有限元法介绍

关于有限元法介绍一、有限元法的概念二、基本计算步骤三、发展与应用第2页,共40页，2024年2月25日，星期天基本思想第3页,共40页，2024年2月25日，星期天一、几个基本概念有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为节点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为节点力，作用在结点上的荷载称为节点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为节点位移。第4页,共40页，2024年2月25日，星期天单元节点节点力节点荷载节点位移第5页,共40页，2024年2月25日，星期天在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。第6页,共40页，2024年2月25日，星期天有限元法的基本计算步骤物体离散化单元特性分析分析单元的力学性质选择位移模式计算等效节点力单元组集求解未知节点位移第7页,共40页，2024年2月25日，星期天物体离散化单元选择：应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。单元划分：进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。第8页,共40页，2024年2月25日，星期天3维实体的4面体单元划分平面的三角形单元划分3维实体的6面体单元划分第9页,共40页，2024年2月25日，星期天将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步又称作单元剖分或网格划分。离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。网格划分的好坏将直接影响到计算结果的准确性和计算进度，甚至会因为网格划分不合理而导致计算不收敛。网格的划分主要取决于专业知识和经验积累。一个水平高的FEA工程师，80%的时间是用在网格划分上。对于一般的问题，各种FEA均能自动的进行合理的网格划分。hypermesh最目前好的划分网格工具。第10页,共40页，2024年2月25日，星期天单元特性分析分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。第11页,共40页，2024年2月25日，星期天平面问题的三角形单元的例子：单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。节点位移节点力取决于材料性质、形状、尺寸第12页,共40页，2024年2月25日，星期天选择位移模式：在反映力和位移的关系式中，依据那一个量是未知量，可建立不同的模型。位移法：选择节点位移作为基本未知量称为位移法；力法：选择节点力作为基本未知量时称为力法；混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。第13页,共40页，2024年2月25日，星期天计算等效节点力：将外在的负载力等效到各个节点上。物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。弹性体有限元模型第14页,共40页，2024年2月25日，星期天有限元法的基本计算步骤单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程。对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出节点位移，这个过程为整体分析。i节点的节点力：

i节点的平衡方程：集中力单元节点力第15页,共40页，2024年2月25日，星期天单元组集

最终，将所有单元组合起来得到整体的方程：[K]{δ}={R}

[K]——整体刚度矩阵；{δ}——全部结点位移组成的列阵；{R}——全部结点荷载组成的列阵。

在位移法中，只有{δ}是未知的，求解该线性方程组就可得到各结点的位移。将结点位移代入相应方程中可求出单元的应力分量。有限元法不仅可以求结构体的位移和应力，还可以对结构体进行稳定性分析和动力分析。例如，结构体的整体动力方程：

[M]{δ}+[C]{δ}+[K]{δ}={F}

[M]——整体质量矩阵；[C]——整体阻尼矩阵；[K]——整体刚度矩阵；{δ}——整体结点位移向量；{F}——整体结点荷载向量。

求出结构的自激振动频率、振型等动力响应，以及动变形和动应力等。第16页,共40页，2024年2月25日，星期天求解未知节点位移

可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。传统有限元分析的数值计算方法之中，有直接计算法（DirectSolver）与迭代法（Iterative）两种。由于在过去的经验中，迭代法一直无法直接而有效的保证数值计算的收敛性，因此，直接计算法在多数有限元素分析软件中，仍然是一种主流的计算方法。第17页,共40页，2024年2月25日，星期天线性静力分析的基本矩阵方程单元刚度矩阵

[K]=刚度矩阵{F}=力向量(已知){u}=由{F}引起的未知位移向量

第18页,共40页，2024年2月25日，星期天总体刚度矩阵第19页,共40页，2024年2月25日，星期天F=10000磅L=10英寸YINL=10英寸面积A=1.5英寸2弹性模量E=10×106磅/英寸2面积A=2.0英寸2弹性模量E=10×106磅/英寸2例子：1、建立结构有限元模型

L=10英寸A=1.5英寸2L=10英寸A=2.0英寸2结点3#结点1#结点2#单元②单元①第20页,共40页，2024年2月25日，星期天2、形成单元刚度矩阵3、总装刚度矩阵第21页,共40页，2024年2月25日，星期天4、施加边界条件5、施加作用载荷第22页,共40页，2024年2月25日，星期天6、求解矩阵方程7、计算单元应力第23页,共40页，2024年2月25日，星期天三、有限元法的发展与与应用在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。第24页,共40页，2024年2月25日，星期天目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform。软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件第25页,共40页，2024年2月25日，星期天第26页,共40页，2024年2月25日，星期天转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车工程研究院动，用MSC/Nastran完成）第27页,共40页，2024年2月25日，星期天金属成形过程分析（用Deform软件完成）:分析金属成形过程中的各种缺陷

型材挤压成形的分析。型材在挤压成形的初期，容易产生形状扭曲螺旋齿轮成形过程的分析T形锻件的成形分析第28页,共40页，2024年2月25日，星期天焊接残余应力分析（用Sysweld完成）结构与焊缝布置焊接过程的温度分布与轴向残余应力第29页,共40页，2024年2月25日，星期天有限元方法的应用BMW曲轴的感应淬火（用SysWeld软件完成）第30页,共40页，2024年2月25日，星期天有限元方法的应用复杂形状工件的组织转变预测（石伟，用NSHT3D完成）：预测工件的组织分布和机械性能二分之一工件的有限元模型淬火3.06min时的温度分布淬火3.06min时的马氏体分布第31页,共40页，2024年2月25日，星期天其他的应用还包括：电磁学、流体力学、电磁场等等等等等等等等等…第32页,共40页，2024年2月25日，星期天1、从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。

例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。发展趋势：第33页,共40页，2024年2月25日，星期天2、由求解线性工程问题进展到分析非线性问题线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如：航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，只有采用非线性有限元算法才能解决。非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。第34页,共40页，2024年2月25日，星期天3、增强可视化的前置建模和后置数据处理功能随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。第35页,共40页，2024年2月25日，星期天与CAD软件的无缝集成当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用，即：在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大