损伤与断裂力学课件三章

1复习1、裂纹的基本类型（1）按裂纹的几何特征分类①穿透（贯穿）裂纹②表面裂纹③深埋裂纹（2）、按裂纹受力和断裂的特征分类①张开型（Ⅰ型）②滑开型（Ⅱ）③撕开型（Ⅲ）④复合型22、能量释放率G准则（1）裂纹扩展单位面积弹性系统所释放的能量为裂纹扩展能量释放率（2）裂纹扩展单位面积所需要消耗的能量称为裂纹扩展阻力（3）3、应力强度因子K准则（1）（2）（3）应力强度因子的计算表征裂纹尖端附近应力场强弱程度的唯一参量，与结构形状、裂纹、外加应力都有关材料阻止裂纹失稳扩展的量度，与上述无关是材料固有特性3穿透裂纹1、无限大板穿透裂纹2、半无限大板穿透裂纹（单边侧裂纹）3、有限宽板穿透裂纹（1）中心穿透裂纹（2）有限宽板单边侧裂纹（3）有限宽板双边侧裂纹4、三点弯曲试样的应力强度因子深埋裂纹有限宽板中表面裂纹44、能量释放率G与应力强度因子K的关系K不仅表示裂纹尖端附近弹性应力场强度，而且它的平方也确定了裂纹扩展时所释放出来的能量率，因此在线弹性断裂力学中K准则和G准则是等价的5、复合型断裂准则最大拉应力准则应变能密度因子准则—S准则工程上应用的经验公式6、小范围屈服下对应力强度因子K的修正裂纹尖端屈服区的形状和大小考虑塑性区应力松弛的塑性区大小等效裂纹长度与应力强度因子K修正线弹性断裂力学的使用范围K主导区7、平面应变断裂韧性的测试5测试原理和方法试样形式及尺寸应力强度因子标定式测试步骤确定临界载荷有效性判断6第三章弹塑性断裂力学7§3-1前言

线弹性断裂力学主要适用于高强度钢之类的脆性或准脆性材料，即在裂纹失稳扩展前裂纹尖端区域无明显的塑性变形或满足小范围屈服条件（K主导区），这种情况可用K判据或考虑小范围屈服修正的断裂判据来研究。但在大量的工程实际中广泛使用的是中低强度钢，其韧性较高，这类材料制成的含裂纹构件，在其缺陷或裂纹尖端区域往往存在较大的塑性变形，尤其是在结构的应力集中区及焊接引起的残余应力区甚至会发生全面屈服。屈服区的存在将改变裂纹尖端区域应力场的性质，因此当屈服区尺寸较大8①裂纹尖端由于塑性变形出现而产生明显钝化现象③裂纹扩展要经过一段稳态的扩展过程（即亚临界扩展）②塑性区范围超过小范围屈服范围（与裂纹长度属同一量级或更大）时，线弹性断裂力学理论已不再适用，因此需引用弹塑性断裂力学理论来研究。弹塑性断裂力学，也称屈服后的断裂力学。其力学特征为：9一、裂纹体弹塑性断裂按裂纹前缘塑性变形分类1、弹塑性断裂裂纹尺寸与塑性尺寸大致相同，塑性区外为广大的弹性区包围，断裂应力小于屈服应力例如薄壁压力容器、压力管道等10112、大屈服断裂塑性区扩大到构件的边界侧向约束消失，可能发生裂纹断裂或塑性流动破坏例如测试JIC、

c试样的破坏情况等12133、全屈服断裂：外部应力大于屈服应力，裂纹被广大的屈服区包围，可能塑性极限强度破坏或裂尖引起断裂例如压力容器接口区，焊接结构拐角处等由于应力集中、工艺热处理产生高残余应力，使该处的裂纹处于屈服区的包围之中。1415上述三种断裂问题必须采用弹塑性断裂力学理论来研究。随着断裂力学知识的普及，工程师们在设计时都开始兼顾材料韧性，同时检测手段的提高，使构件的完全脆性断裂发生的概率大大减少，而更多的是弹塑性、大屈服和全面屈服断裂情况。因此弹塑性断裂力学理论显得愈发重要。但是弹塑性力学问题很复杂，与LEFM相比还不完善，在发展和完善过程中。16二、弹塑性断裂力学的两个任务1、建立判断屈服后的断裂准则①找出能描述屈服后应力、应变场的某个力学参数，建立该参数与应力

（或应变

）和裂纹长度a的关系式②测出材料屈服后断裂韧性，使该值为材料常数2、用小试样在屈服后条件下测定要获得材料的稳定的断裂韧性值，必须使试样的尺寸满足一定的要求，即我们前面所讲的有效性判定条件之一：

17为了满足该条件，试样的尺寸往往要求很大，例如：若材料的18第7次课19裂纹尖端张开位移准则（CTOD准则）（几何关系）J积分准则（全量理论）试样的最小尺寸应为：1462901160mm，重量将超过400kg，而试验机的加载能力则要求大于2000吨。因此采用小试样在屈服后的条件下间接的测定，这是弹塑性断裂力学的另一大任务。

三、弹塑性断裂力学的主要理论20§3-2裂纹尖端张开位移（CTOD）COD—CrackOpeningDisplacement或CTOD—CrackTipOpeningDisplacement该理论在中、低强度钢焊接结构和压力容器断裂分析中应用非常普遍而且有效，它不是严格的直接的严密的应力、应变场参量，采用约定的定义和间接测定方法。但可以简单而有效的解决实际工程问题，因此得到工程上广泛应用，该理论最早由Wells在1965年提出，并得到很大发展。21§3-2-1COD定义和准则一、COD定义：所谓裂纹张开位移，是指裂纹体受载后，在原裂纹尖端沿垂直裂纹方向所产生的位移，用表示由于尖端钝化情况的不同，其表达有所不同1、D-M模型，弹塑性弹塑性区的交界线与裂纹表面交点处的张开位移222、弯曲型（三点弯曲）沿裂纹上下表面做两条延长线，过裂纹顶端D作垂线，该垂线与上下表面延长线相交的两点间的距离成为此种情况下的张开位移ABDE233、全屈服在变形后的裂纹顶端点处做一等边直角三角形，它与裂纹两表面交点处的位移，用表示此外还有许多种不同的定义，采用不同的定义，其结果有所不同24二、COD准则（由Wells（1965年）提出）：裂纹尖端CTOD作为表征塑性应力、应变场的单一参量。当裂纹张开位移（）达到材料的临界值时，裂纹开裂—可测试或计算—材料弹塑性断裂韧性指标之一，是材料常数，由试验测定25应用此准则要解决的问题是：1、用小试件方便的测出材料的断裂韧度2、是找出与外荷载（），裂纹尺寸（）及物体尺寸之间的关系，CTOD的计算问题。材料断裂韧度可以采用小型的三点弯曲式样在全韧带屈服下通过间接方法测出，测量方法简单。且通过试验证明，开裂点的值与试样的几何尺寸、加载方式等无关，是材料常数。但失稳扩展的不是材料常数，因此，COD准则只能用于判定开裂。26§3-2-2弹塑性屈服下的CTOD计算Dugdale（1960）通过软钢薄板的拉伸试验，发现塑性区集中在与板成45度的窄的横向滑移带上，提出带状屈服模型，由于采用Muskhelishvili复变函数方法推导计算，故称D-M模型。又由于这种模型类似于Barenblatt的内聚力模型，所以也称作D-B模型。1、塑性区尺寸（1）塑性区是沿裂纹线向外的一条窄带，（高度为零）外部是广大弹性区D-B模型推导：27（2）把塑性区看成为裂纹，其上作用反向屈服应力28这样一来，就把一个弹塑性屈服问题转化为一个线弹性裂纹问题，裂纹长度由原来的2a变成了2c，且在原塑性区处作用有额外的应力（3）新裂纹长度2c的确定条件为：应力

和

s的联合作用应该能够消除裂纹尖端处的应力奇异性。也就是说，在新裂纹2c下，单独在应力

和

s的作用下，裂纹尖端都会产生奇异性。但实际上，和

s的联合作用，使裂纹尖点应力为有限度的，不存在应力的奇异性，即在A点的应力强度因子为零。即29＝＋应用迭加法：30按线弹性计算：又：解得：31塑性尺寸：2、求原裂纹尖端B点处的张开位移它由两部分组成：无限远处应力在处产生的由分布力在处产生的32Paris由卡氏定理，得到位移公式其中：KIP为外载引起的应力强度因子，KIＦ为欲求位移处在位移方向上施加的一对虚构力F引起的应力强度因子，为由a到c过程中的裂纹长度变量。33求得：一般为平面应力应用，该公式只适用于弹塑性条件，而不适用于全面屈服状态343、小范围屈服时COD与的一致性将展开为幂级数为：当时，即在小范围屈服时，取第一项，得到35又已知平面应力下无限大板中间穿透裂纹(Grifith板）：所以：又：所以：36临界状态：由此可见，在小范围屈服条件下，CTOD准则与G准则、K准则是一致等效的，但CTOD准则对于线弹性断裂和弹塑性断裂均适用。374、小范围屈服下，和的塑性区尺寸比较准则：展开取第一项：可见，二者相差很小K准则下：38由，可知当时，全面屈服时应变、位移为不定值，所以D-M模型表达式不适用于全面屈服的情况39§3-2-3大范围和全面屈服下的COD计算

问题提出：由于现今设计中注重采用韧性好的材料和加强检测避免大裂纹存在，因而更多的出现小裂纹在全面屈服下扩展导致断裂破坏，此时应变量可高达。这样，D-M模型不再适用，且不能用应力作为计算参量，而应采用应变作为计算参量。找出与应变和的关系。现今大范围和全面屈服下COD准则都是在宽板实验基础上建立的半径验公式。最初英国，后来，西欧、日本等国做了大量实验，已积累一千多块实验数据。且得到许多大型结构试验和断裂事故分析结果的验证，因此具有良好的试验基础，安全性具有保障。401、Wells公式（最早研究）Wells根据小范围屈服（平面应力）下的塑性区关系式：又由D-M模型：（1）41有：（2）将（2）式代入（1）并经化简有：公式两边同时除以a，则：42这里e代表裂纹周围的平均应变（标称应变，全屈服区中的名义应变），es为材料的屈服应变。假定在全面屈服后，上述关系仍成立，且假定：则4344引入无量纲参数：Wells给出的设计公式（经验公式）：即452、Burdekin公式Burdekin等人试图从理论上建立裂纹张开位移和与的关系。但未能成功，只好通过实验结果建立经验关系。通过大量试验基础上对Wells公式进行了改进，提出了设计公式:46Wells公式和Burdekin公式为许多指导文件和规范的主导公式。例如：国际焊接学会IJW，英国标准协会（BSI）都是以Burdekin公式为基础的。D-M模型、Wells公式、Burdekin公式与实验结果比较如图所示4748或3、日本焊接协会JWES公式《按脆性起裂的焊接缺陷评定标准》提出：4、我国压力容器缺陷评定规范CVDA公式：495、几种设计曲线比较（如图）在内，CVDA与Burdekin、Wells相同在内，CVDA比Burdekin等其它偏高50在内，CVDA比JWES偏高，保守Burdekin偏低51526、讨论（1）线弹性情况：CTOD准则和K准则是等价的。（为CTOD准则提供理论依据）同时为它扩大到大范围屈服找到根据（2）弹塑性情况K准则不适用而COD准则适用（3）上述两种情况下CTOD准则，在前者是以脆性断裂为起裂点确定的，后者是弹塑性断裂为起点来确定的53①前者断裂点为一致的②后者起裂后经过亚临界断裂扩展，才达到断裂，二者是不同的（4）在工程中的应用：首先由上述公式估计出

，然后又试验测定

c，根据裂纹起裂的判据及即可确定裂纹起始扩展的临界尺寸ac54习题8、某压力容器用材料的为已知，又知，形状系数试求（1）用弹塑性屈服（D-M）判据确定；（2）用线弹性判据确定并做比较。55§3-2-4COD准则小结

优点：1、CTOD准则是目前弹塑性断裂力学中得到实用并有一定的实践经验的方法。2、该方法有一定的理论基础，如D-M模型在小范围屈服下与K和G准则的一致性，在大范围和全面屈服下的与J积分关系式的一致性等。但薄弱，主要以实验为基础。3、从线弹性到屈服后的各阶段都适用，没有理论障碍。对于弹塑性、大范围屈服及全面屈服都给出了相应的公式，在工程上广泛应用。（特别在压力容器和管道上广泛应用）564、

c的测试有一套比较成熟的方法,形成了多种设计规范和测试标准，有效控制了弹塑性断裂事故的发生，并积累了工程经验。问题：

1、CTOD含义不明确，用作为表征塑性区应力场，应变场特征的唯一参量缺乏理论依据，主要是无法找到与应力场和应变场间的直接关系，只能由J积分与CTOD之间的关系来间接说明。且CTOD的定义有多种，相互间有显著差异，无法统一。572、测值分散度较大，原因与开裂点不易定准，旋转因子取值不准等有关。3、D—M模型把塑性区定义为窄条，且材料是理想塑性的，这假定与实际情况有偏差。4、计算公式是针对穿透裂纹的，对于表面裂纹和深埋裂纹，简化为穿透裂纹，这种简化方法是经验性、粗糙的。5、失稳扩展时的不是材料常数，因此CTOD理论只能预报裂纹的起裂而不能预报裂纹失稳扩展。58§3-2-5弹塑性屈服下COD准则的应用采用D-M模型：塑性区尺寸：裂纹张开位移：小范围屈服下：59

上式由平板导出，对压力容器，管道等结构，裂纹在内压作用下由于曲率影响，裂纹自由边界会向外膨胀，这种现象叫“鼓胀效应”，产生附加弯矩，使裂纹处的应力增大，因此应力乘以大于1的系数M，M称之为“鼓胀系数”工程上穿透裂纹鼓胀系数取为：60球壳：筒壳轴向：筒壳环向：—裂纹半长—曲率半径—壁厚61考虑鼓胀效应后CTOD准则可以写为：注意临界值，适用于确定临界应力及临界裂纹尺寸考虑硬化：对于一般工程中常用的中、低强度钢制造的薄壁容器和管道，在裂纹开裂后，都存在一个亚临界扩展阶段，在此阶段载荷可以增加（硬化过程），但裂纹持续扩展，直到应力达到爆破应力时，裂纹才会发生不稳定扩展。62第8次课63在小范围屈服下，有：爆破应力高于开裂应力，因此工程上更关心假设在弹塑性屈服下该式仍然成立，同时考虑鼓胀系数M，则：64（流变应力），于是可以得到：当爆炸时，将平面应力断裂韧度Kc代入上式，并令：（3）65工程上取当大，很小时，则（4）（3）和（4）式称之为塑性失稳准则或流变应力准则，并被大量试验所证实66§3-2-6全屈服条件下COD准则的应用

以Burdekin公式为例来进行讨论，Burdekin公式为（当时）：

或该公式是针对穿透裂纹的，对于表面裂纹和深埋裂纹，可以采取裂纹尺寸的当量换算将之化为相应的穿透裂纹进行处理。当量换算采用等K换算法，换算原则为：67假定在相同载荷和约束条件下，当表面裂纹最大深度处（或深埋裂纹短轴端点的）达到材料的断裂韧性发生开裂时，相应于某当量尺寸的穿透裂纹的也将达到材料的相同的而开裂，这个穿透裂纹尺寸就称当量裂纹尺寸。例如：1）均匀拉伸有限厚度板表面裂纹最深处的可以写为：

68而无限大板中心穿透裂纹的表达式则为：在等K的条件下，则有：即：由此求得：或：69为自由表面影响系数式中，2）深埋椭圆形裂纹化为当量裂纹，同样可以得到：—深埋裂纹修正系数7071§3-2-7压力容器临界裂纹长度估算方法

压力容器规范规定，设计工作应力，水压试验应力为工作应力的1.3倍，即，退火状态的筒体不考虑焊接残余应力，因此，根据，接近弹塑性屈服状态，可以近似采用D-B模型进行计算。1、退火状态的筒体

压力容器和管道临界裂纹长度的确定一般可以分为以下几种：72D-B公式表达为：也可表示为：其中：73将和代入上式，可得在工作压力时的临界裂纹尺寸为：将和代入上式，可得在试验压力时的临界裂纹尺寸为：74当在打压试验时，可近似认为全面屈服状态，裂纹的临界长度可采用Burdekin公式进行计算，为：将代入上式，并化简后有：可见，只要知道材料的临界CTOD值和力学性能，则可按照上面的公式分别计算退火筒体的临界裂纹尺寸752、未退火状态的筒身

未退火的焊接筒体存在有非常高的焊接残余应力，最严重的情况是残余应变可以等于屈服应变，考虑此种最危险状态，则最大应变为：工作应力下：打压试验应力下：此两种状态均为全面屈服状态，因此需用Burdekin公式进行计算，为了安全起见，取：，因此可得：763、退火状态的喷嘴或接管等高应力区

已有的试验表明，喷嘴和接管均为高应力集中区，在工作状态下其最高局部应变可达2es，而在打压试验下可达6es

，均为全面屈服状态。分别采用Burdekin公式进行计算可得：774、未退火的喷嘴或接管等高应力区考虑接管和喷嘴处的局部应力集中，同时计入焊接残余应变，则可知名义应变和相应的临界裂纹尺寸分别为：设计应力下：打压试验下：78此外，Burdekin还提出，在数值上有近似关系：因此可以用替代上面公式中的来进行计算。79习题9、某筒式压力容器外径，壁厚，有纵向穿透裂纹，裂纹长，材料参数如下：计算容器的开裂时，压力和爆破压力习题10、某容器喷嘴处，由于存在很高的应力集中，故局部应变明显升高，已知材料的求：（1）当设计应力，局部应变时，的裂纹容限尺寸（2）当打压实验，局部应变时，的裂纹容限尺寸用Burdekin公式计算80§3-3J积分理论和应用

CTOD准则虽然能够简单有效的解决实际问题，并在中低强度钢焊接结构和压力容器断裂安全评定分析中得到广泛应用，但该理论存在的主要问题是它不是一个直接的严密的裂纹尖端弹塑性应力应变场的表征参量，且定义不唯一。J积分理论是弹塑性断裂力学的另一个基本理论，于1968年由Rice提出。J积分能定量的表征裂纹尖端的应力应变场，既易于计算又能很简单的通过试验测定出来。J积分定义明确，理论较严密，但是81该理论是全量理论，不是增量理论（更切合实际），在理论和应用上都受限制，有待发展中。

J积分有两种定义式或表达式，一种是回路积分定义，一种是形变功率定义。82§3-3-1J积分的回路积分定义及其守恒性一、J积分回路定义

如图中所示的线性或非线性弹性体平板，开一个穿透切口,围绕切口顶端按逆时针方向作一个围线，则沿此围线作积分

回路定义即由围绕裂纹尖端周围区域的应力、应变和位移场所组成的围线积分给出的定义，使J积分具有场强度的性质。83这个积分即称为J积分，其中：是平面体内的应变能密度84—应力分量—应变分量—积分路线上任意弧长的应力分量—位移分量—弧长积分路线可以是任意的，而Ｊ积分是与路径取法无关的常数，即具有守恒性。给出的是切口而非裂纹是为了消除裂纹尖端的奇异性。下面证明Ｊ积分的守恒性，即说明J积分的数值与积分路径无关。85二、J积分的守恒性（J积分性质之一）再画一个围线，并与，连起来围一个回路要证明Ｊ积分的守恒性，只需要证明下式成立：86由于

1和3为切口的自由表面，因此Ti=0成立，并且沿着x1轴方向dx2=0，故沿着1和3的积分为0。假设上式成立，同时1和3的积分为0，则2和的积分的和为0。由于2和方向相反，若将2反向，应有如下的关系式成立：由于

2和是任意的，于是Ｊ积分的守恒性得到证明。87证明方法：①应用格林公式线积分变换为面积分

②平衡方程（无体积力）

③小变形几何方程

④应用全量理论（变形理论）成立，可以证明即第一项等于第二项，回路积分与路径无关。88证明：格林公式为：围线上ds处的三角形单元体平衡条件有：式中：89于是有：90由无体积力单元体的平衡方程：91上式简化为：92考虑小变形条件下的几何方程有：93再由格林公式有：94于是有：即：成立。证明完毕。95讨论：1）J积分定义明确，是理论上较严密的应力、应变场参数，可以方便的计算和测定出来2）证明J积分的守恒性时应用了小变形几何条件，实际上在裂尖处存在高应变区，因此对裂尖处J积分的守恒性未能得到证明，但只要离开裂尖一定距离，计算（FEM）和实验结果表明J积分守恒性成立3）证明J积分的守恒性时应用了全量理论，因此J积分的守恒性不允许卸载，也就是只适用简单加载理论（简单加载：物体内任一点的六个应力偏量之间相互比值在加载过程保持不变）964）J积分守恒性证明中引用了无体积力的平衡微分方程，故在积分围线所包围的面积中不能有体积力5)J积分守恒性为J积分的计算提供了方便，使得能够避开复杂的裂纹尖端处的应力、位移场，采用离开裂纹尖端处的应力、应变场甚至远处的弹性应力、位移场（可由有限元或其它方法确定）。97§3-3-2线弹性条件下J积分与的关系

设二维裂纹体在无限远处受拉应力

的作用，取积分路径为一半径为R的圆周，如图所示。采用极坐标表示J积分的定义式，即将：98代入公式：得到极坐标下的表达式：在平面应变情况下：

①求式中的第一项：99在线弹性条件下，有：考虑Ⅰ型裂纹尖端应力场代入上式，可得将应力应变关系代入上式，有：100第9次课101积分得：②求第二项：由围线上ds处三角形单元体平衡条件，有：102考虑Ⅰ型裂纹尖端应力场代入上式，可得103并用坐标变换裂纹尖端附近位移场公式为：104代入第二项积分同理在平面应力条件下可以推导得到：③于是可得在平面应变条件下的J积分与K及G的关系：105上面二式说明在线弹性情况下，J积分有明确的物理意义。J积分就是能量释放率G，即裂纹扩展时单位面积释放的能量。J、K有对应关系，当K达到临界值时，J也达到临界值。即在线弹性阶段，J准则与K准则是等价的，J积分同样是材料的固有常数。④J积分准则可以写为：106§3-3-3J积分的能量定义式在小变形条件下，用全量理论可以证明即：

前面介绍的J积分的回路积分定义，定义明确，且是比较严密的裂纹尖端场参量。但在非线性情况下利用围线积分求J值很麻烦，而在工程上应用的断裂判据参量，必须易于理论估算和试验测定，因此，有必要引入J积分的能量定义式。107在线弹性情况下：此式表明裂纹扩展时能量释放率G即为J积分的能量定义式。

在弹塑性情况下：用两个外形及边界约束相同，具有相近的裂纹长度和的二维裂纹物体，在相同的外载荷下产生的单位厚度总势能的差率定义的。（不再表示裂纹扩展时的能量释放率）

为了说明J积分的物理意义，我们讨论两种特殊情况来说明。1081、恒载荷情况如图所示，两个物体A和B承受相同的载荷P作用（单位厚度力），其中A物体有裂纹a，B物体有裂纹a+da。在P作用下，A板所发生的变形为

1，B板所发生的变形为2。A板外力所做的功为：（等于面积OPA

1

），单位厚度应变能为

（等于面积OA

1）所以物体A的单位厚度总势能为：109110等于面积OAP的负值。同理，物体B的单位厚度总势能等于面积OBP的负值。于是，两物体B与A的总势能的差则为面积OAB的负值（dΠ），由此有：由图可以看出，d∏的表达式可以用下式表示：111除以Bda后得到：此即为在固定载荷下的J积分能量表达式。应用于J积分试验标定中。（例如：载荷P、位移Δ，P-Δ曲线下面积（U）等联系起来)1122、恒位移情况（固定卡头）如图所示，两个物体A和B产生的位移相等均为

，其中A物体有裂纹a，B物体有裂纹a+da。外力对两个物体所做的功及应变能示于图中。同样可知，两块板B与A应变能的差为OAB的负值。由于两物体的限制位移相等，均为Δ，则对于回路积分中应力项积分为零。于是：113114其中负号表示长裂纹板的应变能低。于是可用以下积分表示：115

两种情况意义在于如果知道P-Δ加载曲线与试件几何及裂纹尺寸的函数关系，就可以得到J积分解析表达式。

J积分能量表达式把J积分值与宏观可测参量联系起来，如：P、Δ、P-Δ曲线或其下面积U联系起来，用于J积分试验标定中和解析分析中（这就是J积分第二个性质——可测性）116习题11、J积分守恒性和J积分能量定义有何意义？习题12、（用D-M模型）证明理想弹塑性屈服情况下J积分与COD的关系为。1173-3-4J积分与COD关系1、在线弹性(小范围屈服）情况下已知：又知：

J积分与CTOD是弹塑性断裂力学中两个非常重要的适用参数，因此，他们之间理应存在一定的联系。下面分情况进行讨论。118上面三式说明，在线弹性下，

之间存在着定量关系，各自的断裂准则都是等效的。2、弹塑性屈服情况利用D-M模型，把它的屈服区边界作为积分路径来计算J积分值，如图所示。根据J积分的定义：（1）119120沿此ABC路径有代入（1）式有：121因此：由于：122但要注意，这里的推导是基于D-M模型的，即理想弹塑性状态，且认为裂纹尖端处于平面应力状态，没有考虑材料硬化。实际上，上面的理想状态并不存在，因而需对上式进行修正，修正系数k又称为减小系数因子，于是上式变为：此式说明，弹塑性屈服情况下，Ｊ积分准则和CTOD准则是一致的，且弹塑性屈服情况和线弹性情况下的J积分与CTOD间的关系式相同。1233、全面屈服情况进行研究证明，大范围屈服时上述关系也成立即：一般情况k=1.1~2.3范围内

其中的k值不是常数。Robinson指出，k随屈服强度的增大而变大，在线弹性状态时有极小值k=1。对k进行的研究表明，k与材料性质有关（硬化指数n，屈服应力，弹性模量，泊松比等），还和试件的尺寸及类型有关，给出的结果也不一致，但一般在1.1~2.3之间。1243-3-5J积分准则

J积分是弹塑性断裂力学的一个重要参数。寻求断裂力学参数的目的是在于建立合理的断裂准则，判断裂纹的扩展条件和含裂纹结构的可靠性。J积分在几个参数中是比较合理的一个，其原因主要有：（１）由J积分与所取的路径无关，给弹塑性分析带来很大的方便，使我们可以避免去分析裂纹尖端附近的塑性区的复杂特性。（2）已经证明，在硬化材料中，裂纹尖端的应力场、应变场同样存在r-1的奇异性，且奇异场的强度125可以用有限量J积分来表示。J积分与线弹性断裂力学的应力强度因子类似，只取决于外加载荷和裂纹尺寸。（3）由J积分与弹性势能的关系可以看出，J积分具有明确的物理意义，它代表作用于裂纹尖端的一个广义力，一般简称为裂纹扩展力或能量释放率。（4）由D-M模型可以得到J积分与CTOD间的定量关系。126J积分准则的表达：

上式表示当围绕裂纹尖端的J积分达到临界值JC时，裂纹开始扩展，而这种扩展可以分为稳定和不稳定扩展两类。对于稳定的缓慢扩展，上式代表裂纹的开裂条件。对于不稳定的快速扩展，上式则代表着裂纹的失稳条件，即结构的断裂开始条件。其中的J积分值可以采用有限元方法计算获得，也可采用试验方法得到。而Jc必须由试验确定。如果在实验中，取试样的开裂点来确定Jc，则公式代表裂纹的开裂判据，如果采用试样的失稳点确定127Jc，则公式是裂纹的失稳判据。由以往的大量试验结果表明，用裂纹开裂点确定Jc，其数据比较稳定，与试样尺寸无关，而裂纹失稳点的Jc受材料尺寸影响大，因此，一般都采用裂纹的开裂判据。J积分准则与其他准则相比，其优点有如下几点：（1）与CTOD准则相比，理论根据严格，定义明确。（2）用有限元法能够计算不同受力情况下各种形状结构的J积分（平面问题），而CTOD准则的计算公式仅限于几种最简单的几何形状和受力情况。128（3）实验求JC简易可行，与CTOD实验相仿。J积分理论的缺点是：（1）J积分理论根据的是全量理论，而非增量理论，因此不允许卸载。但是在裂纹稳定扩展时，裂纹尖端的应力要释放，因此有卸载过程。所以，J积分理论不能应用于裂纹亚临界扩展情况。（2）J积分定义限于二维情况，对表面裂纹待研究。（3）与CTOD准则一样，材料的JC一般用试件的开裂点确定，这样式样尺寸影响较小，数据比较稳定，适宜作为材料的断裂韧度指标。但是裂纹的开裂到失稳还有承载能力，用于设计比较保守。（4）测定JC时，开裂点的确定比较困难。1293-3-6J积分的计算与应用

J积分值可以采用有限元方法计算获得，也可采用试验方法得到，都比较费时费力。还可以采用J积分的工程近似方法进行计算，通过给出的表格或图表通过手工计算即可，而且此种计算方法适用于裂纹尖端屈服的各种情况，包括小范围屈服、弹塑性屈服、大屈服及全面屈服等。虽是一种近似方法，但有足够的精度，该工作主要基于Shih、Hutchinson、Rice等的工作。

1、J积分的计算：130对于服从Ramberg-Osgood关系的幂硬化材料，其应力应变关系可以写为：弹塑性J积分近似计算方法的要点是它可由线弹性解和塑性解得简单叠加而得到。即可表达为：131线弹性时：全塑性时：

其中，α、n分别是材料的幂硬化系数和指数，

s和s分别是材料的屈服应力和应变。因此，J积分公式改写为：132其中，为弹性解，但裂纹长度ae是经修正后的值。为全塑性解，是裂纹长度a与材料硬化指数n的函数。在小范围屈服条件下，很小，可取。反之，在全屈服条件下，很小，则可取。因此，可见公式可用于裂纹尖端材料各种不同屈服条件下的J的计算。133

为计算J值，需分别计算Je和JP。对于Je的计算可由在线弹性下J与K的关系式，由K值间接得到，而含不同裂纹的各种试件，在各种载荷下的K值，可查应力强度因子手册得到。全塑性解的求解则比较复杂，在此不多讲。2、J积分的应用

在平面应变条件下，用小范围屈服的大试样测定得到的JIC值，按线弹性断裂力学的结果，应该有：134因为J积分准则在线弹性和全面屈服条件下都有效，因此可用小试件在全面屈服下测得的JIC值来替代大试样在线弹性条件下的JIC值，再由上面的公式计算材料的平面断裂韧度KIC值，这就是采用小试样来测定KIC的方法。135

在JIC的测试上，普遍采用多试样法，也可采用单试样方法。例如采用三点弯曲试件时，其标定公式为：其中：Ｂ是试件的厚度，Ｗ是试件的宽度，a为裂纹的长度，U是P-

曲线下的面积，代表加载过程中应变能，P是载荷，

为载荷作用点的位移。当取开裂点位置的U值，则可得到JIC。136§3-4CTOD的试验测定一、测试原理和方法

用带有预制疲劳裂纹的单边切口试样进行三点弯曲加载，一直到试样破断或不能继续承受载荷为止。在加载过程中同时自动记录载荷P和裂纹咀张开位移V，获得P-V曲线。在P-V曲线上找到相应的特征点，将该特征点的P、V带入到给定的标定式中，得到对应裂纹开裂的特征张开位移值

R。GB/T21143《金属材料准静态断裂韧度的统一试验方法》137R曲线：R随裂纹稳定扩展量a的变化曲线（包括和J曲线）：R曲线上稳定裂纹扩展0.2mm钝化偏置线时对应的非尺寸敏感断裂抗力对应的CTOD值。：当a<0.2mm钝化偏置线时出现非稳定裂纹扩展或pop-in时的尺寸敏感断裂抗力。

：当a>0.2mm钝化偏置线时出现非稳定裂纹扩展或pop-in时的尺寸敏感断裂抗力敏感值。：当稳定裂纹扩展无法测量时出现非稳定裂纹扩展或pop-in时的尺寸敏感断裂抗力。138

：对于全塑性特性的第一个最大力平台对应的尺寸敏感断裂抗力

：由标准定义的材料特性的极限值。139140141二、试样制备1、试样的形式及尺寸标准规定以S/W=4的三点弯曲试样作为标准试样，其名义尺寸应满足W=2B（B~4B），a=0.45W~0.70W。试样的厚度应等于被检测材料的厚度（全厚度试样）以保证裂纹前端有相同的约束。2、试样的加工缺口根部半径应小于等于0.25mm。1421431441451463、预制疲劳裂纹应采用疲劳的方法产生预制裂纹，疲劳引发裂纹时采用的最大疲劳载荷Fmax应不大于Ff：三点弯曲试验：147紧凑拉伸试样：1484、试样数量可以采用多试样法，也可采用单试样法。多试样至少准备试样6个，单试样法应准备3个试样。149三、试验设备1、试验机传感器、记录装置应满足精度要求。2、加载装置三点弯曲试样的加载装置如下图，其中的试样与支撑辊间应保持滚动接触，且夹具与支撑辊均应采用高强钢制作。3、记录装置采用计算机采集与处理或X-Y记录仪4、位移测量装置夹式引伸计精度1级，安装牢固5、载荷传感器精度1%。150151试验装置简图载荷传感器夹式引申计动态电阻应变仪记录仪152四、试验步骤1、在试验温度下标定载荷和位移测量系统2、多试样法（1）将标称形状、尺寸相同，初始裂纹长度相近的几个试样加载到预先选定的不同位移水平，并测定相应的裂纹扩展量。加载速率应为对于同一组试验，所有试样都应在同一标称速率下加载。从而构成或阻力曲线上的一个点（统称阻力曲线）。对于同一组试验，所有试样都应在同一标称速率下加载。从而构成或阻力曲线上的一个点（统称阻力曲线）。153（2）为了更好的控制卸载点，应按下列步骤进行试验：（a）第一个试样加载到接近最大载荷平台起始点停载，根据P-V曲线估计以后各试样的加载停机点的位移量。（b）将试样卸载，并用着色法使裂纹前缘留印。（c）将试样打断，显示裂纹前缘，为避免压断试样时裂纹扩展区形貌发生改变，必要时可先采用二次疲劳。测量原始裂纹长度及在实验过程中产生的稳定裂纹扩展量。154（d）按下图所示沿着疲劳裂纹前缘和标记的裂纹稳态扩展区的前缘，在其间隔的9个点上测量裂纹尺寸，精度不低于0.025mm,并按下式计算裂纹长度：155156157（3）预制裂纹长度应超过1.3mm或2.5%W之间的大者。（4）预制疲劳裂纹应在图示的包迹线内。初始裂纹长度应满足下列要求：（1）应当在0.45~0.70之间。（2）试样中心七点中任一点的裂纹长度与九点平均值之差不应超过158159（e）测量稳定裂纹扩展

a，方法同前（f）确定下一个试样的加载位移值，以便获得合适的裂纹扩展量，重复上述步骤，直到得到规定的数据点。1603、单试样法（1）将试样加载，加载速率应尽可能的快，以使时间效应减到最小，卸载再加载的速率应不低于试验阶段的加载速率。（2）在选定的位移间隔对试样进行部分卸载再加载，确保获得数据的位置点均匀，一般采用30次左右的卸载即可，卸载范围尽可能的大，但不能超过最大力的25%或目前力的50%，取其中的小者。在最后一次卸载后，试验力应降到0，随后测量稳定裂纹扩展长度，及裂纹总扩展量。161162五、数据处理1、常见的F-V曲线如图2、在(1)、(2)、(4)的情况下，取断裂点所对应的载荷为Fc、Fu或Fuc，如果失效发生在线性段附近，则计算KIC3、在（3）、（5）的情况下，分情况而定：取断裂点之前的第一个pop-in载荷为Fc、Fu或Fuc163164取断裂点所对应的载荷为Fc、Fu或Fuc1651664、对于（6）型曲线取断裂点时的载荷为Fm5、的计算公式：6、Vp的求法：1671687、参数的确定（1）取每一个试样停机点对应的载荷P和位移的塑性分量Vp计算相应的值,该值是与试样尺寸直接相关，或者说是尺寸敏感的。169（3）钝化线的确定公式：（2）以、a分别为纵横座标，绘制-a曲线。至少需要6个数据点定义R曲线。做曲线的钝化线，过a最大数据点作钝化线的平行线与横坐标交于一点，此点的横坐标值定义为amax，该值应满足的条件为：170171（4）过作钝化线的平行线，称之为有效裂纹扩展量的右边界线。（5）过作钝化线的平行线，称之为有效裂纹扩展量的左边界线。（6）拟合R曲线时，在四个等间距的裂纹扩展区内，每个扩展区内至少要有一个数据点，对左右边界线内的数据点进行指数方程的拟合。式中172（7）每个试样的的值按以下三个公式进行计算，取其中的最小值。（8）取所有试样中的最小值作为阻力曲线的上边界线。（9）与拟合曲线在上边界线或右边界线的交点定义为，该值应作为被测试样控制的裂纹扩展的上限值。173（9）要求R曲线在0.1mm和0.3mm钝化线偏置线之间至少有一个数据点，在0.1mm和0.5mm钝化线偏置线之间至少有2个数据点。（10）在图上偏置0.2mm处作钝化线的平行线，则该平行线与拟合曲线的交点定义为。174175§3－5JIC的测定一、测试原理和方法采用带有预制疲劳裂纹的单边切口试样进行三点弯曲加载或用销钉拉伸加载，测定J与裂纹扩展量的关系。在加载过程中同时自动记录载荷P和加载点位移

，获得P-

曲线。将测得的J值对裂纹扩展量a作图。在规定的裂纹扩展量范围内，应至少有四个试验点。用最小二乘法案幂乘关系拟合J与a的关系曲线JR。根据材料的有效屈服强度，按规定求出钝化线方程，在J-a图上作钝化线。偏置0.2mm处作钝化线的平行线，偏置线与幂乘拟合线的交点对应的J值为JQ，若满足有效性判定则定义为JIC。GB2038-1991《金属材料延性断裂韧度JIC试验方法》二、适用范围1、本方法测定JIC值，与裂纹起始扩展时的J值接近，是材料启裂断裂韧度的工程估计值。1762、本方法不能用来评价金属材料裂纹扩展阻力的全过程。3、本方法测定的JIC值，可以转换为用应力强度因子KI表示的当量值，它只能在以弹性为主的条件下应用。在裂纹尖端以线弹性应力场为主时，该KI值对应于裂纹开始稳态扩展时的断裂韧度值。4、本方法只适用于在试验温度下裂纹能够缓慢的稳定扩展，塑韧性好的材料。不适用于尚未测得本方法规定的J-a数据，即已产生快速断裂的材料和延性、韧性极高、抗撕裂能力极好的材料，因为这种材料很难把撕裂扩展和裂纹顶端大范围的钝化区区分开。三、符号及术语177178179180（1）J积分围绕裂纹前缘从裂纹的一侧表面到另一侧表面的线积分的数学表达式，用以表征裂纹前缘地区的应力应变场。（2）表观启裂韧度（Ji）JR曲线与钝化线交点相应的J值，称为表观启裂韧度。（3）延性断裂韧度JIC按本方法规定测得的JIC值定义为延性断裂韧度。它与裂纹扩展时的J值接近，是裂纹开始稳态扩展时的J的工程估计值。（4）JR曲线J积分与裂纹扩展量的关系曲线，即J-a曲线。本方法规定按J=C1aC2的幂乘关系拟合JR曲线。（5）有效屈服强度Y为考虑塑性屈服对试验参数的影响而给出的单轴屈服强度的假定值，本方法规定，有效屈服强度是屈服强度和抗拉强度的平均值。181182四、试样制备1、试样的尺寸标准规定三点弯曲试样SE（B）、紧凑拉伸试样C（T）、拱形三点弯曲试样ASE（B）作为标准试样。其名义尺寸应满足W/B=2（也可采用其他比例试样），a=0.5W~0.75W，最好取0.6W。初始韧带尺寸b0、试样的厚度B应大于25JIC/

Y。2、采用单试样法时，可以采用带侧槽试样。即首先预制疲劳裂纹，然后加工侧槽。侧槽的加工深度与材料有关，只能通过试验确定。一般地，允许的最大侧槽深度（两侧的和）应小于原试样的厚度的25%，且侧槽夹角要求不大于90度，根部半径在0.2~0.6mm之间。3、预制疲劳裂纹应采用疲劳的方法产生预制裂纹，疲劳引发裂纹时采用的最大疲劳载荷Pmax应不大于用a0计算的极限载荷的50%，如不能引发裂纹则可以适当提高Pmax，一旦出现裂纹后，应及时将载荷调整至Pmax≤0.5PL。当疲劳裂纹扩展至最后的0.7mm时，最大疲劳载荷应不大于0.4PL。1834、试样数量可以采用多试样法，也可采用单试样法。多试样至少准备试样5个，单试样法应准备3个试样。5、试样形状对三点弯曲试样：对紧凑拉伸试样：184185186187五、试验设备1、试验机应满足精度要求2、加载装置三点弯曲试样的加载装置如下图，其中的试样与支撑辊间应保持滚动接触，且夹具与支撑辊均应采用高强钢制作。3、记录装置采用计算机采集与处理或X-Y记录仪4、位移测量装置夹式引申计精度1%，且安装牢固5、载荷传感器精度1%。188189190六、试验