，等号成立，tauβV,UnBDBC.

-----ɪ+3tλ∏A

Vtan4

8.【参考答案】D【解答】解：因为PrM=IHml'|》2,所以由》j⅛>2

由向量的几何意义得I”了⑶同-MI=Il-EII=Wl-1|?|2-11=1,故选D.1

9.AC【详解】解：对于选项ACD,由原="&+；/&+2亦,+夕+2=1)，可得“，A,B,C四

点共面，即宓,Λ⅛,Λ⅛■共面，所以选项A中，点,忌,而不共面，可以构成基底，选项C中,

届,而,而不共面，可以构成基底；选项D中，因为6揄=61+2句?+3&7,所以

→1→1→1→TTT

OM=d。4+］。8+3^,可得〃，A,8,C四点共面，即M4,"B,MC共面，无法构成基底，故

选项D错误;对于选项B,根据平面向量基本定理,选项B中，因为必=A⅛+%,得嬴血证

共面，无法构成基底，故选项B错误.故选:AC.

10.BC【详解】对于A,若存在不全为零的实数X,九z,使得χG+必+zθ=6,

{"5,却不能构成空间的一个基底，所以A错；对于B,因为拒，b,以构成空间的一个基底,

所以对空间任一向量。，总存在唯一的有序实数组(孙J,z),使得/=切+皈+zd,所以B对;

对于c,因为2d=值+B)+g-b),25=(石+田-(万-»,所以a,5,不能与a+b,万-B构成空间

另一个基底；又因为设X,y«ZWK若x(i+B)+j(a-5)+za="b

I页，共3页

=>(x+y)a+(x-y)b+zc=O=>x=y=z=O>所以5与1+5，5构成空间另一个基底：

所以在G,B,e中，能与a+8，五-B构成空间另一个基底的只有人所以C对：

对于D,存在，根据向量运算几何意义，5+4+£表示以。为顶点，以5,25,30为相邻三边

的长方体对角线，绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底值，b'.?}.

都满足a+25+%=3+南+3?,所以D错误.故选：BC

IL【解答】解：如图所示：由B1Dl∕∕BD,而BDC平面ABCD,B1D^平面ABCD,C,b,

故以D√∕平面4BCD,可知EP〃平面ABCD,故A正确：由正方体特点可得P,

CGɪ底面ABCD,故ZCCB1就是直线BC1与平面ABCD所成的角，显然等于J：∖HJ

故B也正确：B到BNl的距离为B8∣=l,A到BWl的距离大于上下底面中心∣√×¾⅞p∕λ

的连线，则A到的距离大于1,.∙G4EF的面积大于aBEF的面积，故Cz)，错

误；连结BD交4C于。，则4。为三枝锥A-BEF的j⅛,S皿F=HXI=：,三棱锥A-BEF的体积

为MX苧=■为定值，D正确.故选ABD.

12.【参考答案】ACD【解答】解：对于人、因为G,H分别是BC,・C。的中

点，所以GHILIBD.又因为E,F分别在皿AB上，嗡=案=：，所以FEUBD,

因此GHHFE且GH≠FE,所以E,F,G,H四点共面，因此A正确：对于8、由.4

知：GHHFE且GH≠FE,因此GU与HE必相交于一点P.又因为HEC平面皿所

以Pe平面4DC,即GH与平面"C有一个交点P,因此B不正确；对于C、由B

知：GH与HE相交于一点P,且Pe平面ADC,同理可得Pe平

面ΛBC,因此Pe平面ADCn平面ABC=AC,所以P,A,C三点

共线，因此C正确；对于。、过C在平面BCD作CMJ.BD于M,连接4M.因为4C_L平

面BCD,CM,8DC平面BCD,以AClBD,4CJ.CA/因为ACIBD,CM1BD,AC1CMc

平面ACM,ACf∖CM=C,所以BDd.平面ACM,而AMC平面ACM,因BDlAW,

所以加/C是二面角A-BD-C的平面角.又因为Z∖ABO的面积为6,二面角A-BD-C的

大小为所以*D∙4M=6,,ΛMC=g.又因为CΛ∕=AWcoe乙WC=JLH所以

SiiBCD=^BD-CM=∣BD∙AM=3,因此D正确.故选ACD.

13.2√L【详解】根据平行四边形法则可得苑=石+万+羽，

答案第2页,

所以寓，=(存+石+Zξ)2=同?+融f+四f+丽万+^B-AA2iD^AA'l

=4+4+4+2×2×2×2×cosl200+2×2×2×cos600=8,所以4。=2及\故答案为：2A.

14.【参考答案】3.56【解答】解：设男职工指标分别为句，&方，……为,

女职工指标分别为坳，叼，如，孙,打，则本次调查的总样本的平均数

^⅛×(XJ+XJ+*J+……+¾)=⅛X(2OX7+5X8)=7∙2,本次调查的总样本的方差是

a,,(句-以+…+的_I2

∙=⅛×K¾-≡)+(a⅛-D+1)3+(X24-I)+(%-≡)j

丁京Xg-7+7-7.2)2+(以-7+7-7.2尸+(的_7+7-7.2尸+…+(功-7+7-7.2尸+的-8+8-7.2)2

_X

+(如―8+8_7.2)?+…+<2⅛5_8+8—7.2y]-25×[(∙cJ-7)2÷(u¾-7)2+(xj-7)2÷∙∙∙÷(x^o,~+(ɪjɪ-8)a

1,ji=22

+(ɪn-8)+.∙.+(xw-8)+20×(7-7.2)+S×(«-72)]25×(20×4+5×1+20×(7-7.2)+5×(8-7.2)]=&56.

15.【参考答案】16π1√l9【解答】解：因为AClBC9AC≈29BC=√3,所以

4B=√4□+BO=√7,所以A4BC外接圆的圆心为AB的中点，半径r=，，设直三棱柱外接球

的半径为R,则/1=汽+(加)'=例=2,所以该直三棱柱外接球的

表面为S=4"R2=U⅛;直三棱柱中，侧面与底面垂直，又4SBC,易知

4C1平面BCGB-ACC平面ΛBQ,平面48CJ.平

面BCClBI,把ACIBC绕BQ展开至与平面BCGBl垂直的位

置则4,G,Ei共面,如图：连接4G,则AG的长即为最短距离,在AXCCi中ZXCC1=120",

1,,

AC=2,CG=3由余弦定理，得AC1=↑∕λC+CCi-2AC-CC1c∞ZΛCCl

=y4+9-2×2×3×(-ɪ)=√19.故答案为16»；用.

16.【参考答案】华【解答】解：根据题意，在平面MC内，过点尸作E尸/WC分别交口，

y

AC于F,E,在平面VBC内，^F^FG∕∕AB^VB^-G,在平面VAB内，过G作G印"C交BC于

H,连接EH，因为EWC,且点尸为△VAC的重心则需=：,EF≈l因为lM=yB=31,

所以AB=Vi,因为FG//VB,^≤=i,所以FGY因VClVA,∖VC1VB,∖VA∏VB=V,VAC

平面VAB,VBC平面VAB,所以VCj.平面VAB,因为EF∕∕VC,EQ〃VB,所以EFJ.平面VAB

因为FGC平面丫阳，所以EF∙LFG所以四边形EFGH是矩形即%mswf=EF∙FG=3空=挈，故

JJy

页，共3页

答案为：竽.

17.【参考答案】⑴证明：取AB中点D,连接DM,DB1,在AABC中，因为M为八C中

点，所以DM∣∣BC,DM=扣C.在矩形8BCG中，因为N为8©中点，所